Пакет MathCAD - продукт компании Mathsoft - представляет собой универсальный математический пакет, предназначенный для выполнения инженерных и научных расчетов. Основное достоинство пакета - естественный математический язык, на котором формулируются решаемые задачи. К тому же у пакета мощная графическая составляющая. Объединение текстового редактора с возможностью использования общепринятого математического языка и графических средств позволяет пользователю получить готовый итоговый документ в визуально приятном виде. Применение пакета существенно повышает эффективность интеллектуального труда [4].

В настоящее время разработано и функционирует множество различных математических систем: Matlab, Mathematica, Reduce и др. Каждая из них имеет свои преимущества и недостатки, а также свои области применения.

Отличия системы MathCAD от аналогичных математических систем:

в математических системах: Reduce, Mathematica - в основном используются целочисленное представление и символьная обработка данных, а Matlab преимущественно ориентирована на работу с массивами. Система же MathCAD изначально создавалась для численного решения математических задач, но в 1994 г. в нее были добавлены инструменты символьной математики, что постепенно превратило MathCAD в универсальную систему.

запись условия задач в MathCAD наиболее приближена к привычной математической записи, что существенно упрощает применение этого пакета. Запись математических выражений производится с применением общепринятых знаков: квадратный корень, знак деления - в виде горизонтальной черты, дифференциала, знаки интеграла и т.д.

с помощью MathCAD можно вводить исходные данные, как в обычном текстовом процессоре, традиционно описывать решение задачи и получать результаты вычислений в аналитическом и численном виде, с возможностью использования средств графического представления результатов. То есть преимущество пакета MathCAD состоит в том, что он не только позволяет произвести необходимые расчеты, но и оформить их с помощью графиков, рисунков, таблиц и математических формул в визуально привлекательном виде [5].

Для решения дифференциальных уравнений с начальными условиями система MathCAD имеет ряд встроенных функций:

Rkfixed - функция для решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта четвертого порядка с постоянным шагом;

Rkadapt - функция решения дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта с переменным шагом;

Odesolve - функция, решающая дифференциальные уравнения блочным методом.

Для численного решения одиночного дифференциального уравнения в MathCAD имеется функция Odesolve, с помощью которой может быть решена как задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, так и граничная задача. Эта функция входит в состав блока решения и является его заключительным ключевым словом.

Odesolve (x, b, [step]) возвращает функцию, которая является решением дифференциального уравнения.

х - переменная интегрирования, действительное число;

b - конечная точка отрезка интегрирования;

step - величина шага по переменной интегрирования (необязательный аргумент).

2. Алгоритмический анализ задачи

1) С использованием системы MathCAD рассчитать значения функции заряда на конденсаторе в заданной электрической схеме. Построить графики функции индуктивности и функции заряда на конденсаторе.

2) Исследовать влияние значений изменяемого параметра на вид функции заряда на конденсаторе.

3) Построить сводный график всех полученных функций заряда на одном поле.

4) Подобрать аналитическую аппроксимирующую функцию по результатам исследований пункта 2. Построить графически исходную и аппроксимирующую зависимости.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Ерохин Сергей Владимирович, Денисов-винский Никита Дмитриевич

В статье рассмотрены возможности использования математической программы Mathcad при решении задач по электротехнике.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Ерохин Сергей Владимирович, Денисов-винский Никита Дмитриевич

Применение сигнальных графов для формирования уравнений электрической цепи по методу параметров состояний

Математическая модель трехфазного обобщенного преобразователя электрической энергии как компонента электрической цепи

In article possibilities of use of mathematical program Mathcad are considered at the decision of problems after the electrical engineer.

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРОБЛЕМЫ И НОВЫЕ ТЕХНОЛОГИИ ОБРАЗОВАНИЯ

преподаватель, Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

Н. Д. Денисов-Винский,

преподаватель, Московский институт энергобезопасности и энергосбережения

В статье рассмотрены возможности использования математической программы Mathcad при решении задач по электротехнике. Программа значительно экономит время, заменяя рутинную счетную работу.

Ключевые слова: высшее образование, теоретические основы электротехники, математика, Mathcad.

Mathcad - программная среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, снабженная простым в освоении и в работе графическим интерфейсом. Она предоставляет пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами. В среде Mathcad доступно множество операторов и логических функций, предназначенных для численного и символьного решения математических и технических задач различной сложности.

В настоящее время среди большого количества математических пакетов система Mathcad является наиболее популярной среди студентов, инженеров, проектировщиков. Применение этой системы для решения ряда задач электротехнического профиля является исключительно удобным. Для работы в системе не нужно знать основ программирования. В систему встроен вычислитель, текстовый редактор и графический процессор. Вычислитель работает с математическими выражениями, текстовый редактор очень удобен при работе с комментариями. Это позволяет придавать документу Mathcad читабельность. Кроме того, система автоматически распознает и указывает место ошибки.

И наконец, в системе есть встроенный графический процессор, который позволяет непосредственно после расчета вывести необходимые графики, что улучшает наглядность документа.

В Московском институте энергобезопасности и энергосбережения (МИЭЭ) Mathcad активно используется при обучении студентов-энергетиков математике и другим дисциплинам: как общетехническим, так и специальным. Преподавателями института разработан комплекс учебно-методической литературы по системе Mathcad, который включает в себя основные приёмы решения задач как по математике, так и по общетехническим дисциплинам.

Задача № 1.1. Дана электрическая цепь, изображенная на рис. 1. Заданы величины сопротивления Rj-R6; заданы величины ЭДС Е1 и Е Требуется найти токи в ветвях Ii-^.

Составляем матрицу коэффициентов: ORIGIN: = 1

-1 0 0 -1 0 ( ° 1 (V

1 -1 1 0 0 0 0 R2

0 0 -1 0 1 -1 0 R,

Я, R2 0 -«4 0 0 E> - E2 «4

0 -r2 -R3 0 -«5 0 e2 «5

0 0 0 «4 «5 R6 I 0 J

Решаем матричное уравнение относительно вектора силы тока:

1Т =(-0,457 -3,899 -3,442 1,478 -2,422 1,021).

Проверим правильность расчета по балансу мощностей:

Рис. 1. Задача № 1.1

Определим число уравнений, составляемых по пер вому закону Кирхгофа, по формуле и по второму зако ну Кирхгофа по формуле т-(п~ 1)=3, где п=4 - число наперед заданного числа: узлов, число ветвей.

Далее выбираем (произвольно) направление токов в ветвях (рис. 1).

Составляем систему из трёх уравнений по первому закону Кирхгофа для узлов 1,2 и 3 и из трёх уравнений по второму закону Кирхгофа (контуры I, II и III). Направление обхода контуров выберем по часовой стрелке.

Относительная ошибка должна быть меньше

v 1 |^1313 1313 1313

Сформируем вектор сил тока:

Наконец, выразим токи в ветвях через контурные. Выберем их направления, например, как в задаче 1.1.

Рис. 2. Задача № 1.2

Определим число уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа: т-(п-1)=3 , где m и п - число ветвей и узлов соответственно. Число уравнений равно числу независимых контурных токов (в данном случае 3). Обозначим контурные токи III, ^ и ^3.

Пример расчёта в Mathcad построен таким образом, что при перемене входных параметров моментально меняется и ответ без изменений в самой программе.

Теперь решим эту задачу методом узловых потенциалов. Метод выводится из метода непосредственного применения законов Кирхгофа путём исключения уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа, и замены переменных токов на потенциалы узлов. Полученная система из (п-1) уравнений решается относительно неизвестных потенциалов узлов, далее токи находятся по обобщенному закону Ома.

Задача 1.3. Дана электрическая цепь, изображенная на рисунке. Заданы величины сопротивления Й1-К6; заданы величины ЭДС Е1 и Е2. Требуется найти токи в ветвях методом узловых потен-

Аналогично запишем уравнение для третьего узла:

Здесь правая часть в уравнении равна нулю, т.к. ветви, образующие третий узел, не содержат ЭДС. Таким образом, получаем систему уравнений

Для решения этой системы необходимо найти проводимость ветвей заданного контура согласно уравнению

Решение этой системы даст значения потенциалов. Затем произвольно выберем направление токов в ветвях, например, такое же, как в предыдущих методах и, используя обобщенный закон Ома, найдём токи в ветвях.

Далее приведён пример решения данной задачи в системе Mathcad.

Рис. 3. Задача № 1.3

Определим число уравнений: п-1=4-1=3, где п -число узлов. Заземлим четвёртый узел, потенциал его примем равным нулю: ^=0.

Рассмотрим первый узел. Потенциал этого узла ^ умножим на сумму проводимостей ветвей, образующих этот узел (Gl+G4+G6), минус потенциал узла умноженный на проводимость ветви между первым и вторым узлами G2, минус потенциал третьего узла G6. Полученная сумма равна алгебраической сумме произведений ЭДС ветвей, образующих первый узел, на соответствующую проводимость ветвей. При этом знак плюс берём, если стрелка ЭДС направлена к рассматриваемому узлу, и знак минус, если стрелка ЭДС направлена от него. В данном примере: -Итак, первое уравнение имеет вид

Рассматривая второй узел по аналогии, составляем второе уравнение:

б, :=/?,' С2 := Я21 Съ := 1 :- Я!1.

Находим потенциалы: Given

/"(36,938 141,508 72,658 0). Находим токи в ветвях:

Сформируем вектор сил тока:

Примеры наглядно демонстрируют, насколько полезна может быть система Mathcad при решении задач по электротехнике. Она заменяет рутинную счетную работу, значительно экономя время. Но при этом важно понимать, что программа не решает задачу от и до, а лишь помогает в расчетах. Если человек не знает, как решить задачу, Mathcad не поможет.

1. Дьяконов В. П. Mathcad 11/12/13 в математике. - М.: Горячая линия - Телеком, 2007. - 958 с., ил.

3. Бессонов Л. А . Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - Гардарики, 2007.

P Во Франции (Дижон) эксплуатируется офисное энергоэффективное здание Elithis Tower, которое производит электроэнергии больше, чем потребляет. На крыше и фасаде 10-этажного офисного центра расположено 330 солнечных панелей, вырабатывающих электроэнергию в объеме, достаточном для освещения, отопления и кондиционирования 54 тыс. м2 офисного пространства.

P Американские исследователи создали батарейку, при помощи которой можно на день запитать жилой дом. Батарея работает на соединении серы и натрия. Серно-натриевый аккумулятор - вторичный химический источник тока, известный своей высокой удельной энергией. Основной недостаток его заключается в высокой рабочей температуре (свыше 300 °С). Однако исследователи заявляют, что они добились эффективной работы соединений уже при 93 °С благодаря керамической мембране, которая разделяет натрий и серу

P Энергетическая компания PG&E (Калифорния) совместно с Solaren Corporation предполагает к 2016 году обеспечить добычу около 200 МВт энергии, получаемой из космоса и передаваемой на Землю. Суть проекта состоит в размещении на геостационарной орбите Земли искусственного спутника, вырабатывающего электроэнергию из солнечного света с помощью больших гальванических фотоэлементов, и передаче ее в виде радиоволн на землю.

граммирования ”/ С . В . Митрофанов , А . С . Падеев . – Оренбург :

Расчетно - графическое зада ние состоит из пяти задач по электро -

технике . К решению каждой задачи имеютс я примеры выполнения в сис -

теме MathCAD и методические указания к ним . Приведены примеры ре -

Методические указания к выполнению расчетно - графического за -

дания по дисциплине “ Прикладные задачи программирования ” предна -

значены для студентов очной и заочной формы обучения для всех элек -

В настоящее время среди большого количества математ ических пакетов

система MathCAD является наиболее известной и популярной . Применен ие

этой системы для решения ряда задач электротехнического профиля является

исключительно удобной . Для работы в системе не нужно знать основ програ м -

мирования , что особенно важно для студентов заочной формы обучения , т . к .

затрачивается мень ше времени на решени е той или иной задачи . Примен ение

системы MathCAD упрощает общение человека с ЭВМ за счет простого мате -

матического языка , на котором составляются документы MathCAD . В сист еме

документы очень удобно отлаживать , т . к . она автоматически распознает и ука -

зывает место ошибки . В системе встр оен вычислитель , текстовый редактор и

графический процессор . Вычислит ель работает только с любыми математиче -

скими выражениями . Текстовый редактор очень удобен . Он р аботает только с

комментариями . Все выражения входящ ие в комментарии не вычисляются . Это

позволяет придавать документу MathCAD чит абельность . И наконец в системе

есть встроенный графический процессор , который по зволяет непосредственно

после расчета вывести необходимые графики , что улучшает наглядность доку -

мента . Версии MathCAD Windows являются полноценными приложениями . По -

этому при решении той или иной задачи можно передавать данные в среду дру -

Продолжаю зарисовки об использовании бесплатного математического редактора Mathcad Express. На этот раз предлагаю обратиться к численному решению дифференциальных уравнений (в сегодняшнем примере — с частными производными). Файл с дальнейшими расчетами в форматах Mathcad и XPS вы найдете здесь.

В этой статье рассмотрим, как можно посчитать в Mathcad Express дифференциальное уравнение диффузии тепла при помощи самой простой явной разностной схемы и остановимся на свойстве устойчивости разностных схем. Речь пойдет о том, как получить вот такое решение уравнения, моделирующего остывание одномерного объекта:

На графике показано начальное распределение температуры вдоль оси Х (красная линия) и два расчетных профиля – после первого шага и после нескольких шагов по времени.

Уравнение теплопроводности

В качестве примера дифференциального уравнения в частных производных мы рассматриваем уравнение теплопроводности (или, по-другому, диффузии тепла).

Это уравнение параболического типа, содержащее первую производную по времени t и вторую по пространственной координате x. Оно описывает динамику температуры u(x,t) в присутствии источников тепла, например, при нагреве металлического стержня. Таким образом, неизвестной функцией, подлежащей определению, является функция u(x,t). Это уравнение линейно, если источник и коэффициент диффузии D либо не зависят от температуры, либо источник зависит от нее линейно, т.к. в этом случае неизвестная функция u(x,t) (и все ее производные) входит в уравнение в первой степени.

Линейное уравнение теплопроводности имеет аналитическое решение, в то время, как подавляющее большинство нелинейных уравнений в частных производных можно решить только численно. Для того, чтобы уравнения в частных производных имело единственное решение, необходимо поставить нужное количество начальных и граничных условий, т.е., в данном случае, соотношения типа u(x,0)=Init(x) (начальное условие) вместе с u(0,t)=f1(t) и u(L,t)=f2(t) (граничные условия, если уравнение решается на интервале от 0 до L).

В приведенной интерпретации одномерное уравнение диффузии тепла описывает динамику температуры некоторого удлиненного тела, например, металлического стержня:

Мы будем рассматривать случай нулевого источника тепла, а в качестве начального условия выберем некоторый реалистичный профиль температуры (стержень, сильно нагретый в центре). В качестве граничных условий зададим поддержание краев стержня при постоянной температуре. Разумеется, динамика решения описывает ожидаемую картину выравнивания температуры стержня со временем (за счет перетекания тепла от центра к периферии стержня благодаря механизму теплопроводности). Скорость передачи тепла определяется значением коэффициента диффузии D. (Заинтересовавшемуся читателю я предлагаю поэкспериментировать с прилагаемыми расчетами в Mathcad Express, выбирая различные значения коэффициента диффузии).

Разностная схема

Суть метода сеток заключается в покрытии расчетной области (x,t) сеткой из МхN точек, что определит шаги по времени и пространству τ и Δ соответственно. Тем самым, определяются узлы, в которых будет осуществляться поиск решения. Затем надо заменить дифференциальное уравнения аппроксимирующим его уравнением в конечных разностях, для каждого (i,n)-го узла сетки. В случае уравнения теплопроводности достаточно просто заменить первую производную по времени и вторую по пространству их разностными аналогами (такой метод дискретизации называют методом Эйлера, а получившуюся систему разностных уравнений – разностной схемой).

Следующий расчет реализует описанный алгоритм разностной явной схемы бегущего счета в Mathcad Express:

Собственно, вычисленные значения матрицы U и приведены на графике, который был показан в самом начале статьи (до ката).

Устойчивость

Этот пример демонстрирует важное свойство разностных схем, называемое устойчивостью. Оказывается, многие схемы (безусловно, или при определенном соотношении параметров, как наша схема) им не обладают, и применять такие схемы для решения задач нельзя.

И повторюсь, что файл с расчетами, описанными в этой статье, вы найдете здесь, а дистрибутив Mathcad Express можно скачать по ссылке.

Читайте также:

  
• Лист из проволоки своими руками
  
• Сережки из пуговиц своими руками
  
• Стол 4 стихии своими руками
  
• Шлем гимли своими руками
  
• Снять матрицу с детали своими руками