Как сделать треугольную матрицу
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 04.10.2024
Используйте только квадратные матрицы!
На этой странице введите матрицу, чтобы произвести проведение матрицы к треугольному виду. Таким образом вы проделаете преобразование матрицы к треугольному виду A
Будут вычислены верхнетреугольная матрица и нижнетреугольная матрицы
Если вам интересно, для чего используется приведение к треугольному виду матрицы, то смотрите калькулятор по решению систем уравнений методом Гаусса здесь
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Приведение матрицы к ступенчатому виду
Матрица — математический объект, представленный в форме квадратной или прямоугольной таблицы, содержащей определенное число строк и столбцов, именуемых порядками. Матрицы могут различаться размерами и содержанием. Матрицы позволяют упорядочить записи систем линейных уравнений, что ведет к удобному поиску их результатов. Работа с матрицами предполагает приведение их к стандартному виду.
В математике множество разнообразных видов матриц. Все элементы нулевой матрицы равны нулю, а число строк и столбцов может быть совершенно разным.
Матрица квадратного типа имеет одинаковое количество строк и столбцов. Матрица простейшего вида вектор-столбец имеет три численных значений, расположенных в столбец. Вектор-строка содержит три численных элементов, размещенных в одну строку. В диагональной матрице числовые значения имеют лишь элементы главной диагонали, остальные равны нулю. Начинается диагональ с элемента в правом верхнем углу и заканчивается в последнем столбце последней строки. Диагональный тип может иметь лишь квадратная матрица. Подвид диагональной матрицы — единичная, все числовые значения которой равны единицам. В канонической матрице не все компоненты основной диагонали равны единице, число строк и столбцов может быть разное, но, как и в единичной матрице, элементы, расположенные не на основной диагонали, равны нулю. Матрица треугольного типа является квадратной. Матрица, элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется нижнетреугольной. В верхнетреугольной матрице числовые значения имеют элементы, расположенные на основной диагонали и под ней. Над диагональю элементы имеют нулевое значение.
Любую матрицу несложно привести к ступенчатой форме, используя следующие элементарные преобразования:
— перестановка двух строк (столбцов);
— умножение строки (столбца) на любое, кроме нуля, число;
— сложение строки (столбца) с другой (другим), умноженной (умноженным) на любое, произвольно взятое (кроме нуля) число.
Приводим матрицу к ступенчатому виду:
1. Выбираем элемент, отличный от нуля в 1-м столбце. Если выбранный элемент (ведущий) расположен не в 1-й строке, переставляем строку с ведущим элементом на первую (ведущую) строку. Если элементы 1-го столбца равны нулю, исключаем его и переходим к следующему.
2. Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент. Преобразования закончены при условии, что ведущая строка последняя.
3. К строке, расположенной под ведущей, добавляем ведущую, предварительно умноженную на число, чтобы элементы стоящей ниже строки стали равняться нулю.
4. Исключаем строку и столбец с ведущим элементом на пересечении.
Повторяем те же действия с оставшейся частью матрицы.
Привести матрицу к ступенчатому виду вам поможет онлайн калькулятор. Выберите размерность и введите значение ее элементов.
Приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду методом Гаусса
Для приведения матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, выберите нужные размеры исходной матрицы и заполните её элементы.
Другие онлайн калькуляторы
Описание онлайн калькулятора
С помощью данного онлайн калькулятора Вы сможете привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду или проверить правильность своего решения.
Треугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.
Описание работы онлайн калькулятора
- Минимальный размер матрицы 2х2;
- Максимальный размер матрицы 10х10;
- В поля ввода значений элементов матриц, можно вводить следующие типы чисел:
- Натуральные (0; 3; 9);
- Отрицательные (-43);
- Десятичные (1,5 или 1.5);
- Дробные (2/3).
Свои вопросы по работе данного онлайн калькулятора, Вы всегда можете задать в комментариях.
Приведение матрицы к треугольному виду
Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса и методом Барейса.
Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.
Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)
Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)
Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
Матрица имеет ступенчатый вид, если:- Все нулевые строки матрицы стоят последними
- Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
- Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)
Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.
Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:- перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
- умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
- сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.
И что? — спросите вы.
А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):
Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.
Теперь про сам метод.
Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
Поясним на примере:Зануляем во втором уравнении:
Во втором уравнении больше не содержится
Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:
где N — число строк,
— i-тая строка,
— элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбцеИ все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.
Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .
Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
.
Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .
Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.
Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:
Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).
Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования:
I. Перестановка двух столбцов (строк) матрицы.
II. Умножение всех элементов одного столбца (строки) матрицы на одно и то же число, отличное от нуля.
III. Прибавление к элементам одного столбца (строки) соответствующих элементов другого столбца (строки), умноженных на одно и то же число.
Матрица эквивалентной . Это обозначается ступенчатому виду (рис. 1.4). Здесь высота каждой "ступеньки" составляет одну строку, символом 1 (единицей) обозначены единичные элементы матрицы, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. К ступенчатому виду можно привести любую матрицу, причем достаточно использовать только элементарные преобразования строк матрицы .
Алгоритм приведения матрицы к ступенчатому виду
Чтобы привести матрицу к ступенчатому виду (рис. 1.4), нужно выполнить следующие действия.
1. В первом столбце выбрать элемент, отличный от нуля ( ведущий элемент ). Строку с ведущим элементом ( ведущая строка ), если она не первая, переставить на место первой строки (преобразование I типа). Если в первом столбце нет ведущего (все элементы равны нулю), то исключаем этот столбец, и продолжаем поиск ведущего элемента в оставшейся части матрицы. Преобразования заканчиваются, если исключены все столбцы или в оставшейся части матрицы все элементы нулевые.
2. Разделить все элементы ведущей строки на ведущий элемент (преобразование II типа). Если ведущая строка последняя, то на этом преобразования следует закончить.
3. К каждой строке, расположенной ниже ведущей, прибавить ведущую строку, умноженную соответственно на такое число, чтобы элементы, стоящие под ведущим оказались равными нулю (преобразование III типа).
4. Исключив из рассмотрения строку и столбец, на пересечении которых стоит ведущий элемент, перейти к пункту 1, в котором все описанные действия применяются к оставшейся части матрицы.
Пример 1.29. Привести к ступенчатому виду матрицы
Решение. В первом столбце матрицы . Делим все элементы первой строки на (или, что то же 1 1. самое, умножаем на ):
Прибавим ко второй строке первую, умноженную на (-2):
Первый столбец и первую строку исключаем из рассмотрения. В оставшейся части матрицы имеется один элемент (-2), который выбираем в качестве ведущего. Разделив последнюю строку на ведущий элемент, получаем матрицу ступенчатого вида
Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя. Заметим, что получившаяся матрица является верхней треугольной.
В первом столбце матрицы . Меняем местами строки, ставя ведущую строку на место первой, и делим элементы ведущей строки на ведущий элемент 2:
Пункт 3 алгоритма делать не надо, так как под ведущим элементом стоит нуль. Исключаем из рассмотрения первую строку и первый столбец. В оставшейся части ведущий элемент — число 2. Разделив ведущую строку (вторую) на 2, получаем ступенчатый вид:
Преобразования закончены, так как ведущая строка последняя.
В первом столбце матрицы выбираем ведущий элемент . Первая строка — ведущая. Делим ее элементы на . Получаем
Ко второй и третьей строкам прибавим первую, умноженную на (-3) и на (-6) соответственно:
Обратим внимание на то, что полученная матрица еще не является матрицей ступенчатого вида, так как вторую ступеньку образуют две строки (2-я и 3-я) матрицы. Исключив 1-ю строку и 1-й столбец, ищем в оставшейся части ведущий элемент. Это элемент (-1). Делим вторую строку на (-1), а затем к третьей строке прибавляем ведущую (вторую), умноженную на 5:
Исключим из рассмотрения вторую строку и второй столбец. Поскольку исключены все столбцы, дальнейшие преобразования невозможны. Полученный вид — ступенчатый.
1. Говорят, что матрица имеет ступенчатый вид также и в случае, когда на месте ведущих элементов (обозначенных на рис. 1.4 единицей) стоят любые отличные от нуля числа.
2. Считается, что нулевая матрица имеет ступенчатый вид.
Пример 1.30. Привести к ступенчатому виду матрицу
Решение. Первый столбец матрицы
Берем в качестве ведущего элемент . Прибавляем ко второй строке первую, умноженную на (-1); к третьей строке — первую, умноженную на (-2); к четвертой строке — первую, умноженную на (-4). Тем самым "обнуляются" все элементы второго столбца, расположенные ниже ведущего элемента:
Полученная матрица не имеет ступенчатого вида, так как одна из ступенек имеет высоту в три строки. Продолжаем преобразования. Первую строку и второй столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку первый столбец в оставшейся части матрицы нулевой, исключаем его. Теперь оставшаяся часть матрицы — это матрица (размеров ), образованная элементами, расположенными в последних трех строках и трех столбцах полученной матрицы. В качестве ведущего элемента выбираем . К третьей строке прибавляем вторую. Получаем матрицу
Вторую строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Берем элемент в качестве ведущего. Делим третью строку на число 2 (умножаем на 0,5):
К четвертой строке прибавляем третью, умноженную на (-2):
Третью строку и четвертый столбец исключаем из рассмотрения. Поскольку в оставшейся части матрицы все элементы (один) нулевые, преобразования закончены. Матрица приведена к ступенчатому виду (см. рис. 1.4).
Замечание 1.9. Продолжая выполнять элементарные преобразования над строками матрицы, можно упростить ступенчатый вид, а именно привести матрицу к упрощенному виду (рис. 1.5).
Здесь символом 1 обозначены элементы матрицы, равные единице, символом * — обозначены элементы с произвольными значениями, остальные элементы матрицы нулевые. Заметим, что в каждом столбце с единицей остальные элементы равны нулю.
Пример 1.31. Привести к упрощенному виду матрицу
Решение. Матрица имеет ступенчатый вид. Прибавим к первой строке третью, умноженную на (-1), а ко второй строке третью, умноженную на (-2):
Теперь к первой строке прибавим вторую, умноженную на (-1). Получим матрицу упрощенного вида (см. рис. 1.5):
Замечание 1.10. При помощи элементарных преобразований (строк и столбцов) любую матрицу можно привести к простейшему виду (рис. 1.6).
Левый верхний угол матрицы представляет собой единичную матрицу порядка , а остальные элементы равны нулю. Считается, что нулевая матрица уже имеет простейший вид (при ).
Пример 1.32. Привести матрицу к простейшему виду.
Решение. В качестве ведущего элемента возьмем . Ко второй строке прибавим первую, умноженную на (-2):
Ко второму столбцу прибавим первый, умноженный на (-2), а к третьему -первый, умноженный на (-3):
Умножим все элементы последнего столбца на (-1) и переставим его на место второго:
Таким образом, исходная матрица
Свойства элементарных преобразований матриц
Подчеркнем следующие свойства элементарных преобразований матриц .
Теорема 1.1 о приведении матрицы к ступенчатому виду . Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк можно привести к ступенчатому (или даже упрощенному) виду.
Следствие (о приведении матрицы к простейшему виду). Любую матрицу при помощи элементарных преобразований ее строк и столбцов можно привести к простейшему виду.
1. Преобразования, обратные к элементарным, являются элементарными . В самом деле, если в матрице поменяли местами два столбца (преобразование I типа), то исходную матрицу можно получить, еще раз поменяв местами эти столбцы. Если столбец матрицы умножили на число (преобразование II типа), то для получения исходной матрицы надо этот столбец умножить на обратное число . Если к i-му столбцу матрицы прибавили j-й столбец, умноженный на число 2. В теореме 1.1 говорится о приведении матрицы к ступенчатому (упрощенному) виду при помощи элементарных преобразований только ее строк, не используя преобразования ее столбцов. Чтобы привести произвольную матрицу к простейшему виду (следствие теоремы 1.1), нужно использовать преобразования и строк, и столбцов матрицы.
3. Рассмотрим следующую модификацию пункта 3 метода Гаусса. Ведущий элемент, выбранный в п. 1 метода Гаусса, определяет ведущую строку и ведущий столбец матрицы (он находится на их пересечении). Делим все элементы ведущей строки на ведущий элемент (см. п.2 метода Гаусса). Прибавляя ведущую строку, умноженную на соответствующие числа, к остальным строкам матрицы (аналогично п.3 метода Гаусса), делаем равными нулю все элементы ведущего столбца, за исключением ведущего элемента. Затем, прибавляя полученный ведущий столбец, умноженный на соответствующие числа, к остальным столбцам матрицы, делаем равными нулю все элементы ведущей строки, за исключением ведущего элемента. При этом получаем ведущие строку и столбец, все элементы которых равны нулю, за исключением ведущего элемента, равного единице.
Модифицированный таким образом метод Гаусса называется методом Гаусса-Жордана . Его применение позволяет сразу получить простейший вид матрицы, минуя ее ступенчатый вид.
Метод сведения определителя к треугольному виду использует те же преобразования, что и метод эффективного понижения порядка. Только при вычислении определителя методом эффективного понижения порядка мы постепенно уменьшаем порядок определителя, а для метода сведения к треугольному виду порядок определителя остаётся неизменным до конца процесса решения. Суть метода сведения к треугольному виду такова: с помощью действий со строками (или столбцами) преобразовать определитель к виду, когда все элементы, лежащие ниже (или выше) главной диагонали равны нулю. Т.е. после преобразований определитель должен принять одну из двух форм (элементы на главной диагонали выделены синим цветом):
Хотя разницы и нет, обычно приводят к первому случаю, когда нули расположены под главной диагональю. После преобразований определитель вычисляется простым умножением элементов, расположенных на главной диагонали. Для того, чтобы обнулить требуемые элементы и вычислить определитель, нам пригодятся несколько свойств определителей, которые указаны в теме "Некоторые свойства определителей". Я запишу ниже несколько свойств, которые нам пригодятся при решении. В примечании после каждого свойства будет указан пример его применения.
-
Если поменять местами две строки (столбца) определителя, то знак определителя изменится на противоположный.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть
Рассмотрим определитель $\left| \begin 2 & 5 \\ 9 & 4 \end \right|$. Найдём его значение, используя формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:
$$\left| \begin 2 & 5 \\ 9 & 4 \end \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$
Теперь поменяем местами первую и вторую строки. Получим определитель $\left| \begin 9 & 4 \\ 2 & 5 \end \right|$. Вычислим полученный определитель: $\left| \begin 9 & 4 \\ 2 & 5 \end \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Итак, значение исходного определителя равнялось (-37), а у определителя с изменённым порядком строк значение равно $-(-37)=37$. Знак определителя изменился на противоположный.
Пример применения этого свойства: показать\скрыть
Рассмотрим определитель $\left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end \right|$. Прибавим к элементам второй строки соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 5. Записывают это действие так: $r_2+5\cdot$. Вторая строка будет изменена, остальные строки останутся без изменений.
$$ \left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end \right| \begin \phantom\\ r_2+5\cdot\\ \phantom \end= \left| \begin -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end \right|= \left| \begin -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end \right|. $$
Пример применения этого свойства: показать\скрыть
Рассмотрим определитель $\left| \begin -7 & 10 \\ -9 & 21 \end \right|$. Заметьте, что все элементы второй строки делятся на 3:
$$\left| \begin -7 & 10 \\ -9 & 21 \end \right|=\left| \begin -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end \right|$$
Число 3 и есть общий множитель всех элементов второй строки. Вынесем тройку за знак определителя:
$$ \left| \begin -7 & 10 \\ -9 & 21 \end \right|=\left| \begin -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end \right|= 3\cdot \left| \begin -7 & 10 \\ -3 & 7 \end \right| $$
Пример применения этого свойства: показать\скрыть
\begin &\left| \begin 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end \right|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end
Буквами $r$ (от слова "row") станем обозначать строки: $r_1$ – первая строка, $r_2$ – вторая строка и так далее. Буквами $c$ (от слова "column") станем обозначать столбцы: $c_1$ – первый столбец, $c_2$ – второй столбец и так далее.
Найти определитель $\Delta = \left|\begin -8 & 2 & 9 & 17\\ -3 & 1 & 2 & 6\\ 13 & -3 & -7 & -26\\ 11 & 1 & 23 & 6\end\right|$.
В принципе, начинать решение можно и не преобразовывая определитель. Однако очень удобно, когда первым элементом первой строки является единица (ну, или (-1) на крайний случай). Единицы есть во втором столбце нашего определителя. Сделаем так, чтобы второй столбец стал первым. Для этого просто поменяем местами первый и второй столбцы, используя свойство (1). Не забываем, что при смене мест двух столбцов перед определителем появится знак "минус":
$$\Delta = \left|\begin -8 & 2 & 9 & 17\\ -3 & 1 & 2 & 6\\ 13 & -3 & -7 & -26\\ 11 & 1 & 23 & 6\end\right|=-\left|\begin 2 & -8 & 9 & 17\\ 1 & -3 & 2 & 6\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right|.$$
Итак, столбцы поменяли, однако единица покамест не вышла на первое место в первой строке, – но это дело поправимое. Поменяем местами первую и вторую строки, при этом перед определителем вновь возникнет знак "минус". Ну, а так как "минус" на "минус" даёт "плюс", то получим мы следующее:
$$\Delta =-\left|\begin 2 & -8 & 9 & 17\\ 1 & -3 & 2 & 6\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right|=-\left( -\left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 2 & -8 & 9 & 17\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right|\right)= \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 2 & -8 & 9 & 17\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right|.$$
Начнём решение. Нам нужно получить нули под главной диагональю. Для этого придётся осуществить несколько шагов, на которых будем изменять строки нашего определителя. На первом шаге мы должны сделать так, чтобы все элементы первого столбца стали нулями – кроме элемента на главной диагонали, выделенного красным цветом:
$$ \left|\begin \boldred & -3 & 2 & 6\\ \normgreen & -8 & 9 & 17\\ \normblue & 13 & -7 & -26\\ \normpurple & 11 & 23 & 6\end\right| $$
Преобразования со строками, которые нужно выполнить, чтобы обнулить "серые" элементы, получаются так:
Запись $r_2-2r_1$ означает, что от элементов второй строки вычли соответствующие элементы первой строки, умноженные на два. Полученный результат записали вместо прежней второй строки. Остальные записи расшифровываются аналогично. Согласно свойству (2) значение определителя от таких действий не изменится. Для наглядности я запишу это действие отдельно:
После выполнения всех требуемых операций со строками, мы получим новый определитель. Записывается это так:
$$ \Delta=\left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 2 & -8 & 9 & 17\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right| \begin \phantom \\ r_2-2r_1 \\ r_3+3r_1 \\ r_4-r_1 \end= \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 14 & 21 & 0\end\right|. $$
Перед тем, как мы пойдём дальше, обратим внимание на то, что все элементы четвёртой строки делятся на 7. Согласно свойству (3) число 7 можно вынести за знак определителя:
$$ \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 14 & 21 & 0\end\right|=7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end\right| $$
Теперь нам нужно обнулить элементы во втором столбце (под главной диагональю). Т.е., обнулению подлежат элементы, выделенные зелёным и синим цветом. Элемент на главной диагонали, который останется без изменений, выделен красным цветом:
$$ \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & \boldred & 5 & 5\\ 0 & \normblue & -1 & -8 \\ 0 & \normblue & 3 & 0\end\right| $$
А если бы вместо числа -2 возник ноль? показать\скрыть
Если бы вместо числа -2 получился ноль, мы бы поменяли местами строки или столбцы. Например, вот так:
$$ \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end\right| =[r_2\leftrightarrow] =-\left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & 2 & 3 & 0\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 5 & 5 \end\right| $$
Или же может возникнуть иная ситуация: когда обнулятся все элементы во втором столбце под первой строкой. Вот так:
$$ \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & 0 & 5 & 5\\ 0 & 0 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 3 & 0\end\right| $$
В этом случае имеем пропорциональность столбцов, т.е. $c_2=-3c_1$, а это означает, что определитель равен 0.
В принципе, мы можем получить (-1) на месте диагонального "красного элемента". Для этого достаточно поменять местами второй и третий столбцы, а затем поменять местами вторую и третью строки. Однако в нашем случае этого можно и не делать, так как все "синие элементы" нацело делятся на "красный элемент", т.е. на (-2). Следовательно, никакой работы с дробями не предвидится. Впрочем, тут дело вкуса: можете попробовать для тренировки продолжить решение, поменяв местами строки и столбцы, чтобы "красным элементом" стала (-1). Выполним такие операции со строками:
Отдельно выписывать действия со строками не станем, так как они полностью аналогичны рассмотренным ранее. Наш определитель станет таким:
$$ \Delta=7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end\right| \begin \phantom \\ \phantom \\ r_3+2r_2 \\ r_4+r_2\end= 7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & 5\end\right|. $$
Осталось последнее действие. Нужно обнулить элемент 8 под главной диагональю:
$$ \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & \boldred & 5\end\right| $$
Тут уже придется поработать с дробями. Обычно такой работы стараются избегать – и до этого момента нам это удавалось – но теперь уже деваться некуда:
$$ \Delta = 7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & 5\end\right| \begin \phantom \\ \phantom \\ \phantom \\ r_4-\fracr_3 \end= 7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac\end\right|. $$
Преобразования окончены. Осталось лишь использовать свойство (4) и переменожить элементы, расположенные на главной диагонали:
$$ \Delta=7\cdot 1\cdot (-2)\cdot 9 \cdot \frac=-406. $$
Ответ получен. Полное решение без пояснений выглядит так:
$$ \Delta = \left|\begin -8 & 2 & 9 & 17\\ -3 & 1 & 2 & 6\\ 13 & -3 & -7 & -26\\ 11 & 1 & 23 & 6\end\right| =[c_1\leftrightarrow] =\left|\begin 2 & -8 & 9 & 17\\ 1 & -3 & 2 & 6\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right| =[r_1\leftrightarrow]=\\ =\left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 2 & -8 & 9 & 17\\ -3 & 13 & -7 & -26\\ 1 & 11 & 23 & 6\end\right| \begin \phantom \\ r_2-2r_1 \\ r_3+3r_1 \\ r_4-r_1 \end= 7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 4 & -1 & -8 \\ 0 & 2 & 3 & 0\end\right| \begin \phantom \\ \phantom \\ r_3+2r_2 \\ r_4+r_2 \end=\\ =7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 8 & 5\end\right| \begin \phantom \\ \phantom \\ \phantom \\ r_4-\fracr_3\end =7\cdot \left|\begin 1 & -3 & 2 & 6\\ 0 & -2 & 5 & 5\\ 0 & 0 & 9 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac\end\right| =7\cdot 1\cdot (-2)\cdot 9 \cdot \frac=-406. $$
Ответ: $\Delta=-406$.
В принципе, преобразования метода сведения к треугольному виду просты, однако стоит иметь в виду свойства определителей, изложенные соответствующей теме. Например, на каком-то шаге может обнулиться строка или столбец, или же окажется, что некие строки или столбцы пропорциональны. Это будет означать, что рассматриваемый определитель равен 0.
Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).
Матрица — математический объект, представленный в форме квадратной или прямоугольной таблицы, содержащей определенное число строк и столбцов, именуемых порядками. Матрицы могут различаться размерами и содержанием. Матрицы позволяют упорядочить записи систем линейных уравнений, что ведет к удобному поиску их результатов. Работа с матрицами предполагает приведение их к стандартному виду.
В математике множество разнообразных видов матриц. Все элементы нулевой матрицы равны нулю, а число строк и столбцов может быть совершенно разным.
Матрица квадратного типа имеет одинаковое количество строк и столбцов. Матрица простейшего вида вектор-столбец имеет три численных значений, расположенных в столбец. Вектор-строка содержит три численных элементов, размещенных в одну строку. В диагональной матрице числовые значения имеют лишь элементы главной диагонали, остальные равны нулю. Начинается диагональ с элемента в правом верхнем углу и заканчивается в последнем столбце последней строки. Диагональный тип может иметь лишь квадратная матрица. Подвид диагональной матрицы — единичная, все числовые значения которой равны единицам. В канонической матрице не все компоненты основной диагонали равны единице, число строк и столбцов может быть разное, но, как и в единичной матрице, элементы, расположенные не на основной диагонали, равны нулю. Матрица треугольного типа является квадратной. Матрица, элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется нижнетреугольной. В верхнетреугольной матрице числовые значения имеют элементы, расположенные на основной диагонали и под ней. Над диагональю элементы имеют нулевое значение.Любую матрицу несложно привести к ступенчатой форме, используя следующие элементарные преобразования:
— перестановка двух строк (столбцов);
— умножение строки (столбца) на любое, кроме нуля, число;
— сложение строки (столбца) с другой (другим), умноженной (умноженным) на любое, произвольно взятое (кроме нуля) число.Приводим матрицу к ступенчатому виду:
1. Выбираем элемент, отличный от нуля в 1-м столбце. Если выбранный элемент (ведущий) расположен не в 1-й строке, переставляем строку с ведущим элементом на первую (ведущую) строку. Если элементы 1-го столбца равны нулю, исключаем его и переходим к следующему.
2. Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент. Преобразования закончены при условии, что ведущая строка последняя.
3. К строке, расположенной под ведущей, добавляем ведущую, предварительно умноженную на число, чтобы элементы стоящей ниже строки стали равняться нулю.
4. Исключаем строку и столбец с ведущим элементом на пересечении.
Повторяем те же действия с оставшейся частью матрицы.Привести матрицу к ступенчатому виду вам поможет онлайн калькулятор. Выберите размерность и введите значение ее элементов.
Читайте также: