Как сделать умножение дробей со скобками
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 04.10.2024
Умножать дробные числа очень легко, достаточно запомнить простое правило. Но чтобы лучше понять это правило и понимать принципы, по которым происходит умножение дробных чисел, мы разберём эту тему подробно и постепенно.
Уменьшение чисел при умножении на дробь
Однажды Образавр собирался перекусить и поставил на стол четвертинку арбуза. Ему показалось, что как-то маловато, и он принёс ещё одну четвертинку. У него сложилась половина арбуза.
И тут он подумал. Ведь когда мы что-то берём несколько раз, мы умножаем количество того, что берём, на количество раз.
Странно как-то. Он взял арбуз два раза, но получилось не два арбуза, а всего лишь половинка! То есть
Мы привыкли, что при умножении натуральных чисел произведение получается больше, чем множители. Но при умножении дробей выходит иначе.
Например, чтобы снова получился целый арбуз – $1$ – нужно увеличить $\frac$ в $4$ раза. Это уже не умножение, это деление какое-то получается!
Образавр решил проверить умножение на дробь на яблоках. Он разрезал яблоко на две части и взял половину. У него получился вот такой пример:
И тут он вспомнил! Это же правило умножения числа на дробь!
При умножении числа на дробь число умножается на числитель данной дроби, а знаменатель дроби остаётся без изменений.
Таким образом, если один из множителей – правильная дробь, а другой – натуральное число, то произведение будет меньше, чем это натуральное число.
Кстати, при умножении на дробь иногда можно применить очень интересный приём. Давайте с ним ознакомимся.
Сокращение при умножении целого числа на дробь
Решим вот такой пример:
Его можно решить двумя способами. Первый способ:
Но есть и второй способ.
И в том, и в другом случае получается одинаковый результат.
Число, умножаемое на дробь, и знаменатель дроби могут быть сокращены, если у них есть общий делитель и этот делитель больше единицы.
Разберём ещё примеры:
Догадаетесь, как получилось такое равенство?
Мы сократили $12$ и $18$, разделив их на одинаковое число.
Решать такой пример гораздо проще.
Сокращать множитель и знаменатель дроби можно как в самом начале, так и в ходе решения:
А можно ли сократить вот такой пример?
Нет, так как $11$ и $18$ не имеют общих множителей.
Умножение дроби на дробь
Теперь, когда мы закрепили умножение дроби на целое число, давайте узнаем, как умножать между собой дробные числа.
Он взял половину яблока и разрезал её ещё на две половинки. Затем он взял получившийся кусочек и увидел – получилась четвертинка.
Давайте рассмотрим умножение на дробь ещё на одном примере.
На рисунке 4 изображён прямоугольник, разбитый на $12$ квадратов. $\frac$ квадратов закрашены голубым.
Теперь перечеркнём красной чертой $\frac$ из этих квадратов. Для этого закрашенную область разделим на $4$ равные части и перечеркнём $3$ из них (рисунок 5).
Получается, мы делим дробь на знаменатель и умножаем на числитель. Это можно было бы записать вот так:
$$\frac\cdot \frac = \frac : 4 \cdot 3$$
Но обычно записывают по-другому:
По клеточкам легко проверить, что мы посчитали правильно.
При умножении дробей нужно перемножить числители и произведение записать в числитель, также перемножить знаменатели и произведение записать в знаменатель. Полученную дробь называют произведением дробей.
$$\frac\cdot \frac = \frac$$
Сокращение чисел при умножении дробей
Рассмотрим ещё один пример.
Зная, что от перестановки множителей местами произведение не изменяется, мы можем поменять местами множители в числителе или в знаменателе дроби на своё усмотрение.
Но если мы это можем сделать, то верно и такое равенство:
А что такое $\frac$? Это же $1$!
На всякий случай можно проверить и провести вычисления:
Полученная дробь сокращается до $\frac$. Кстати, чтобы получить $\frac$, нам как раз нужно разделить числитель и знаменатель дроби $\frac$ на $6$.
Следовательно, мы не ошибаемся.
Давайте потренируемся ещё.
В этом примере также можно применять сокращение. Представим $32$ как $8 \cdot 4$. Таким образом, мы можем сразу сократить числитель первой дроби до $1$, а знаменатель второй до $4$. А можем ли мы что-то сделать со знаменателем первой дроби и числителем второй?
Как видите, сокращение очень облегчает процесс умножения дробей.
При умножении дробей возможно сокращать числа, имеющие общий делитель, если этот делитель больше единицы. Сокращать можно только числа, стоящие в числителе, с числами, находящимися знаменателе. Числитель с числителем или знаменатель с знаменателем нельзя сократить.
Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид "смешанной дроби", то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид "простой дроби", то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку "Вычислить".
Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби - количество взятых этих частей целого.
Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже).
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в смешанную, необходимо:
- Поделить числитель дроби на её знаменатель
- Результат от деления будет являться целой частью
- Остаток отделения будет являться числителем
Как перевести обыкновенную дробь в десятичную
Для того, чтобы перевести обыкновенную дробь в десятичную, нужно разделить её числитель на знаменатель.
Как перевести десятичную дробь в обыкновенную или смешанную
Для того, чтобы перевести десятичную дробь в обыкновенную, необходимо:
- Записать дробь в виде десятичная дробь 1
- Умножать числитель и знаменатель на 10 до тех пор, пока числитель не станет целым числом.
- Найти наибольший общий делитель и сократить дробь.
Например, переведем 0.36 в обыкновенную дробь:
- Записываем дробь в виде: 0.36 1
- Умножаем на 10 два раза, получим 36 100
- Сокращаем дробь 36 100 = 9 25
Как перевести дробь в проценты
Для того, чтобы перевести обыкновенную или смешанную дробь в проценты, необходимо перевести её в десятичную дробь и умножить на 100.
Как перевести проценты в дробь
Для того, чтобы перевести проценты в дробь, необходимо получить из процентов десятичную дробь (разделив на 100), затем полученную десятичную дробь перевести в обыкновенную.
Как работать с калькулятором обыкновенных дробей?
Калькулятор предназначен для решения простых дробей и дробей с целыми числами (смешанных). В будущем, планируется внедрение функции решения десятичных дробей, но в данный момент она отсутствует.
Для начала работы с дробным калькулятором необходимо понять очень простой принцип ввода данных. Все целые числа вводятся с помощью больших кнопок, расположенных слева. Все числители вводятся с помощью маленьких белых кнопок, расположенных в правом верхнем блоке цифр. Все знаменатели, соответственно, вводятся путем нажатия на кнопки в правом нижнем углу. Данный способ ввода данных является в некотором роде инновационным, поскольку четко разграничивает целое, числитель и знаменатель, что облегчает вычисления, экономит время и делает взаимодействие с приложением более эффективным.
Теперь нажмите на кнопку равно и получите результат калькуляции. В примере выше проиллюстрирован практически весь арсенал возможностей калькулятора дробей. Точно таким же образом, вы можете осуществлять умножение, деление и вычитание дробей, как простых, так и алгебраических, с одинаковыми и разными знаменателями, целыми числами и т.д. Также, калькулятор может вычислить проценты от дробей, что требуется не так часто, но тем не менее очень важно для решения многих актуальных задач.
Управление калькулятором дробей с клавиатуры.
Использовать калькулятор дробей онлайн можно не только с помощью компьютерной мыши, но и с помощью клавиатуры. Здесь логика очень проста:
- Все целые числа вводятся как обычно, нажатиями на клавиши чисел.
- Все числители вводятся с добавлением клавиши CTRL (например, CTRL+1).
- Все знаменатели вводятся с добавлением клавиши ALT (например, ALT+2).
Зачем нужен калькулятор дробей онлайн?
Калькулятор дробей онлайн предназначен для решения обыкновенных и смешанных дробей (с целыми числами). Решение дробей часто требуется школьникам и студентам, а также инженерам и аспирантам. Наш калькулятор предоставляет возможность производить с дробями следующие действия: деление дробей, умножение дробей, сложение дробей и вычитание дробей. Также, калькулятор умеет работать с корнями и степенями, а еще с отрицательными числами, благодаря чему он многократно превосходит аналогичные онлайн приложения.
Калькулятор простых дробей онлайн поможет вам решить примеры с дробями и при этом вам не надо беспокоиться о том, как предварительно сократить дробь. Здесь это сделается автоматически, т.к. приложение само вычисляет общий знаменатель и выдает вам готовый результат на экран.
В чем преимущества такого способа решения дробей?
Калькулятор поддерживает работу со скобками, что позволяет решать дроби даже в сложных математических примерах. В частности, действия со скобками часто требуются при вычислении алгебраических дробей или отрицательных дробей, над которыми постоянно приходится корпеть всем школьникам средних классов. Дополнительно, вы можете использовать этот калькулятор для сокращения дробей или решения дробей с разными знаменателями. Более того, в отличии от многих других бесплатных сервисов, данный калькулятор умеет работать с двумя, тремя, четырьмя и вообще с любым количеством дробей и чисел.
Калькулятор обыкновенных дробей полностью бесплатный и не требует регистрации. Вы можете использовать его в любое время дня и ночи. Работать можно с помощью мыши или прямо с клавиатуры (это касается как чисел, так и действий). Мы постарались реализовать максимально удобный интерфейс дробных вычислений, благодаря чему сложные математические калькуляции превратятся для вас в одно удовольствие! :)
Читайте также: