Как сделать чертеж треугольника

Добавил пользователь Skiper
Обновлено: 05.10.2024

Широкое распространение в геометрии получили задачи на построение. Суть этих задач состоит в следующем: при заданных начальных условиях нужно построить тот или иной геометрический объект при помощи линейки и циркуля. Разберем общие принципы решения данных задач:

Анализирование задачи. На этом этапе необходимо установить взаимосвязь между заданными условиями и объектом, который нужно изобразить. Результатом выполнения этого этапа является план решения задачи.

Построение. Согласно разработанного плана выполняется построение объекта.

Доказательство. На этом этапе необходимо доказать, что изображенная фигура полностью соответствует заданным условиям.

Сложно разобраться самому?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Изучение. На этом этапе выполняется анализ начальных условий и определение, при каких условиях задача решается одним способом, при каких двумя, а при каких – вовсе не решаема.

Разберем задачи на построение треугольника по трем различным начальным условиям.

Изображение треугольника, если задана одна сторона и два прилегающих к ней угла

Задана одна сторон треугольника \(BC\) и прилежащие к ней углы \(∝\) и \(β\) , необходимо построить треугольник.

1. Анализируем условия. Необходимо построить треугольник \(ABC\) , имея одну сторону \(BC\) и углы \(∠K= ∝ и ∠M= β\) к ней прилежащие. Разработаем план решения задачи:

Начертим прямую a, а на ней отмерим отрезок \(BC\) ;
Изображаем угол \(∠K= ∝\) с центром в вершине \(B\) на стороне \(BC\) ;
Изображаем угол \(∠M= β\) с центром в вершине \(C\) на стороне \(BC\) ;
На пересечении лучей построенных углов получим точку \(A\) , соединяем ее с точками \(C\) и \(B\) , получаем отрезки \(AC\) и \(AB\) .

2. Строим треугольник

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

4. Изучение. Заданные углы могут быть построены и в противоположную сторону, соответственно мы можем построить еще один треугольник, но так как он точно такой же, как и первый, можно считать, что решение этой задачи единственное. Учитывая то, что сумма всех углов треугольника должна равняться 180 0 , если сумма углов \(∝\) и \(β\) будет равна или больше 180 0 , решения задача не будет иметь.

Изображение треугольника, если заданы три стороны

Заданы три стороны треугольника \(AB\) , \(AC\) и \(BC\) , нужно построить треугольник.

1. Анализируем условия. Необходимо построить треугольник \(ABC\) , имея три стороны \(AB\) , \(AC\) и BC. Разработаем план решения задачи:

Начертим прямую \(a\) , а на ней отмерим отрезок \(AB\) ;
Чертим с помощью циркуля две окружности. Одна окружность будет с центром в точке \(A\) с радиусом \(AC\) , а вторая с центром в точке \(B\) с радиусом \(BC\) ;
На пересечении окружностей мы получим точку \(C\) , соединяем ее с точками \(A\) и \(B\) , получаем отрезки \(AC\) и \(BC\) .

2. Строим треугольник:

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

4. Изучение. Построенные окружности имеют две точки пересечения, поэтому мы можем построить еще один треугольник, но так как он точно такой же, как и первый, можно считать, что решение этой задачи единственное. Учитывая то, что сумма двух сторон треугольника всегда больше, чем третья его сторона, можно сделать вывод, если это условие не будет выполнено для заданных сторон, то задача не будет иметь решение.

Изображение треугольника, если заданы две стороны и угол между ними

Заданы две стороны треугольника \(AB\) и \(AC\) , а также угол ∝ между ними, необходимо построить треугольник.

1. Анализируем условия. Необходимо построить треугольник \(ABC\) , имея стороны \(AB\) и \(AC\) , а также угол \(CAB\) , равный \(∝\) . Разработаем план решения задачи:

начертим прямую \(a\) , а на ней отмерим отрезок \(AB\) ;
отмеряем угол \(MAB\) , равный \(∝\) ;
откладываем отрезок \(AC\) на прямой \(AM\) ;
чертим третью сторону треугольника \(CB\) , соединяя точки \(B\) и \(C\) .

2. Строим треугольник:

3. Доказательство. По изображенному рисунку делаем вывод, что все заданные условия выполнены в полной мере.

4.Изучение. Прямая a бесконечна, поэтому таких треугольников можно изобразить очень много, но учитывая тот факт, что они все одинаковые, будем считать, что задача имеет одно решение. При условии, если угол \(∝\) будет равен или больше 180 0 , решения задача не будет иметь, так как сумма всех углов треугольника должна равняться 180 0 .

Не нашли нужную информацию?

Закажите подходящий материал на нашем сервисе. Разместите задание – система его автоматически разошлет в течение 59 секунд. Выберите подходящего эксперта, и он избавит вас от хлопот с учёбой.

Гарантия низких цен

Все работы выполняются без посредников, поэтому цены вас приятно удивят.

Доработки и консультации включены в стоимость

В рамках задания они бесплатны и выполняются в оговоренные сроки.

Вернем деньги за невыполненное задание

Если эксперт не справился – гарантируем 100% возврат средств.

Тех.поддержка 7 дней в неделю

Наши менеджеры работают в выходные и праздники, чтобы оперативно отвечать на ваши вопросы.

Тысячи проверенных экспертов

Гарантия возврата денег

Эксперт получил деньги, а работу не выполнил?
Только не у нас!

Деньги хранятся на вашем балансе во время работы над заданием и гарантийного срока

Гарантия возврата денег

В случае, если что-то пойдет не так, мы гарантируем возврат полной уплаченой суммы

Построение с помощью циркуля и линейки – древнейший способ расчета в евклидовой геометрии. Известен со времен Древней Греции. Данная тема изучается в средних и старших классах на уроках геометрии.

Рассмотрим все случаи построения на конкретных примерах.

Построение отрезка, равного данному

Есть отрезок СD. Задача - начертить равнозначный данному отрезок той же величины.

Строится луч, имеющий начало в т. A. Циркуль отмеряет существующий отрезок CD. Циркулем откладывается отрезок, равнозначный первому отрезку, на том же начерченном луче от его начала (A).

Для подобного чертежа ножку с иглой закрепляют в начале луча A, а с помощью части с грифелем проводится дуга до места соприкосновения с лучом. Данную точку можно обозначить т. B.

Отрезок AB будет равнозначен отрезку СD. Задача решена.

Деление отрезка пополам

Имеется отрезок AB.

Сначала следует нарисовать окружность с радиусом больше половины отрезка AB с центром в т. A.

Далее чертится круг с тем же радиусом с серединой в т. B. В местах пересечения окружностей имеем т. C и т. D.

Сквозь эти точки требуется провести прямую линию. Получаем т. E, которая будет серединой отрезка AB.

Построение угла, равного данному

Имеется угол ABC.

Вблизи угла проводится луч ED. Далее чертится окружность с серединой в т. B. В итоге имеем точки M и N.

Оставив раствор циркуля прежним, рисуют круг с серединой в т. E. В точке соприкосновения имеем т. K.

Поменяв раствор циркуля на длину расстояния между т. M и т. N, нужно провести окружность с серединой в т. K. В итоге получается т. F. После чертится прямая из т. E через т. F. Образуется угол DEF, который будет равнозначен углу ABC. Задача решена.

Построение перпендикулярных прямых

Пример 1

Точка O находится на прямой a.

Есть прямая и точка, находящаяся на ней. Нанести линию, идущую через существующую точку и находящуюся под прямым углом к имеющейся прямой.

Шаг 1. Чертим круг с рандомным радиусом r с серединой в т. O. Окружность соприкасается с прямой в т. A и т. B.

Шаг 2. Из имеющихся точек строится круг с радиусом AB. Точки С и D являются точками соприкосновения окружностей.

Приложив линейку, чертят прямую, сквозь т. O и одну из т. C или т. D, к примеру отрезок OC.

Доказательство, что прямая OC лежит перпендикулярно a.

Намечаются два отрезка - AC и CB. Получившиеся треугольники будут равны, согласно третьему признаку равенства треугольников. Значит, прямая CO перпендикулярна AB.

Пример 2

Точка O находится вне прямой а.

Нарисовать окружность с радиусом r из т. O. Она должна проходить сквозь прямую a. A и B — точки её соприкосновения с прямой.

Оставив прежний радиус, рисуем окружности с серединой в т. A и т. B. Точка O₁ - место их соприкосновения.

Рисуем линию, соединяющая т. O и т. O1.

Доказательство выглядит следующим образом.

Две прямые ОО₁ и AB пересекаются в т. C. Согласно третьему признаку равенства всех треугольников AOB = BO₁A. Из данного вывода следует, что угол OAC = O₁AC. Одноименные треугольники также будут равны (согласно первому признаку равенства всех треугольников).

Исходя из этого, выводим, что угол OCA = O₁CA, а, учитывая смежность углов, приходим к пониманию, что они прямые. А это означает, что OC – перпендикулярный отрезок, опущенный из т. O на прямую a. Задача решена.

Построение параллельных (непересекающихся) прямых

Имеется прямая и т. А, не лежащая на этой прямой.

Нужно отметить прямую, проходящую через т. A, и параллельную имеющейся прямой.

Берется рандомная точка на имеющейся прямой и именуется B. С помощью циркуля строится окружность радиуса AB с серединой в т. B. В месте пересечения окружности и данной прямой отмечается т. C.

Оставив прежний радиус, рисуется еще одна окружность, теперь уже с центром в т. C. При правильных расчетах дуга должна пройти через т. B.

C тем же радиусом AB строится окружность с серединой в т. A. Точку соприкосновения второй и третьей окружностей назовем D. Третья окружность, учитывая верность расчетов, также пройдет через т. B.

Проводится прямая через т. A и т. D, которая станет параллельной первой. В итоге, получились две параллельные прямые, BC и AD.

Построение правильного треугольника, вписанного в окружность

Правила построения правильного треугольника, вписанного в окружность:

Отметить отрезок AB, чья длина будет равняться а.

Взять циркуль. Часть с иголкой расположить на т. А, а часть с карандашом на т. B. Прочертить окружность. В итоге, радиус круга будет равнозначен длине отрезка AB.

Далее иглу размещают на т. B, а часть с грифелем на т. A. Чертится круг. В итоге, его радиус будет равнозначен длине отрезка AB.

На чертеже окружности пересеклись в двух точках. Далее нужно соединить т. A и т. B и одну из вышеупомянутых точек. В результате получится равносторонний треугольник.

Стороны такого треугольника равнозначны радиусам двух окружностей, которые равны длине а. Задача решена.

Построение правильного четырехугольника вписанного в окружность

Вариант 1

Исходя из данности, что диагонали любого квадрата пересекаются в середине окружности и находятся по отношению к его осям под углом 45 градусов, производят следующие действия. Пользуясь линейкой и уголком с углами 45 градусов (см. рисунок), размечают вершины т. 1 и т. 3.

Сквозь данные точки чертят отрезки, стороны четырехугольника, расположенные по горизонтали. Это т. 4 и т. 1, т. 3 и т. 2. В конце линейкой и уголком по его катету проводятся линии, расположенные по вертикали (высоты), отрезок т.1 — т. 2 и отрезок т. 4 — т. 3.

Вариант 2

Так как вершины правильного четырехугольника разделяют наполовину дуги окружностей, между точками диаметра (см. рисунок), то для достижения результата делают следующее: отмечают на точках перпендикулярных диаметров т. A, т. B и т. C и рисуют дуги до их соприкосновения.

После чертят прямые через места соприкосновения дуг, которые выделены на фигуре линиями. Точки соприкосновения с окружностью будут являться вершинами — это т. 1 и т. 3, т. 4 и т. 2. Данные вершины полученного квадрата соединяют друг с другом.

Задача выполнена двумя способами.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника

Поместить на окружность т. 1, считая ее за вершину пятиугольника. Разделить отрезок AO пополам. Чтобы произвести подобную операцию, из т. A чертят дугу до места соприкосновения с окружностью в т. M и т. B.

Расположив конкретные точки на прямой, получаем т. K, и после совмещаем с т. 1. Радиусом, длина которого – отрезок А1, сделать изгиб из т. K до места соприкосновения с линией АО в т. H. После совместить т. 1 и т. H, образуя одну из пяти сторон пятиугольника.

Взять циркуль, величина раствора которого будет равна отрезку т.1 — т. H, нарисовать изгиб из т. 1 до соприкосновения с кругом. Так находят вершины 2 и 5. Отметив точки на вершинах 2 и 5, получают вершины 3 и 4. В конце все точки совмещают друг с другом.

Построение правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Решение подобной задачи строится на свойствах, где сторона шестиугольника равнозначна радиусу круга.

Для расчета разделяют круг на шесть ровных частей и последовательно совмещают все полученные точки (см. рисунок). Задача решена.

Прошу не путать с вопросом, в котором речь идёт о головоломке и сферической поверхности.

Друзья мои, сначала я некоторое время продумывал план своего ответа, затем приступил к подготовке иллюстраций к нему. Но в какой-то момент меня осенило! В условии задачи ничего не сказано о размерах треугольников и, следовательно, они могут быть любыми. В таком случае можно применить один предельно простой способ для того, чтобы нарисовать прямоугольный треугольник. Возьмите любой квадрат или прямоугольник и проведите в нём диагональ. Вы получите сразу по два таких треугольника.

Есть ещё один возможный вариант - обрисовать вокруг тот самый вспомогательный треугольник, который уже использовался в первом случае. Но он может оказаться слишком большим и в некоторых случаях даже на две страницы не поместится, не говоря уже об одной. Тем не менее, такие треугольники, как правило, именно прямоугольные.

Но чаще на практике возникает необходимость изобразить прямоугольный треугольник с заданными размерами. И хорошо, если известны длины катетов. Тогда от точки А до точки B мы проводим первый отрезок (A-B). Прикладываем к нему всё тот же деревянный или пластмассовый треугольник и делаем риску перпендикулярно первому отрезку. Затем следует по намеченной линии отмерить расстояние, соответствующее длине второго катета (B-C).

Теперь нам остаётся только соединить точки A и C, получив гипотенузу прямоугольного треугольника (A-C).

В случае, когда длина катетов окажется одинаковой, мы автоматически получим равнобедренный треугольник. Но он не может быть равносторонним. Почему? Очень просто - в прямоугольном треугольнике один из углов равен 90 градусов. А это половина от возможных 180-ти. В равностороннем обязательно равны не только стороны фигуры, но и размеры их углов - 180 / 3 = 60 градусов.

Таким образом, если у вас есть транспортир, то будет совершенно не затруднительно изобразить одну сторону треугольника (A и B), а потом из концов отрезка наметить риски под углом 60 градусов и уже по ним нарисовать отрезки той же длины. Если всё сделать правильно, концы отрезков окажутся в одной точке C.

Но чаще вместо транспортира приходится задействовать циркуль, ножки которого раздвигаются на длину изображённой стороны треугольника. Затем игла ставится в одну вершину и карандашом делается риска (дуга) в районе предполагаемой точки C. Переставив иглу в точку B, делаем вторую риску и там, где она пересекается с первой дугой, получаем точку C. Остаётся соединить её с точками A и B - равносторонний треугольник будет изображён на листе тетради. Думаю, что с этой задачей вы легко справитесь сами.

Прошу не путать с вопросом, в котором речь идёт о головоломке и сферической поверхности.

Теперь нам остаётся только соединить точки A и C, получив гипотенузу прямоугольного треугольника (A-C).

Читайте также: