Как сделать цепочку по математике

Добавил пользователь Morpheus
Обновлено: 05.10.2024

Рассматриваются задачные конструкции дидактического назначения, позволяющие реализовать идеи продуктивного обучения математике. Раскрыты сущностные характеристики развивающейся цепочки взаимосвязанных задач ; приведена ее авторская дефиниция; показана сфера применения.

A DEVELOPING CHAIN OF PROBLEMS AS A METHODOLOGICAL BASIS FOR PRODUCTIVE TEACHING OF MATHEMATICS

We consider didactic problem constructions that allow to implement the idea of productive teaching of mathematics. Essential characteristics of a developing chain of interrelated problems are presented; the author's definition is given; the scope of application is shown.

Инновации в образовании Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2014, № 3 (4), с. 51-55

УДК 372.016:51 (075.8)

РАЗВИВАЮЩАЯСЯ ЦЕПОЧКА ЗАДАЧ КАК МЕТОДИЧЕСКАЯ ОСНОВА ПРОДУКТИВНОГО ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ

Арзамасский филиал ННГУ им. Н.И. Лобачевского

Поступила в редакцию 11.06.2014

Рассматриваются заданные конструкции дидактического назначения, позволяющие реализовать идеи продуктивного обучения математике. Раскрыты сущностные характеристики развивающейся цепочки взаимосвязанных задач; приведена ее авторская дефиниция; показана сфера применения.

Ключевые слова: математическое образование, продуктивное обучение, задачные конструкции, внутренняя мотивация, цепочки взаимосвязанных задач.

Подбор задач имеет едва ли не определяющее значение в школьном математическом образовании. Выполняя мотивационные, дидактические и развивающие функции, совокупности взаимосвязанных задач целевого назначения (задачные конструкции) выступают в качестве особого методического средства, способного обеспечивать усвоение учебного материла, интеллектуальное развитие обучаемых, удовлетворение их познавательных потребностей [1].

Задачные технологии обучения в контексте деятельностного подхода к обучению математике есть, по сути, одно из главных направлений развития методической мысли [2]. Реализуя его, не следует забывать, что в обучении всё же достаточно многое зависит от внешних условий, немало субъективных и ситуативных явлений, возникающих по ряду причин или стечению обстоятельств.

Разумеется, задачная конструкция не есть решение всех образовательных проблем. Она всего лишь идеальная модель образовательного процесса, а потому лишь односторонне имитирует реальный образовательный процесс.

Другими словами, задачная конструкция может стать эффективным средством обучения лишь в руках искусного педагога. А гуманизация обучения математике, вероятно, и будет состоять в том, чтобы в задачной конструкции,

как главном средстве организации познавательной деятельности обучаемых, как можно более полно представить духовное педагогическое начало.

Наиболее употребительными в методических изысканиях и практике школьного математического образования задачными конструкциями являются, как известно, системы задач. Однако ниже пойдёт речь о других задачных конструкциях - цепочках задач, получающих всё большее распространение в работе с одарёнными школьниками, студентами колледжей и университетов [3].

Развивающаяся цепочка взаимосвязанных задач (РЦВЗ) есть такая совокупность задач целевого назначения, постановка и решение каждой задачи которой (за исключением первой) порождаются решением предыдущих задач. Обобщённая структурная модель цепочки представлена на рис. 1.

где: З,(г'= 1, 2, .. .и) - совокупность взаимосвязанных задач, М,('= 1, 2, . п-1) - совокупность мотивов, обусловливающих их постановку и решение.

Рис. 1. Обобщённая структурная модель развивающейся цепочки взаимосвязанных задач

Характер взаимосвязи задач в структуре РЦВЗ может быть различным. В самом общем смысле такую взаимосвязь можно называть взаимосвязью порождения.

II. Отличительные черты РЦВЗ

1. Наличие внутренней мотивации

Это весьма существенное и достаточно деликатное отличие РЦВЗ от других совокупностей задач целевого назначения, употребляемых в практике математического образования.

Учебные мотивы должны быть внутренними, вызывающими естественное желание обучаемого совершать познавательную деятельность: узнавать, находить, строить, вычислять, составлять, описывать, формулировать, доказывать и т.п. Они, по возможности, должны быть предметными, связанными с конкретной математической закономерностью, числовой или геометрической особенностью, различными формами её проявления, выражения (записи). Им должна быть свойственна целость, обеспечивающая единство общего замысла всей деятельности по решению совокупности задач. Наконец, они должны быть действенными, т.е. вызывающими устойчивое стремление к деятельности по удовлетворению возникающих познавательных потребностей. Действенность мотивов усиливается рядом условий, важнейшим среди которых в данном случае является посильность решения задачи для обучаемого.

РЦВЗ обеспечивает своеобразную самомотивацию познавательной деятельности обучаемых. Последующие действия зарождаются и формируются непосредственно при выполнении самой деятельности. В процессе формулировки последующего задания мотив переходит в цель дальнейшей деятельности.

2. Открытость структуры

Структурная модель развивающейся цепочки взаимосвязанных задач, представленная на рис. 1, условна, поскольку в реальном познавательном процессе и число, и формулировки порождённых задач могут значительно отличаться от планируемых. Некоторые задачи могут не ставиться вообще, а лишь предвосхищаться или оцениваться как тривиальные. Напротив, могут

быть поставлены и решены задачи, которые изначально не предполагались (поскольку их математическое содержание не было известно): в процессе решения появляется неожиданная гипотеза, позволяющая сформулировать новую задачу и получить интересные результаты; в свою очередь эта новая задача может породить многие другие, позволяющие углубить и расширить представления о некой области математического знания.

3. Продуктивность деятельности

Продуктивность в образовании чаще всего

понимается как обеспечение чёткой нацеленности на реальный, конкретный конечный продукт, создаваемый обучаемым в процессе его деятельности. Классик отечественной психологии С.Л. Рубинштейн [4] отмечал, что человек, сделавший что-нибудь значительное, становится в известном смысле другим человеком; а чтобы сделать что-нибудь значительное, нужно иметь внутренние возможности для этого. Однако эти возможности и потенции человека отмирают, если они не реализуются; и лишь по мере того, как личность предметно, субъектно реализуется в продуктах собственного труда, она через них растет и формируется.

В контексте деятельностного подхода к обучению представляется важным определение видов учебной продуктивной математической деятельности, результатов (продуктов) деятельности и методических средств, при помощи которых становится возможным вовлечение обучаемых в продуктивную деятельность.

В самом первом приближении применительно к данному случаю сказанное ориентирует на постановку задач, предполагающих:

- придумывание примеров математических объектов;

- составление аналогичных задач;

- моделирование объектов или процессов;

- отыскание способов доказательства;

- отыскание различных способов решения (доказательства);

- построение теорий (локальных) [5].

4. Индуктивный ход мысли

Рис. 2. Общая логика познавательного процесса в РЦВЗ

Для индуктивного познания необходимы вполне осязаемые ориентиры, задающие направление поисково-познавательной деятельности. В качестве них могут выступать параметры изменения задачной ситуации: варьирование числовых данных, изменение условия задачи, преобразование её требования и т.п. [7].

На первых порах они могут задаваться комментариями учителя или самой последовательностью задач в формирующейся цепочке; в идеале должны осознаваться самим решающим задачи. 5. Заданность общей логики познавательного процесса

На достижение этой цели в первую очередь и ориентирована совокупность мотивов. Этому же служит и общая логика познавательного процесса, отражающая видовое своеобразие обсуждаемой задачной конструкции. Она определяет также цикличность в построении поисковой деятельности и самой задачной конструкции. К примеру, общая логика познава-

тельного процесса в используемых нами развивающихся цепочках взаимосвязанных задач [8] отражена на рис. 2.

III. Исходная задача в РЦВЗ

Исходная задача в РЦВЗ выполняет особую миссию. Она несёт в себе начальные, быть может не осознаваемые во всей полноте, мотивы предстоящей деятельности, в снятом виде задаёт общее направление учебного познания, является исходной клеточкой, прообразом тех умозаключений и обобщений, ради которых эта цепочка задач задействуется в учебном процессе.

Понятно, что такую миссию может выполнить далеко не всякая учебная задача. Более подходят те их них, которым свойствен потенциал возможных продолжений. Каждая такая задача - одна из серии аналогичных задач, являющихся конкретным проявлением общей математической закономерности, которую предстоит установить, осознать, выразить математическим языком.

Но прежде всего, такая задача должна быть принята обучаемым, а значит, она должна обладать развивающей, гуманитарной, прикладной или иной образовательной ценностью [9].

Наконец, важно и наличие у такого рода задачи естественного параметра, которому можно следовать в поисковых устремлениях. Видимость этого параметра облегчает процесс принятия задачи решающим, создаёт условия, благоприятствующие выбору направления исследования, осуществлению начальных шагов мыслительного поиска. Для менее способных к математике он, как нить Ариадны, указывает спасительный путь в лабиринте смутных предположений. Более способным к математике он помогает в выборе очередного шага, то есть развивает важнейшее для математика умение

определять значимые факты и перспективные направления поиска (исследования).

1. Тестов В.А. Обновление содержания обучения математике: исторические и методологические аспекты. Вологда: ВГПУ, 2012. 176 с.

2. Боровских А.В., Розов Н.Х. Деятельностные принципы в педагогике и педагогическая логика. М.: МАКС Пресс, 2010. 84 с.

3. Зайкин М.И., Арюткина С.В., Зайкин Р.М. Цепочки, циклы и системы математических задач: Монография / Под общ. ред. М.И. Зайкина. Арзамас: АГПИ, 2013. 135 с.

4. Рубинштейн С.Л. Основы общей психологии. СПб.: Питер, 1999. 720 с.

5. Зайкин М.И. Семантические аспекты педагогической технологии математического творчества // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2012. № 4-1. С. 62-65.

6. Болтянский В.Г., Савин А.П. Беседы о математике. Кн. 1: Дискретные объекты. М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. 368 с.

7. Хрестоматия по методике математики: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений / Сост. М.И. Зайкин., С.В. Арюткина. Арзамас: Изд-во Арзамаского гос. пед. института им. А.П. Гайдара, 2005. 300 с.

8. Зайкин М.И. О приобщении школьников к математическому творчеству // Школьные технологии. 2012. № 5. С. 46-59.

9. Зайкин Р.М. О составлении профессионально-ориентированных задач в математической подготовке специалистов-гуманитариев // Школа будущего. 2010. № 5. С. 9-13.

A DEVELOPING CHAIN OF PROBLEMS AS A METHODOLOGICAL BASIS FOR PRODUCTIVE TEACHING OF MATHEMATICS

Keywords: mathematics education, productive teaching, problem construction, intrinsic motivation, chain of interrelated problems.

Подготовка к школе бывает не простой. Довольно часто дети отказываются заниматься, считая задания скучными или сложными. У родителей не бесконечная фантазия и терпение на написание примеров по математике. На помощь приходят математические цепочки. Они довольно интересные, не сложные, подразумевают и раскраску. Всё, что требуется, распечатать изображение на принтере, либо открыть в специальной программе редактирования, где ребёнок сможет вписывать ответы в цепочку.

Образовательные области: познавательное развитие (ФЭМП), социально-коммуникативное развитие.

Возрастная группа: старшая группа (5-6 лет).

Цель:изучение логических цепочек и их решение, совершенствование имеющихся математических представлений, посредством игры – путешествия по математической тропинке, при этом отработка мыслительных операции (фантазию, воображение, логическое мышление) при выполнении практических заданий, а также умение слышать и слушать друг друга, самостоятельность при выполнении заданий.

Цель ребенка: умениесоставлять логические цепочки в пределах десяти в соответствии с условиями.

Образовательная: отработать умение составлять логические цепочки и классифицировать их при решении практических заданий.

Развивающая: развивать логическое мышление, грамматически правильную диалогическую речь, слуховое восприятие.

Воспитательная: воспитывать самостоятельность, внимательность при выполнении заданий.

Дополнительные задачи:

Дидактическая: создать условия для выполнения практических заданий, умение ориентироваться на листе бумаги (части листа, левый, правый угол);

Игровая: принимать участие в дидактической игре, выполнять предложенные игровые задания, получая за правильное выполнение ключи и набрав нужное количество, открыть замок.

Планируемый результат: сформировали знания о составлении логических цепочек, узнали их виды, решения.

Предварительная работа: повторение счета в пределах десяти.

Задачи этапа

Деятельность воспитателя

Деятельность детей

Методы, формы, приемы

Планируемый результат

Мотивировать детей на дальнейшую деятельность.

(Воспитатель приглашает детей пройти на ковёр и встать в круг)

Собрались все дети в круг,

Я твой друг и ты мой друг.

Крепко за руки возьмёмся

И друг другу улыбнемся.

- Дети, я очень рада вас видеть. (Воспитатель показывает детям сундук).

- Дети, посмотрите какой сундук я нашла, хотели бы вы узнать, что в нем?

(Воспитатель пытается открыть сундук и не может)

Здороваются и слушают воспитателя.

Встают в круг, улыбаются друг другу

Обращают внимание на сундук

Вовлечение в деятельность.

Поставить перед детьми проблемную ситуацию.

- Дети, посмотрите сколько замков на сундуке?

- Сколько ключей нам нужно найти, чтобы открыть замки на сундуке?

- Правильно, значит, чтобы найти семь ключей нам нужно выполнить все задания которые встретятся нам на пути нашего увлекательного путешествия.

- Дети, вы готовы выполнить задания? Тогда мы отправляемся на математическую тропинку.

Словесный (беседа, проблемная ситуация и вопросы)

Дети понимают, что от них требуется.

Дети смотивированы на предстоящую образовательную деятельность.

Изучение, объяснения новых знаний и умений.

Формировать у детей умение называть предыдущее и последующее число к заданному;

воспитывать у детей желание слушать педагога и точно выполнять инструкцию к заданию.

(Воспитатель предлагает детям поиграть в имитационную игру и приглашает)

- А сейчас мы с вами перенесемся на сказочную математическую тропинку.

(вращение перед грудью согнутыми в локтях руками)

(руки в стороны, поочерёдные наклоны влево и вправо)

На тропинку тихо сели.

(присесть, руки к коленям).

- Дети, посмотрите на мольберт.

- Перед вами цепочка из десяти пуговиц, если мы из нее уберем три пуговицы. Сколько останется пуговиц и сколько получится цепочек?

Как мы будем выполнять это задание?

- Молодцы ребята! За правильное выполнение задания мы получили ключ!

- Следующее задание от весёлого Арифметика.

У вас есть цепочка из цифр, найдите, какого числа в этой цепочке не хватает. Давайте посчитаем 5,6,7,8,9. Какого числа не хватает в цифровом ряду?

- Перед вами на столах лежат карточки и цифры вам необходимо найти нужную цифру и положить в пустую клетку восстановив цифровую цепочку.

Как выполним это задание?

Какие цифры нам известны?

- Мы с вами справились с этим заданием и получаем ключ, какие цепочки встретилась нам на пути?

- Если цепочка состояла из цифр, значит, как она называется?

Играют в имитационную игру (повторяют движения).

Присаживаются за столы, проверяют посадку за столом.

Реагируют на просьбу героя о помощи.

Отвечают: в цепочке десять пуговиц, если убрать 3 пуговицы (убирают). Теперь считаем.

Получится одна цепочка из семи пуговиц.

Восстанавливают цифровую цепочку.

Применяя порядковый счет, считают.

Отвечают: нужно посчитать.

Дети с помощью воспитателя выполняют счет, определяют каких цифр не хватает. 9,8,7,6.

Получают ключ. Из цифр

Словестный (беседа, вопросы, объяснения, указания, художественное слово)

Практический (физкультминутка, имитация, игровые задания)

Фронтальная, индивидуальная форма

Дети слушают, отвечают, проявляют интерес.

Дети умеют считать от одного до десяти.

Дети демонстрируют умение называть предыдущее и последующее число к заданному.

Дети проявляют желание слушать педагога и точно выполнять инструкцию к заданию.

Обработка первичных умений и навыков.

Развивать у детей умение группировать блок в соответствии с выделенными свойствами;

воспитывать дружеские взаимоотношения между детьми.

Перед вами лежат девять яблок, положите их так, чтобы получилось три одинаковых цепочки из этих яблок.

- Как мы это выполним? Мне в этом помогут Маша и Дима.

- Сколько получилось яблок в 3 одинаковых цепочках?

- Мы выполнили правильно задание и получаем еще один ключ, давайте посчитаем сколько уже мы получили ключей?

- Чтобы нам получить следующий ключ нужно посчитать, сколько воздушных шаров осталось у нашего героя.

- Ребята, а какая геометрическая фигура называется треугольником?

- Получаем ключ от Лиса Геометриса, жителя математической тропинки

- Скажите, насколько разделится цепочка из двенадцати бусин, если вы из этой цепочки уберете две бусины из середины цепочки, две бусины слева цепочки и две бусины справа?

- Какие цепочки мы составляли?

- Дети, посмотрите, нам на пути встретились звезды – хранители математической тропинки им тоже нужна наша помощь, давайте им тоже поможем.

- У вас в цепочке восемь звезд, раскрась вторую и пятую звезду карандашом синего цвета, а первую и восьмую звезду карандашом красного цвета.

(Воспитатель следит за правильностью выполнения данного задания, оказывает направляющую помощь затрудняющимся детям)

- Молодцы, ребята! Теперь звезды дарят нам ключ для замка за то, что мы помогли им, стать яркими.

- Дети, давайте посмотрим, сколько у нас ключей?

- Как вы думаете все ли ключи найдены?

- Тогда нам нужно вернуться в детский сад, чтобы открыть все замки на сундуке.

(На каждого ребенка приготовлены: лист бумаги и геометрические фигуры)

- Дети, посмотрите нам на обратном пути встретились геометрические фигуры математической тропинки –Они рассыпались на поляне и забыли где их дом. Теперь они просят нас о помощи, чтобы мы помогли им найти свой его. Поможем?

- Дети, перед вами лежит лист бумаги – это дом. Проведите по верхней части листа, проведите по нижней части листа, проведите по левой части листа, проведите по правой части листа. Найдите верхний правый угол поставьте палец, найдите левый нижний угол поставьте палец, найдите левый верхний угол поставьте палец, найдите правый нижний угол поставьте палец, найдите центр поставьте палец.

- Теперь в левый верхний угол положите красный квадрат, в правый нижний угол положите синий круг,

в правый верхний угол положите зеленый маленький треугольник,

в левый нижний угол положите желтый прямоугольник, в центр листа положите зеленый большой треугольник.

- Теперь положите синий круг между красным квадратом и зеленым треугольником, положите красный квадрат между зеленым маленьким треугольником и синим кругом, положите желтый прямоугольник между красным квадратом и зеленым маленьким треугольником, положите синий большой треугольник между красным квадратом и желтым большим треугольником.

- Вот нам, и пора возвращаться обратно, всем жителям математической тропинки мы помогли и получили ключи.

Резервное задание

(Воспитатель следит за правильностью выполнения интерактивного задания, оказывает направляющую помощь затрудняющимся детям,обращается внимание на застенчивых детей).

- 1 задание посчитать сколько на картинке бананов? ананасов и груш?

-Следующее задание найди овал. Паша нам назовет основные признаки геометрической фигуры овал.

- Двигаемся дальше, задание звучит так, какая фигура должна стоять на месте вопросительного знака?

- Наверное, знает Миша. Как мы определим какая фигура пропущена? В первой строчке какие фигуры?

А во второй строчке?

- Как вы думаете почему эта фигура так называется?

- Ну и последнее задание. Вам необходимо найти все круги и сложить их в волшебную коробку.

Физминутка для глаз

Мы играли, задания выполняли

Наши глазки так устали

Мы дадим им отдохнуть,

Их закроем на чуть — чуть.

А теперь их открываем

И немного поморгаем.

- А сейчас пришло время попрощаться с нашими героями, давайте поблагодарим их, а то что они помогли нам отыскать ключи для сундука.

- Пришло время открыть сундук. Дети, сколько замков на сундуке? Сколько ключей?

- Теперь мы сможем открыть наш сундук вместе с жителями математической тропинки, они тоже хотят узнать, что таит в себе сундук. Что бы открыть замок нужно с помощью геометрических фигур подобрать к замкам ключи. На каждом ключе имеется такая геометрическая фигура, что и на замке.

(Воспитатель помогает открыть сундук и раздает детям карточки с лабиринтами-задачами и конфеты)

- Дети, что же это? Интересно для кого это такие интересные лабиринты? А конфеты?

- Конечно, дети, это всё для вас для самых внимательных и активных. Вы можете их решить, а потом мы все вместе посмотрим куда же пришли наши герои.

- Пришло время возвращаться, давайте попрощаемся с нашими героями, скажем им до свидания!

Решают задачу (три цепочки).

Для начала нужно разделить все яблоки на 3 кучки, потому что должно быть 3 одинаковых цепочки. Кладем по одному яблоку в три кучки и т.д., пока яблоки не кончатся. Затем посчитаем сколько в каждой кучке яблок и представим их в виде цепочек.

Отвечают: треугольников 2

Дети с помощью воспитателя решают задачу, выполняя логическую цепочку.

2 квадрата-треугольник-2 квдрата-треугольник-2 квадрата следующей фигурой будет треугольник.

Отвечают: треугольник-это геометрическая фигура, которая имеет 3 стороны и соединяются в вершине.

Отвечают: если мы уберем две бусины по середине цепочки, две бусины справа и две бусины слева цепочки останется четыре бусины. Получится две цепочки, состоящие из трех бусин.

Цепочки с условиями.

Дети индивидуально с помощью воспитателя выполняют задание, раскрашивают вторую и пятую звезду карандашом синего цвета, а первую и восьмую звезду карандашом красного цвета.

Выполняют задание в соответствии с условиями воспитателя.

Играют в интерактивную игру, в соответствиями с условиями заданий.

Дети по поднятой руке вызываются к доске, считают количество фруктов.

Отвечают: 7 бананов, 7 ананасов, 6 груш.

Отвечает: у него нет углов, форма, приплюснутая (вытянутая), нажимает на фигуру на доске

Отвечает: треугольник, круг, квадрат

Отвечает: круг и квадрат, значит не хватает фигуры треугольник

Отвечают: потому что у неё три угла.

Дети по очереди выходят к доске, нажимают круги.

Выполнят физминутку для глаз

Отвечают: спасибо жителям математической тропинки, за помощь в поиске ключей.

Дети с помощью воспитателя, подбирают ключи к замкам и открывают сундук.

Отвечают: для нас, нам подарили конфеты потому что мы помоги жителям математической тропинки.

Отвечают: до свидания

Словестный (беседа, вопросы, пояснения)

Наглядный (презентация, демонстрация)

Практический (рисование, решение проблемной ситуации, физминутка)

Фронтальная, групповая форма

Дети слушают воспитателя, отвечают на вопросы, выполняют упражнение по заданию воспитателя.

Дети демонстрируют умение ориентироваться на листе бумаги.

Дети проявляют желание слушать педагога и точно выполнять инструкцию к заданию.

(Воспитатель приглашает детей пройти на ковёр и встать в круг и поиграть в имитационную игру)

(вращение перед грудью согнутыми в локтях руками)

(руки в стороны, поочерёдные наклоны влево и вправо)

В детский сад прилетели.

(присесть, руки к коленям.)

- Ну вот, дети, мы и вернулись в детский сад!

- Какие цепочки встретились нам на пути?

А что такое цепочки?

Из чего сегодня нам встретились цепочки?

- Всё ли у нас получилось?

- Дети, какие задания были легкими?

- Какие задания были трудными?

-Сегодня на занятии, я бы хотела отметить активную работу Маши, Паши и Миши, они справились со всеми заданиями правильно.

Богдан и Катя больше проявят себя на следующем занятии, им нужно постараться.

- Перед вами лежат 3 смайлика, поднимите вверх красный смайлик если на занятии было сложно, вы ничего не поняли. Желтый смайлик если на занятии немного затруднялись, и не всё было понятно. Зеленый смайлик, если на занятии было комфортно и всё понятно

-Благодарю вас за занятие!

Играют, повторяют за воспитателем движения.

Отвечают: цифровые цепочки, цепочки с условиями.

Отвечают: цепочки — это последовательность чего-либо

Отвечают: сегодня нам встретились цепочки из яблок, бусин, пуговиц, цифр, воздушные шары, звездочек.

Дети совместными усилиями сделали вывод ОД.

Создавали логические цепочки с условиями.

Оценивают свою деятельность с помощью смайликов.

Словестный (вопросы, объяснения)

Анализ своей деятельности.

Дети слушают воспитателя, отвечают на вопросы, выполняют упражнение по заданию воспитателя, участвуют в имитационной игре.

Читайте также:

Как сделать цепочку по математике

Похожие темы научных работ по наукам об образовании , автор научной работы — Зайкин М. И.

A DEVELOPING CHAIN OF PROBLEMS AS A METHODOLOGICAL BASIS FOR PRODUCTIVE TEACHING OF MATHEMATICS