Как сделать число пи

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.10.2024

Отношение длины окружности к ее диаметру одно и то же для всех окружностей. Это отношение принято обозначать греческой буквой (“пи” - начальная буква греческого слова , которое и означало “окружность”).

Архимед в сочинении “Измерение круга” вычислил отношение длины окружности к диаметру (число ) и нашел, что оно заключено между 3 10/71 и 3 1/7.

Долгое время в качестве приближенного значения использовали число 22/7, хотя уже в V веке в Китае было найдено приближение 355/113 = 3,1415929. которое было открыто вновь в Европе лишь в XVI веке.

В Древней Индии считали равным = 3,1622….

Французский математик Ф. Виет вычислил в 1579 г. с 9 знаками.

Голландский математик Лудольф Ван Цейлен в 1596 г. публикует результат своего десятилетнего труда – число , вычисленное с 32 знаками.

Но все эти уточнения значения числа производились методами, указанными еще Архимедом: окружность заменялась многоугольником со все большим числом сторон. Периметр вписанного многоугольника при этом был меньше длины окружности, а периметр описанного многоугольника – больше. Но при этом оставалась неясным, является ли число рациональным, т. е. отношением двух целых чисел, или иррациональным.

Лишь в 1767 г. немецкий математик И.Г. Ламберт доказал, что число иррационально.

А еще через сто с лишним лет в 1882 г. другой немецкий математик – Ф. Линдеман доказал его трансцендентность, что означало и невозможность построения при помощи циркуля и линейки квадрата, равновеликого данному кругу.

Простейшее измерение

Начертим на плотном картоне окружность диаметра d (=15 см), вырежем получившийся круг и обмотаем вокруг него тонкую нить. Измерив длину l (=46,5 см) одного полного оборота нити, разделим l на длину диаметра d окружности. Получившееся частное будет приближенным значением числа , т. е. = l / d = 46,5 см / 15 см = 3,1. Данный довольно грубый способ дает в обычных условиях приближенное значение числа с точностью до 1.

Измерение с помощью взвешивания

На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата m_кв (=10 г) и вписанного в него круга m_кр (=7,8 г) воспользуемся формулами

где p и h –соответственно плотность и толщина картона, S – площадь фигуры. Рассмотрим равенства:

Естественно, что в данном случае приближенное значение зависит от точности взвешивания. Если взвешиваемые картонные фигуры будут довольно большими, то возможно даже на обычных весах получить такие значения масс, которые обеспечат приближение числа с точностью до 0,1.

Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг

Пусть А (a; 0), В (b; 0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на n равных частей точками x₁, x₂, . x_n-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длина каждого такого перпендикуляра – это значение функции f(x)= . Из рисунка 1 ясно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле

В нашем случае b=1, a=-1 . Тогда = 2 S .

Значения будут тем точнее, чем больше точек деления будет на отрезке АВ. Облегчить однообразную вычислительную работу поможет компьютер, для которого ниже приводится программа 1, составленная на Бейсике.

Программа 1

REM "Вычисление пи"
REM "Метод прямоугольников"
INPUT "Введите число прямоугольников", n
dx = 1 / n
FOR i = 0 TO n - 1
f = SQR(1 - x ^ 2)
x = x + dx
a = a + f
NEXT i
p = 4 * dx * a
PRINT "Значение пи равно ", p
END

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n . Полученные значения числа записаны в таблице:

Метод Монте-Карло

Это фактически метод статистических испытаний. Свое экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов, генерирующих случайные числа, может служить рулетка. Впрочем, можно получить случайные числа и при помощи …дождя.

Для опыта приготовим кусок картона, нарисуем на нем квадрат и впишем в квадрат четверть круга. Если такой чертеж некоторое время подержать под дождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга. Очевидно, что их отношение будет приближенно равно отношению площадей этих фигур, так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N_кр – число капель в круге, N_кв – число капель в квадрате, тогда

Дождь можно заменить таблицей случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. Каждому следу капли поставим в соответствие два случайных числа, характеризующих его положение вдоль осей Ох и Оу. Случайные числа можно выбрать из таблицы в любом порядке, например, подряд. Пусть первое четырехзначное число в таблице 3265 . Из него можно приготовить пару чисел, каждое из которых больше нуля и меньше единицы: х=0,32, у=0,65. Эти числа будем считать координатами капли, т. е. капля как будто попала в точку (0,32; 0,65). Аналогично поступаем и со всеми выбранными случайными числами. Если окажется, что для точки (х; у) выполняется неравенство, то, значит, она лежит вне круга. Если х + у = 1 , то точка лежит внутри круга.

Для подсчета значения снова воспользуемся формулой (1). Ошибка вычислений по этому методу, как правило, пропорциональна , где D – некоторая постоянная, а N –число испытаний. В нашем случае N = N_кв. Из этой формулы видно: для того чтобы уменьшить ошибку в 10 раз (иначе говоря, чтобы получить в ответе еще один верный десятичный знак), нужно увеличить N, т. е. объем работы, в 100 раз. Ясно, что применение метода Монте-Карло стало возможным только благодаря компьютерам. Программа 2 реализует на компьютере описанный метод.

Программа 2

REM "Вычисление пи"
REM "Метод Монте-Карло "
INPUT "Введите число капель ", n
m = 0
FOR i = 1 TO n
t = INT(RND(1) * 10000)
x = INT(t \ 100)
y = t - x * 100
IF x ^ 2 + y ^ 2

Программа была набрана и запущена при различных значениях параметра n. Полученные значения числа записаны в таблице:

Как определить число Пи в программе на языке C++? Стандартом языка эта константа не определена (но, возможно, появится в будущем).

Первая мысль — создать константу одного из вещественных типов. Сколько знаков после запятой нужно прописать? В стандарте языка определен класс-шаблон numeric_limits, с помощью которого можно узнать ограничения в том числе и вещественных типов языка. К примеру, значение std::numeric_limits ::digits10 возвращает количество десятичных цифр, которое тип может представлять без потери точности.

Третий способ определения числа Пи — с помощью одной из обратных тригонометрических функций. Например, с помощью арккосинуса:

Ну и на сладкое. Получение числа Пи с помощью ассемблерной вставки (отсюда):

Пи — одна из самых популярных математических констант, используемых во всех областях математики и физики. Это отношение длины окружности к диаметру круга, которое имеет приблизительное значение 22/7 или 3,14. Вы можете легко написать Пи от руки как строчную греческую букву Пи (π). Однако на клавиатуре нет клавиш по умолчанию для ввода Pi как в Windows, так и в macOS. Если вам нужно часто использовать π в документации, вот как вы можете вводить символы Pi с помощью сочетаний клавиш.

Значение Пи (Изображение предоставлено — Википедия)

Сводка сочетаний клавиш

Прежде чем мы объясним различные методы ввода символов Pi, вот краткое описание сочетаний клавиш.

Введите символ в Windows

Есть несколько способов ввести символ Пи в Windows в зависимости от приложения.

Введите символ Pi с помощью сочетаний клавиш Alt-кода

Если у вас большая клавиатура с отдельной цифровой панелью, то использование сочетаний клавиш с альтернативным кодом — самый простой вариант.

Сначала включите цифровую клавишу и поместите курсор в то место, где вы хотите вставить символ.
Удерживая одну из клавиш alt, введите 0960 с цифровой клавиатуры.
Это создаст на вашем документе символ Пи π.

Использование метода Alt + X в Word

Это полезный вариант для ввода символов только в документы Microsoft Word. Преимущество здесь в том, что для этого не требуется отдельная цифровая клавиатура.

Нажмите 03C0 и одновременно нажмите клавиши alt + x.
Это преобразует шестнадцатеричное значение в символ Пи, например π.

Ввод символа Pi в приложениях Microsoft Office

В дополнение к вышеуказанному методу alt + x в Word вы можете использовать утилиту Symbol во всех приложениях Microsoft Office, таких как Excel, PowerPoint и Outlook.

Использование редактора формул

Используйте редактор формул для ввода числа Пи

Вы можете использовать опцию автозамены в редакторе формул, набрав pi, чтобы быстро создать символ. Однако уравнения не похожи на обычный текст в вашем документе. Вы можете правильно выровнять их, чтобы они сочетались с другим контентом, особенно когда вам нужно распечатать.

Введите символ Pi с картой символов

Если ни один из вышеперечисленных методов не работает, вы можете использовать автономное приложение Character Map в Windows.

Введите символ в Mac

Также легко ввести символ Пи на Mac, используя один из следующих методов.

Использование ввода шестнадцатеричного кода

Во-первых, вы должны изменить метод ввода с клавиатуры со стандартного ABC на Unicode Hex Input. Вы можете в любое время переключить языковой ввод с верхней панели.

Убедитесь, что метод ввода отображается как U +, что означает ввод в формате Unicode Hex.

Поместите курсор в то место, где вы хотите ввести символ.
Удерживая одну из клавиш выбора на клавиатуре, введите 03C0, чтобы сделать символ Пи π.
Вы можете продолжить ввод с помощью U + или перейти на ABC.

Введите символ Pi с помощью средства просмотра символов

Если вы не можете изменить ввод с клавиатуры, следуйте этому методу, чтобы ввести символ Pi с помощью приложения Character Viewer.

Введите символ в HTML и CSS

Вы можете использовать десятичные или шестнадцатеричные кодовые точки в приведенном ниже формате для вставки символа Пи в HTML-документы. Кроме того, Pi также имеет имя объекта HTML, которое вы можете использовать.

Точно так же используйте шестнадцатеричное значение, как показано ниже, в вашем CSS, чтобы вставить символ Пи.

Варианты символов

Символ Пи похож на любые другие текстовые символы в приложениях Windows и Mac. Таким образом, вы можете изменить цвет и размер шрифта, а также применить к символу текстовые эффекты. Кроме того, приложение Mac Character Viewer предлагает встроенный вариант шрифта для символа. Вы можете выбрать символ, который выглядит как написанный от руки, из сотен доступных вариантов.

Ниже приведены некоторые другие символы Пи с вариациями. Помните, что в греческом языке также есть заглавная Пи Π (alt + 0928) и символ Пи ϖ (alt + 0982), которые отличаются от математического символа Пи (π).

Символы Пи	Имя	Альтернативный код
Математический жирный маленький Пи	120529	1D6D1
Математический курсив Маленький Пи	120587	1D70B
Математический полужирный курсив Маленький Пи	120645	1D745
Математический жирный маленький Пи без засечек	120703	1Д77Ф
Математический шрифт без засечек, жирный, курсив, маленький, пи	120761	1D7B9

Получение значения Пи

Как уже упоминалось, приблизительное значение Пи составляет 22/7, и ниже приведены некоторые дроби, используемые для вычисления значения Пи.

Однако Пи — иррациональное число, не имеющее бесконечных десятичных знаков без повторяющегося шаблона. Люди используют 3,14 как приблизительное значение, а вот первые 100 цифр числа Пи.

Вы также можете быстро получить значение Пи, выполнив поиск в Google, который покажет до 11 десятичных знаков.

С недавних пор существует элегантная формула для вычисления числа Пи, которую в 1995 году впервые опубликовали Дэвид Бэйли, Питер Борвайн и Саймон Плафф:

Казалось бы: что в ней особенного — формул для вычисления Пи великое множество: от школьного метода Монте-Карло до труднопостижимого интеграла Пуассона и формулы Франсуа Виета из позднего Средневековья. Но именно на эту формулу стоит обратить особое внимание — она позволяет вычислить n-й знак числа пи без нахождения предыдущих. За информацией о том, как это работает, а также за готовым кодом на языке C, вычисляющим 1 000 000-й знак, прошу под хабракат.

Как же работает алгоритм вычисления N-го знака Пи?
К примеру, если нам нужен шестнадцатеричный знак числа Пи, мы домножаем всю формулу на 16^1000, тем самым обращая множитель, стоящий перед скобками, в 16^(1000-k). При возведении в степень мы используем двоичный алгоритм возведения в степень или, как будет показано в примере ниже, возведение в степень по модулю. После этого вычисляем сумму нескольких членов ряда. Причём необязательно вычислять много: по мере возрастания k 16^(N-k) быстро убывает, так что, последующие члены не будут оказывать влияния на значение искомых цифр). Вот и вся магия — гениальная и простая.

Формула Бэйли-Борвайна-Плаффа была найдена Саймоном Плаффом при помощи алгоритма PSLQ, который был в 2000 году включён в список Top 10 Algorithms of the Century. Сам же алгоритм PSLQ был в свою очередь разработан Бэйли. Вот такой мексиканский сериал про математиков.
Кстати, время работы алгоритма — O(N), использование памяти — O(log N), где N — порядковый номер искомого знака.

Думаю, уместно будет привести код на языке Си, написанный непосредственно автором алгоритма, Дэвидом Бэйли:

Какие возможности это даёт? Например: мы можем создать систему распределённых вычислений, рассчитывающую число Пи и поставить всем Хабром новый рекорд по точности вычисления (который сейчас, к слову, составляет 10 триллионов знаков после запятой). Согласно эмпирическим данным, дробная часть числа Пи представляет собой нормальную числовую последовательность (хотя доказать это достоверно ещё не удалось), а значит, последовательности цифр из него можно использовать в генерации паролей и просто случайных чисел, или в криптографических алгоритмах (например, в хэшировании). Способов применения можно найти великое множество — надо только включить фантазию.

Больше информации по теме вы можете найти в статье самого Дэвида Бэйли, где он подробно рассказывает про алгоритм и его имплементацию (pdf);

И, похоже, вы только что прочитали первую русскоязычную статью об этом алгоритме в рунете — других я найти не смог.

Читайте также: