Центральная предельная теорема своими руками

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 08.09.2024

Неравенство Чебышева и его значение. Теорема Чебышева. Теорема Бернулли. Центральная предельная теорема теории вероятностей (теорема Ляпунова) и её использование в математической статистике.

Теория вероятностей изучает закономерности, свойственные массовым случайным явлениям. Предельные теоремы теории вероятностей устанавливают зависимость между случайностью и необходимостью. Изучение закономерностей, проявляющихся в массовых случайных явлениях, позволяет научно предсказывать результаты будущих испытаний.

Предельные теоремы теории вероятностей делятся на две группы, одна из которых получила название закона больших чисел , а другая — центральной предельной теоремы .

Рассмотрим теоремы, относящих к закону больших чисел: неравенство Чебышева, теоремы Чебышева и Бернулли.

Закон больших чисел состоит из нескольких теорем, в которых доказывается приближение средних характеристик при соблюдении определённых условий к некоторым постоянным значениям.

Неравенство Чебышева

Если случайная величина имеет конечное математическое ожидание и дисперсию, то для любого положительного числа

то есть вероятность того, что отклонение случайной величины от своего математического ожидания по абсолютной величине не превосходит , то есть события, противоположного событию . Очевидно, что

Неравенство Чебышева справедливо для любого закона распределения случайной величины и применимо как к положительным, так и к отрицательным случайным величинам. Неравенство (9.2) ограничивает сверху вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину больше

Пример 1. Для правильной организации сборки узла необходимо оценить вероятность, с которой размеры деталей отклоняются от середины поля допуска не более чем на 2 мм. Известно, что середина поля допуска совпадает с математическим ожиданием размеров обрабатываемых деталей, а среднее квадратическое отклонение равно 0,25 мм.

Решение. По условию задачи мм и . В данном случае — размер обрабатываемых деталей. Используя неравенство Чебышева, получаем

Теорема Чебышева

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единицы, можно утверждать, что разность между средним арифметическим наблюдавшихся значений случайной величины и математическим ожиданием этой величины по абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого числа имеет конечную дисперсию, то есть

где — положительное число, близкое к единице.

Переходя в фигурных скобках к противоположному событию, получаем

Теорема Чебышева позволяет с достаточной точностью по средней арифметической судить о математическом ожидании или, наоборот, по математическому ожиданию предсказывать ожидаемую величину средней. Так, на основании этой теоремы можно утверждать, что если проведено достаточно большое количество измерений определённого параметра прибором, свободным от систематической погрешности, то средняя арифметическая результатов этих измерений сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемого параметра.

Пример 2. Для определения потребности в жидком металле и сырье выборочно устанавливают средний вес отливки гильзы к автомобильному двигателю, так как вес отливки, рассчитанный по металлической модели, отличается от фактического веса. Сколько нужно взять отливок, чтобы с вероятностью более 0,9 можно было утверждать, что средний вес отобранных отливок отличается от расчётного веса, принятого за математическое ожидание, не более чем на 0,2 кг? Установлено, что среднее квадратическое отклонение веса равно 0,45 кг.

Решение. По условию задачи, имеем

а с учётом равенств свойства математического ожидания и дисперсии средней

Подставляя в последнюю формулу данные задачи, получаем

Теорема Бернулли

Теорема Бернулли устанавливает связь между относительной частотой появления события и его вероятностью.

При достаточно большом числе независимых испытаний с вероятностью, близкой к единице, можно утверждать, что разность между относительной частой появления события .

Утверждение теоремы Бернулли можно записать в виде неравенства

где — любые сколь угодно малые положительные числа.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, а также неравенство Чебышева, формулу (9.3) можно записать в виде

При решение практических задач иногда бывает необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения частоты появлений события от её ожидаемого значения. В этом случае случайной величиной является число появления события независимых испытаниях. Имеем

Используя неравенство Чебышева, получаем

Пример 3. Из 1000 изделий, отправляемых в сборочный цех, обследованию было подвергнуто 200 отобранных случайным образом изделий. Среди низ оказалось 25 бракованных. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии окажется бракованных изделий не более 15% и не менее 10%.

Решение. Определем вероятность изготовления бракованного изделия:

Наибольшее отклонение относительной частоты появления бракованных изделий от вероятности по абсолютной величине равно ; число испытаний . Используя формулу (9.4), находим искомую вероятность:

Теорема Ляпунова

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем — центральная предельная теорема . Различными её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин.

Закон распределения суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении , если выполняются следующие условия:

1) все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсии:

2) ни одна из величин по значению резко не отличается от остальных:

При решении многих практических задач используют следующую формулировку теоремы Ляпунова для средней арифметической наблюдавшихся значений случайной величины , которая также является случайной величиной (при этом соблюдаются перечисленные два условия): если случайная величина имеет конечные математическое ожидания и дисперсию , то распределение средней арифметической , вычисленной по наблюдавшимся значениям случайной величины в независимых испытаниях, при приближается к нормальному закону с математическим ожиданием и дисперсией , то есть

Поэтому вероятность того, что заключена в интервале , можно вычислить по формуле

Используя функцию Лапласа ([url]см. приложение 2[/url]), формулу (9.5) можно записать в удобном для расчётов виде:

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный.

Частным случаем предельной центральной теоремы является интегральная теорема теорема Лапласа (см. пункт 5, часть 3). В ней рассматриваются случаи, когда случайные величины дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения: 0 и 1. О применении этой теоремы в математической статистике cм. пункт 6, часть 3.

Второй группой предельных теорем является центральная предельная теорема. Все её формы относятся к установлению условий, при которых возникает самый распространенный в случайных явлениях нормальный закон распределения, который при увеличении числа опытов n является предельным для других законов.

Нормальное распределение возникает, когда суммируются большое число независимых случайных величин, сравнимых по порядку своего влияния на рассеивание суммы.

Практически центральной предельной теоремой можно пользоваться, когда имеется сумма небольшого числа случайных величин. При суммировании независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, с увеличением числа слагаемых закон распределения суммы очень скоро становится приблизительно нормальным. Из практики следует, что в приближенных оценках при числе слагаемых порядка десяти (часто меньше) закон распределения суммы может быть заменен нормальным.

Примером применения центральной предельной теоремы служит нахождение ошибки в измерениях. Она является суммой малых ошибок, возникающих из-за действия случайных факторов (температура, влажность, состояние прибора, состояние наблюдателя и т. д.)

Другим примером может служить рассеивание снарядов при стрельбе. На траекторию движения снаряда воздействует много независимых факторов, влияние каждого из которых невелико. Это влияние атмосферного давления, изношенности орудия, точность наводки и т. д.

В обоих случаях имеет место приблизительно нормальный закон распределения случайной величины.

В общей форме задача была поставлена и исследована П.Л. Чебышевым, но условия были довольно ограниченными. При весьма общих условиях она была доказана в 1900 году учеником П.А. Чебышева академиком А.М. Ляпуновым. Для некоторых частных условий её доказали еще в 18 веке А. Муавр и П. Лаплас. Теорема Ляпунова занимает важнейшее место.

Теорема Ляпунова (без доказательства):

Пусть X1, X2, . Xn, . последовательность независимых случайных величин с математическим ожиданием M[Xi] = mx. Если дисперсии этих случайных величин конечны и отличны от нуля, то при достаточно больших n закон распределения суммы X1 + X2 + . + Xn будет сколь угодно близок к нормальному закону распределения.

По условию теоремы случайные величины независимы, поэтому

То есть, при больших n закон распределения суммы близок к нормальному N(nmx, nσ2). Параметры его nmx и nσ2 возрастают с увеличением n. Поэтому удобно рассматривать нормированные суммы Такие суммы при n → ∞ имеют закон распределения N(0, 1).

(по определению F(x) = P(X F(x1), если x2 > x1. На языке вероятностей это означает

то F(b) – F(a) > 0 или F(b) > F(a), что означает, что F(x) – неубывающая.

Так как вероятность для непрерывной случайной величины принять определенное значение равна 0, то

Теорема 3.2.1 (Центральная предельная теорема в формулировке. Ляпунова) Пусть для последовательности случайных величин выполняются условия:

1)при любых n случайные величины - независимы в совокупности;

Замечание 1 . Мы дали одну из простейших формулировок центральной предельной теоремы. Все более поздние формулировки связаны с устранением пункта 2), но тогда усложняется условие 3). Чаще всего оно формулируется в виде условия Линдеберга (гарантирует, что все слагаемые вносят равномерно малый вклад в общую дисперсию).[3]

Замечание 2. Из утверждения теоремы согласно свойству 7 характеристической функции следует, что предельным законом для при будет нормальный .

Центральная предельная теорема играет большую роль в приложениях теории вероятностей. Одним из ярких примеров применения этой теоремы на практике является баллистика, изучающая явления рассеивания снарядов при стрельбе по цели.

На траекторию полета снаряда действует множество независимых факторов: колебания атмосферного давления, влажности, температуры, отклонения величины заряда и веса снаряда от номинала, ошибка прицеливания, сила ветра на различных высотах и т.д. Результатом этих многочисленных воздействий, каждое из которых вносит свой равномерно малый вклад в общую сумму (ограниченность дисперсий!) является то, что отклонение точки попадания от цели удивительно точно описывается двумерным нормальным законом распределения.

Другим примером применения центральной предельной теоремы является теория и практика измерений. Всякое измерение неизбежно сопряжено с погрешностями. Реально наблюдаемая погрешность измерения является суммой элементарных погрешностей, вызванных многочисленными факторами, каждый из которых лишь незначительно влияет на результат. В силу центральной предельной теоремы результирующая погрешность должна быть приближенно нормальной. Это обстоятельство играет решающую роль в разработке эффективных методов обработки опытных данных в математической статистике.

Пример 3.2.1. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, , . Вычислить , если

◄ а) Пусть >0, , 1,2,…Преобразуем неравенство под знаком :

Поскольку при , а предельным законом для при является нормальный, то получаем: =0.►

Пример 3.2.2. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с конечными дисперсиями, . Доказать, что .

Указание: преобразовать неравенство под знаком к неравенству со случайной величиной и воспользоваться результатом ЦПТ.

Пример 3.2.3. Пусть - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и конечными дисперсиями, . Найти , если известно, что

3.3. Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Одним из важных для практики следствий центральной предельной теоремы является так называемая асимптотическая нормальность некоторых известных распределений. В частности, для биномиального распределения указанное свойство было доказано независимо А.Муавром (1730г.) и П.Лапласом (1812) задолго до появления ЦПТ и составило содержание двух теорем: так называемой локальной и интегральной теорем Муавра-Лапласа. Сформулируем их.

Теорема 3.3.1 .( локальная теорема). Пусть - число успехов в n опытах по схеме Бернулли, p - вероятность успеха в одном опыте, - фиксированная величина. Тогда для достаточно больших n справедлива приближенная формула:

где , а - плотность нормального стандартизованного распределения.

◄ Доказательство основано на применении формулы Стирлинга для факториалов в формуле Бернулли и вычислении предела при . Ввиду громоздкости вычислений мы этого доказательства не приводим (см., например, [3]).►

Теорема 3.3.2 (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Пусть снова - число успехов в n опытах по схеме Бернулли, p - вероятность успеха в одном опыте. Тогда при условии для вероятности попадания случайной величины на промежуток справедлива приближенная формула:

где - интеграл вероятности (функция нормального стандартизованного распределения).

◄ Доказательство, данное Муавром и Лапласом опирается на локальную теорему и здесь не приводится (см.например, [3] ). ►

Покажем, что интегральная теорема является простым следствием центральной предельной теоремы. Действительно, поскольку по условию ~B( n, p), то можно использовать представление , где I_k ~B(1, p) – индикатор успеха в k - м опыте по схеме Бернулли.Не трудно убедиться, что последовательность I ₁ ,I₂ ,…, удовлетворяет всем условиям ЦПТ (см. ход доказательства теоремы 3.1.2.). Поэтому для стандартизованной случайной величины справедливо утверждение теоремы о предельном нормальном законе распределения. Отсюда, учитывая очевидное равенство

, получаем формулу (3.3.2).

Пример 3.3.1. 100 раз подброшена правильная монета. Применяя локальную или интегральную теоремы Муавра-Лапласа, вычислить приближенно вероятность того, что герб выпадет а) ровно 50 раз; б) ровно 35 раз; в) от 45 до 65 раз.

◄ Пусть -число выпадений герба при 100 подбрасываниях монеты. Очевидно, что . Далее находим: 50, 3.

а) 0. По формуле (3.3.1), используя таблицу значений функции (плотности нормального стандартизованного распределения), находим:

б) -3. Аналогично предыдущему, находим: 0,00089.

в) По формуле (3.3.2), используя таблицу интеграла вероятности и свойства функции , находим:

Пример 3.3.2 Компьютерная программа выдала 10000 случайных чисел из множества . Найти приближенное значение того, что число “нулей” будет заключено между 940 и 1060.

◄ По условию, числа 0,1,…,9, вырабатываемые генератором, имеют дискретное равномерное распределение с вероятностью реализации каждого числа 0,1. Обозначим число нулей, появившихся в 10000 испытаниях по схеме Бернулли. Очевидно, что . При этом 10000; 30. Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа. По формуле (3.3.2) получаем:

Пример 3.3.3. Найти такое натуральное число , чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, можно было утверждать, что число мальчиков среди 900 новорожденных будет больше (считать рождение мальчика и девочки равновероятными и независимыми событиями).

◄ Обозначим - число мальчиков из 900 новорожденных. По условию можно считать, что . Искомое число должно удовлетворять неравенству

. Считая возможным нормальное приближение согласно интегральной теореме Муавра-Лапласа, по формуле (3.3.2) получаем:

, что равносильно неравенству .

Так как значение вероятности в правой части меньше 0,5, то аргумент функции отрицателен. Используя свойство интеграла вероятности, из последнего неравенства находим: , откуда окончательно следует: .►

Пример 3.3.4. После открытия Менделем законов наследственности многие ботаники проводили опыты по скрещиванию желтого (гибридного) гороха с зеленым. По известной гипотезе Менделя вероятность появления зеленого гороха в таких опытах должна быть равна . Проведя 34153 опыта, в 8436 случаях получили зеленый горох. Обозначим - относительная частота появления зеленого гороха. Ответить на следующие вопросы:

1) Вычислить вероятность события .

2) Вычислить вероятность того, что при повторении такого же числа 34153 опытов отклонение относительной частоты от 0,25 не превзойдет величины, полученной ботаниками.

◄ 1) По определению относительной частоты = , где - число успехов (число появлений зеленого гороха) в 34153 опытах по схеме Бернулли с вероятностью успеха в одном опыте 0,23. Отсюда получаем: =34153 0,25=8538,25; ; .

Далее используем формулу (3.3.2):

2) В опытах получено значение относительной частоты 8436/34153=0,247, что соответствует величине отклонения от вероятности, равной 0,003,

Пример 3.3.5. (продолжение). Сколько надо произвести опытов, чтобы с вероятностью не меньшей 0,99 можно было утверждать, что отклонение относительной частоты от 0,25 не превзойдет 0,01?

◄ Вопрос сводится к решению неравенства

относительно n . Используя характеристики и из предыдущего примера, преобразуем неравенство под знаком :

Применяя к последнему неравенству интегральную теорему Муавра-Лапласа, получаем: , откуда следует 0,993.

Далее с помощью таблицы квантилей нормального распределения находим: 80 2,576, откуда следует: ►

При качественной оценке условий применимости приближенных формул (3.3.1) и (3.3.2) необходимо оценить величину остаточных членов при замене биномиальных вероятностей на значения, получаемые с помощью формулы Стирлинга при конечном значении . Точную величину абсолютной погрешности получить в этом случае довольно сложно, но основной вывод заключается в том, что погрешность составляет величину порядка . Таким образом, для хорошего приближения нормальным законом условия недостаточно. Нужно, чтобы 1, что при больших и значениях или близких к 0 или 1, может не выполняться.

Основные рекомендации по практическому использованию формул (3.3.1) и (3.3.2) для инженерных расчетов вкратце сводятся к следующему. При значениях 0,5 хорошие приближения, дающие относительную погрешность в пределах 5% – 7%, получаются уже при 10. При этом, чем ближе значения (в формуле (3.3.1)) и (в формуле (3.3.2)) к значению , тем точнее получается результат.

Пример 3.3.6. 10 раз подброшена правильная монета. Вычислить вероятность того, что выпадет ровно гербов ( =0,1,…,10).

◄ Обозначим - точные значения биномиальных вероятностей; - приближенные значения, определяемые по формуле (3.3.1).

В данном случае имеем: =5; = =1,5811; ;

= . Значения функции находим из таблицы П2 задачника [1]. Результаты вычислений приведены в таблице 3.3.1.

Отсутствующие в таблице значения вероятностей для восстанавливаются по уже найденным благодаря свойству симметрии биномиального распределения и четности функции : .

Таким образом, мы видим, что наихудший по точности результат получается при =0 и =10. При остальных значениях относительная погрешность приближения по локальной теореме Муавра-Лапласа не превышает 6% и дает наилучший результат при =4. ►

Таблица 3.3.1 . (∆ - абсолютная погрешность, δ – относительная погрешность в %)

При небольших значениях точность приближения по интегральной теореме Муавра-Лапласа можно значительно повысить, воспользовавшись так называемой поправкой Феллера в формуле (3.3.2) [] :

При этом следует иметь в виду, что точность приближений (3.3.2) и (3.3.3) зависит не только от величины , но и от промежутка .

Пример 3.3.7. Сделано 100 независимых выстрелов по цели с вероятностью попадания =0,23. Пусть - число попаданий при 100 выстрелах. Вычислить вероятности для трех промежутков: [15,35], [20,30] и [30,40].

◄ Обозначим = - точное значение искомой вероятности по формуле Бернулли; - нормальное приближение, вычисленное по формуле (3.3.2); - уточненное по Феллеру приближение по формуле (3.3.3). Результаты вычислений с точностью до 4-х знаков после запятой приведены в таблице 3.3.2

Таблица 3.3.2 ( - относ.погрешность приближения , - то же для )

Из таблицы видно, что приближение с поправкой Феллера существенно улучшает точность, особенно в ситуации, когда обычное приближение Муавра-Лапласа дает наихудший результат. Последнее наблюдается, когда промежуток выбирается правее среднего значения (на правом хвосте распределения).►

Упражнения

3.3.8. Дисперсия каждой из 4500 независимых, одинаково распределенных случайных величин равна 3. Вычислить приближенно вероятность того, что среднее арифметическое этих величин отклонится от своего математического ожидания не более, чем на 0,04,

а) используя второе неравенство Чебышева;

б) используя нормальное приближение как следствие из ЦПТ.

3.3.9. Партия куриных яиц принимается, если 96% всех яиц удовлетворяет нормам приемки (удовлетворяет стандарту). Считая, что число стандартных яиц в партии подчиняется биномиальному закону, найти приближенно вероятность того, что при контроле 200 яиц обнаружится не менее 190 стандартных.

3.3.10. Сделано 100 независимых выстрелов по цели с вероятностью попадания =0,3. Обозначим - число попаданий. Вычислить вероятность события , используя интегральную теорему Муавра-Лапласа и уточненную формулу (3.3.3). Известно точное значение биномиальной вероятности указанного события ( =0,4469). Для каждого приближения вычислить относительную ошибку.

3.3.11. Пусть - сумма очков при подбрасываниях игральной кости. Оценить вероятность события для двух значений : =35; =70 двумя способами: а) используя второе неравенство Чебышева; б) считая возможным использовать нормальное приближение согласно ЦПТ.

3.3.12. С конвейера сходит в среднем 85% изделий первого сорта. Сколько изделий необходимо взять, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,997, отклонение относительной частоты появления изделия первого сорта в выбранной партии от вероятности появления по абсолютной величине не превосходило 0,01? (Предполагаем, что искомое значение достаточно велико, чтобы можно было применить интегральную теорему Муавра-Лапласа).

3.3.13. Вероятность, что посетителю понадобится обувь 44 размера равна 0,1. Магазин ежедневно посещает 500 мужчин. Пусть - число посетителей из 500, затребовавших обувь 44 размера. Ответить на следующие вопросы.

1) Каково среднее число затребованных пар обуви 44 размера?

2) Каково среднеквадратическое отклонение этого числа?

3) Какова вероятность, что в понедельник будет затребовано число пар, не превышающее среднего значения?

4) Учитывая, что среднего числа в какой-то день может не хватить в магазине, найти такой гарантированный запас , который с вероятностью, не меньшей 0,95, окажется достаточным, чтобы удовлетворить спрос покупателей.

3.3.14. (продолжение). Пусть запас в магазине обуви 44 размера составляет . Предположим, что 31 декабря образовался покупательский бум, и в магазин пришло 625 покупателей. Какова вероятность, что запаса не хватит?

3.3.1 5 . (продолжение). В каких границах (симметричных относительно среднего значения) должно находиться число пар обуви 44 размера, чтобы удовлетворить спрос покупателей с вероятностью 0,95?

Многие задачи ТВ связаны с изучением суммы независимых случайных величин, которая при определенных условиях имеет распределение, близкое к нормальному. Эти условия выражаются центральной предельной теоремой (ЦПТ).

Пусть ξ _1, ξ ₂, …, ξ _n, …– последовательность независимых случайных величин. Обозначим

n η = ξ 1 + ξ 2 +…+ ξ n. Говорят, что к последовательности ξ _1, ξ ₂, …, ξ _n, … применима ЦТП,

если при n → ∞ закон распределения η_n стремится к нормальному:

Суть ЦПТ: при неограниченном увеличении числа случайных величин закон распределения их суммы стремится к нормальному.

Центральная предельная теорема Ляпунова

Закон больших чисел не исследует вид предельного закона распределения суммы случайных величин. Этот вопрос рассмотрен в группе теорем, называемых центральной предельной теоремой. Они утверждают, что закон распределения суммы случайных величин, каждая из которых может иметь различные распределения, приближается к нормальному при достаточ-но большом числе слагаемых. Этим объясняется важность нормального закона для практичес-ких приложений.

Для доказательства центральной предельной теоремы используется метод характеристичес-ких функций.

Определение 14.1. Характеристической функциейслучайной величины Х называется функция

g (t) = M ( e itX ) (14.1)

Таким образом, g (t) представляет собой математическое ожидание некоторой комплексной случайной величины U = e itX , связанной с величиной Х. В частности, если Х – дискретная случайная величина, заданная рядом распределения, то

. (14.2)

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x)

(14.3)

Пример 1. Пусть Х – число выпадений 6 очков при одном броске игральной кости. Тогда по формуле (14.2) g(t) =

Пример 2. Найдем характеристическую функцию для нормированной непрерывной случайной величины, распределенной по нормальному закону . По формуле (14.3) ( использовалась формула и то, что i² = -1).

Свойства характеристических функций.

1. Функцию f(x) можно найти по известной функции g(t) по формуле

(14.4)

( преобразование (14.3) называется преобразованием Фурье, а преобразование (14.4) – обратным преобразованием Фурье ).

2. Если случайные величины Х и Y связаны соотношением Y = aX, то их характеристические функции связаны соотношением

g_y (t) = g_x (at). (14.5)

3. Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций слагаемых: для

(14.6)

Теорема 14.1 (центральная предельная теорема для одинаково распределенных слагае-мых). Если Х₁, Х₂,…, Х_п,… - независимые случайные величины с одинаковым законом распределения, математическим ожиданием т и дисперсией σ 2 , то при неограниченном увеличении п закон распределения суммы неограниченно приближается к нор-мальному.

Докажем теорему для непрерывных случайных величин Х₁, Х₂,…, Х_п (доказательство для дискретных величин аналогично). Согласно условию теоремы, характеристические функции слагаемых одинаковы: Тогда по свойству 3 характеристическая функция суммы Y_n будет Разложим функцию g_x(t) в ряд Маклорена:

, где при .

Найдем

Если предположить, что т = 0 ( то есть перенести начало отсчета в точку т ), то .

(так как т = 0). Подставив полученные результаты в формулу Маклорена, найдем, что

Рассмотрим новую случайную величину , отличающуюся от Y_n тем, что ее дисперсия при любом п равна 0. Так как Y_n и Z_n связаны линейной зависимостью, достаточно доказать, что Z_n распределена по нормальному закону, или, что то же самое, что ее характе-ристическая функция приближается к характеристической функции нормального закона (см. пример 2). По свойству характеристических функций

Прологарифмируем полученное выражение:

где

Разложим в ряд при п → ∞, ограничившись двумя членами разложения, тогда ln(1 - k) ≈ - k.

, где последний предел равен 0, так как при . Следовательно, , то есть - характеристическая функция нормального распределения. Итак, при неограниченном увеличении числа слагаемых характеристическая функция величины Z_n неограниченно приближается к характеристической функции нормального закона; следова-тельно, закон распределения Z_n ( и Y_n) неограниченно приближается к нормальному. Теорема доказана.

А.М.Ляпунов доказал центральную предельную теорему для условий более общего вида:

Теорема 14.2 (теорема Ляпунова). Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, для которых выполнено условие:

, (14.7)

где b_k – третий абсолютный центральный момент величины Х_к, а D_k – ее дисперсия, то Х имеет распределение, близкое к нормальному ( условие Ляпунова означает, что влияние каждого слагаемого на сумму ничтожно мало).

Практически можно использовать центральную предельную теорему при достаточно небольшом количестве слагаемых, так как вероятностные расчеты требуют сравнительно малой точности. Опыт показывает, что для суммы даже десяти и менее слагаемых закон их распределения можно заменить нормальным.

Результат классической центральной предельной теоремы справедлив для ситуаций гораздо более общих, чем полная независимость и одинаковая распределённость.

Ц.П.Т. Линдеберга (J. W. Lindeberg)

Пусть независимые случайные величины определены на одном и том же вероятностном пространстве и имеют конечные математические ожидания и дисперсии: . Как и прежде построим частичные суммы . Тогда в частности, . Наконец, пусть выполняется условие Линдеберга:

по распределению при .

Пусть выполнены базовые предположения Ц.П.Т. Линдеберга. Пусть случайные величины X_i> имеют конечный третий момент. Тогда определена последовательность

. Если предел

(условие Ляпунова),

по распределению при .

Формула размещения - выборки которые различаются как по составу, так и по расположению элементов.

Формула перестановки - выборки, различающиеся только по расположению элементов.

Формула сочетания - выборки, которые различаются только по составу (из всей совокупности часть, порядок НЕ важен)

Классическая формула вероятности:

, где m - число благоприятных исходов ; n - общее число исходов

Читайте также: