Как сделать треугольник паскаля

Добавил пользователь Евгений Кузнецов
Обновлено: 04.10.2024

Треугольник Паскаля представляет собой треугольный массив биномиальных коэффициентов. Напишите функцию, которая принимает целочисленное значение n в качестве входных данных и печатает первые n строк треугольника Паскаля. Ниже приведены первые 6 рядов треугольника Паскаля.

Простой метод — запустить два цикла и вычислить значение биномиального коэффициента во внутреннем цикле.

int binomialCoeff( int n, int k);

// Функция для печати первой
// n строк Паскаля
// Треугольник

void printPascal( int n)

// перебираем каждую строку и

// печатаем записи в нем

for ( int line = 0; line

// Каждая строка имеет номер

// целые числа равны строке

for ( int i = 0; i

int binomialCoeff( int n, int k)

for ( int i = 0; i

// Java-код для треугольника Паскаля

// Функция для печати первой

// n линий треугольника Паскаля

static void printPascal( int n)

// перебираем каждую строку

// и печатаем записи в нем

for ( int line = 0 ; line

// Каждая строка имеет номер

// целые числа равны номеру строки

for ( int i = 0 ; i

// Ссылка на детали этой функции

static int binomialCoeff( int n, int k)

for ( int i = 0 ; i

public static void main(String args[])

/ * Этот код предоставлен Никитой Тивари. * /

for line in range ( 0 , n) :

for i in range ( 0 , line + 1 ) :

print (binomialCoeff(line, i),

def binomialCoeff(n, k) :

for i in range ( 0 , k) :

res = res / / (i + 1 )

// Функция для печати первой

// n линий треугольника Паскаля

static void printPascal( int n)

// перебираем каждую строку

// и печатаем записи в нем

for ( int line = 0; line

// Каждая строка имеет номер

// целые числа равны номеру строки

for ( int i = 0; i

// Ссылка на детали этой функции

static int binomialCoeff( int n, int k)

for ( int i = 0; i

public static void Main()

/ * Этот код предоставлен vt_m. * /

// Реализация PHP для
// Треугольник Паскаля

// для деталей этой функции

function binomialCoeff( $n , $k )

for ( $i = 0; $i $k ; ++ $i )

// Функция для печати первой
// n строк Паскаля
// Треугольник

function printPascal( $n )

// перебираем каждую строку и

// печатаем записи в нем

for ( $line = 0; $line $n ; $line ++)

// Каждая строка имеет номер

// целые числа равны строке

for ( $i = 0; $i $line ; $i ++)

echo "" .binomialCoeff( $line , $i ). " " ;

// Этот код предоставлен Митхун Кумар
?>

Выход :

Временная сложность этого метода O (n ^ 3). Ниже приведены оптимизированные методы.

Метод 2 (O (n ^ 2) время и O (n ^ 2) дополнительное пространство)
Если мы подойдем ближе к треугольнику, мы увидим, что каждая запись является суммой двух значений над ней. Таким образом, мы можем создать 2D-массив, в котором хранятся ранее сгенерированные значения. Чтобы сгенерировать значение в строке, мы можем использовать ранее сохраненные значения из массива.

using namespace std;

void printPascal( int n)

// Вспомогательный массив для хранения

// генерируемые значения треугольника пскала

// перебираем каждую строку и

// напечатать в нем целое число

for ( int line = 0; line

// Каждая строка имеет количество целых чисел

// равно номеру строки

for ( int i = 0; i

// Первое и последнее значения в каждой строке равны 1

if (line == i || i == 0)

// Другие значения являются просто суммой значений

// вверху и слева вверху

arr[line][i] = arr[line - 1][i - 1] +

// Этот код предоставлен Code_Mech.

// C программа для треугольника Паскаля
// AO (n ^ 2) время и O (n ^ 2) дополнительное пространство
// метод для треугольника Паскаля

void printPascal( int n)

<
// Вспомогательный массив для хранения
// генерируемые значения треугольника пскала

// Перебираем каждую строку и печатаем в ней целые числа

for ( int line = 0; line

// Каждая строка имеет количество целых чисел

// равно номеру строки

for ( int i = 0; i

// Первое и последнее значения в каждой строке равны 1

if (line == i || i == 0)

// Другие значения являются просто суммой значений

// вверху и слева вверху

arr[line][i] = arr[line-1][i-1] + arr[line-1][i];

printf ( "%d " , arr[line][i]);

// Java-программа для треугольника Паскаля
// AO (n ^ 2) время и O (n ^ 2) дополнительно
// космический метод для треугольника Паскаля

public static void main (String[] args)

public static void printPascal( int n)

<
// Вспомогательный массив для хранения сгенерированных значений треугольника Паскаля

int [][] arr = new int [n][n];

// Перебираем каждую строку и печатаем в ней целые числа

for ( int line = 0 ; line

// Каждая строка имеет число целых чисел, равное номеру строки

for ( int i = 0 ; i

// Первое и последнее значения в каждой строке равны 1

if (line == i || i == 0 )

else // Другие значения являются суммой значений чуть выше и выше слева

arr[line][i] = arr[line- 1 ][i- 1 ] + arr[line- 1 ][i];

def printPascal(n: int ):

arr = [[ 0 for x in range (n)]

for y in range (n)]

for line in range ( 0 , n):

for i in range ( 0 , line + 1 ):

if (i is 0 or i is line):

print (arr[line][i], end = " " )

arr[line][i] = (arr[line - 1 ][i - 1 ] +

print (arr[line][i], end = " " )

public static void printPascal( int n)

// Вспомогательный массив для хранения
// сгенерированные значения треугольника Паскаля

int [,] arr = new int [n, n];

// перебираем каждую строку
// и вывести в нем целое число

for ( int line = 0; line

// Каждая строка имеет номер

// целые числа равны номеру строки

for ( int i = 0; i

// Первые и последние значения

// в каждом ряду 1

if (line == i || i == 0)

else // Другие значения являются суммой значений

// чуть выше и выше слева

arr[line, i] = arr[line - 1, i - 1] +

public static void Main ()

// Этот код добавлен
// Аканкша Рай (Abby_akku)

// PHP программа для треугольника Паскаля
// AO (n ^ 2) время и O (n ^ 2) дополнительное пространство
// метод для треугольника Паскаля

function printPascal( $n )

// Вспомогательный массив для хранения

// генерируемые значения треугольника пскала

$arr = array ( array ());

// перебираем каждую строку и

// напечатать в нем целое число

for ( $line = 0; $line $n ; $line ++)

// Каждая строка имеет количество целых чисел

// равно номеру строки

for ( $i = 0; $i $line ; $i ++)

// Первое и последнее значения в каждой строке равны 1

if ( $line == $i || $i == 0)

$arr [ $line ][ $i ] = 1;

// Другие значения являются просто суммой значений

// вверху и слева вверху

$arr [ $line ][ $i ] = $arr [ $line - 1][ $i - 1] +

echo $arr [ $line ][ $i ] . " " ;

// Этот код добавлен
// Аканкша Рай
?>

Этот метод может быть оптимизирован для использования O (n) дополнительного пространства, так как нам нужны значения только из предыдущей строки. Таким образом, мы можем создать вспомогательный массив размера n и перезаписать значения. Ниже приведен другой метод, использующий только O (1) дополнительное пространство.

Метод 3 (O (n ^ 2) время и O (1) дополнительное пространство)
Этот метод основан на методе 1. Мы знаем, что i- я запись в строке номера строки является биномиальным коэффициентом C (line, i), и все строки начинаются со значения 1. Идея состоит в том, чтобы вычислить C (line, i), используя C ( линия, я-1) . Его можно рассчитать за время O (1), используя следующее.

Тип урока: обобщение и систематизация.

Формы и методы: фронтальная, групповая, индивидуальная; вербальный, наглядный, иллюстративный, практический, репродуктивный, проблемно-поисковый, исследовательский, закрепление, самостоятельная работа, беседа.

Ход урока

I. Орг.момент.

Проверить готовность учащихся к уроку, правильную организацию рабочего места. Отметить отсутствующих в журнале.

II. Формулировка темы урока.

Хочешь научиться плавать, – смело входи в воду!

Хочешь научиться программировать, – пиши программы.

Simplex

0-симплекс – 1 вершина (точка);

1-симплекс (одномерный) – 2 вершины (отрезок);

2-симплекс (двумерный) – 3 вершины (треугольник);

3-симплекс (трехмерный) – 4 вершины (тетраэдр).

Какие слова из этих определений мы с вами встречали на уроках программирования? (одномерный, двумерный массив, треугольник, дать определение).

Pascal

Чей портрет Вы видите на экране? (Блез Паскаль)

Подсказка: Фамилия этого человека для нас с вами связана вплотную с информатикой: как с историей развития вычислительной техники, так и с программированием.

Какой вклад он внес в информатику? (он создал арифмометр, в честь его назван один из языков программирования)

Оказывается, Блез Паскаль, выдающийся математик, физик, философ и писатель очень интересовался одной таблицей треугольного вида (на экране):

Сегодня наш урок мы посвятим такому треугольнику.

III. Постановка целей урока

В ходе подготовки к ЕГЭ по информатике из курса программирования наибольшее затруднение вызывают:

Цели:

повторить, отработать задание и вывод элементов двумерного массива, заданных формулой;

применение пользовательских функций и рекурсивных подпрограмм для задания элементов матрицы.

Выполнение заданий, направленных на проверку знаний и умений по темам алгоритмизации и программирования позволит набрать 42,5% (чуть меньше половины) от максимального количества баллов.

IV. Обобщение и систематизация

Треугольник Паскаля

1	1	1	1	1	…
1	2	3	4	5
1	3	6	10	15
1	4	10	20
1	5	15
1	6
1
…

До наших времен треугольник Паскаля дошел в приведенном ранее на экране виде (повторить фото), а сам Паскаль рассматривал его в форме (превратить в таблицу из простого списка):

1) Рассмотрим закономерности в такой матрице:

первая строка и первый столбец состоят из 1. Как это задать? (A[1,j]:=1; A[I,1]:=1;)
задать все остальные элементы A[i,j]:=A[i,j-1] + A[i-1,j];
вывести треугольный вид таблицы

2) Вписать в карточку недостающие операторы (такое задание тоже есть в ЕГЭ)

Пользовательская функция

Для чего служит пользовательская функция? Ее общий вид.
Давайте создадим функцию, задающую сумму 2-х элементов (РАБОТА В ГРУППАХ за ПК, изменение готовой программы) Приложение2

Рекурсивная процедура

Что такое рекурсия? Для чего она нужна (объект является рекурсивным, если он содержит сам себя или определен с помощью себя).
Для чего служит процедура? Ее общий вид.
Отличие процедуры от функции.
РАССМОТРЕТЬ И ПРОАНАЛИЗИРОВАТЬ ГОТОВУЮ ПРОГРАММУ С РЕКУРСИВНОЙ ПРОЦЕДУРОЙ (в эл. пособии) Приложение3

Проблема

Треугольник Паскаля симметричен относительно главной диагонали. Как использовать этот факт? (подумать дома)

V. Постановка д.з

Паскаль подробно исследовал свойства и применения своего "треугольника"

Рассмотрим несколько удивительных свойств (см. в пособии):

Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего горизонтального ряда, начиная с самого первого вплоть до стоящего непосредственно над числом x
Каждое число x в таблице равно сумме чисел предшествующего вертикального ряда, начиная с самого верхнего вплоть до стоящего непосредственно левее числа x.
Каждое число в таблице, будучи уменьшенным на единицу, равно сумме всех чисел, заполняющих прямоугольник, ограниченный теми вертикальными и горизонтальными рядами, на пересечении которых стоит число x (сами эти ряды в рассматриваемый прямоугольник не включаются).

Д/З:

Проверить любое 1 свойство (Как? Например, с помощью метода флажков)

Дополнительное задание:

Оказывается помимо треугольника Паскаля, существует треугольник Лейбница (см. рисунок).

Найти закономерности (числа на границе треугольника обратны последовательным натуральным числам. Каждое число внутри равно сумме двух чисел, стоящих под ним)

Доп. Д/З: Составить программу, выводящую элементы треугольника Лейбница

Творческое задание:

Написать программу вывода элементов треугольника Лейбница, используя рекурсивную функцию или процедуру.

VI. Итоги и рефлексия

Тестирование (тестовая программа в пособии) Приложение3

Двумерный симплекс – это:
1. Двумерный массив (матрица);
2. Треугольник;
3. Одномерный массив.
1. произвольный треугольник, полученный с помощью языка Pascal
2. части квадратной матрицы, образованные ее диагоналями;
3. арифметический треугольник, элементы которого задаются формулой a[i,j]:=a[i,j-1] + a[i-1,j]
1. A [i ,i ]
2. A [n + 1 -j , j ]
3. A [1 , n ]
1. содержит сам себя или определен с помощью себя
2. любая процедура (функция) является рекурсивной
3. процедура, задающая элементы двумерного массива
Результаты:

4 правильных ответа – материал урока усвоен;

Рефлексия

Какие разделы программирования мы сегодня рассмотрели на уроке?
- Двумерный массив
- Квадратная матрица
- Главная, побочная диагональ
- Пользовательская функция
- Процедура
- Рекурсивная процедура
Какие разделы в программировании, на ваш взгляд, нуждаются в дополнительной проработке?

Для работы с графикой в pascal abc используется модуль GraphABC. Для его подключения используется следующий код:

uses GraphABC; begin . end.

Система координат в Паскале соответствует экранной системе координат и выглядит следующим образом:

Управление цветом

Для того, чтобы использовать цвет, необходимо применить этот цвет к инструменту перо:
- SetPenColor(color) — устанавливает цвет пера, задаваемый параметром color;
- setBrushColor(color) — устанавливает цвет кисти, задаваемый параметром color;
- либо для палитры RGB: SetPenColor(rgb(0-255, 0-255, 0-255));
или использовать для заливки:

После чего можно использовать процедуры для рисования геометрических фигур.

clBlack – черный
clPurple – фиолетовый
clWhite – белый
clMaroon – темно-красный
clRed – красный
clNavy – темно-синий
clGreen – зеленый
clBrown – коричневый
clBlue – синий
clSkyBlue – голубой
clYellow – желтый
clCream – кремовый
clAqua – бирюзовый
clOlive – оливковый
clFuchsia – сиреневый
clTeal – сине-зеленый
clGray – темно-серый
clLime – ярко-зеленый
clMoneyGreen – цвет зеленых денег
clLtGray – светло-серый
clDkGray – темно-серый
clMedGray – серый
clSilver – серебряный

Точки, отрезки и ломаные

Для отображения точки в паскале используется процедура:

uses GraphABC; begin SetPixel(300,200,clred); end.

Для рисования линии используется:

uses GraphABC; begin SetPenColor(clgreen); line(100,50,500,250); end.

Ломаные можно рисовать с помощью процедур MoveTo (x1, y1) и LineTo (x2, y2) .
Процедуры работают в паре: MoveTo передвигает курсор в определенную точку, а процедура LineTo рисует линию с этой точки до точки, определенной параметром данной процедуры.

uses GraphABC; begin . SetPenColor(clblue); MoveTo (x1, y1); LineTo (x2, y2); LineTo (x3, y3); LineTo (x4, y4); LineTo (x5, y5); end.

Задание 0: При помощи операторов SetPenColor(), LineTo (x2, y2) и MoveTo (x1, y1) нарисовать квадрат и равносторонний треугольник.

[Название файла: L4_2task0.pas ]

Для установки размеров графического окна используется процедура

Рисование фигур

uses GraphABC; begin Rectangle(50,50,200,200); end.

uses GraphABC; begin Rectangle(50,50,200,200); FloodFill(100,100,clBlue); end.

Line(x1,y1,x2,y2);
LineTo(x,y);

uses GraphABC; begin setpenwidth(20); setpencolor(clred); moveTo(300,100); lineTo(500,300); lineto(100,300); lineto(300,100); floodfill(300,200,clgreen); end.

uses GraphABC; begin Circle(500,200,100); FloodFill(500,200,clred); end.

uses GraphABC; Begin SetPenWidth(10); Arc(300,250,150,45,135); end.

[Название файла: L4_2task1.pas ]

[Название файла: L4_2task2.pas ]

Функция random для использования окраски

Задание 3: Нарисовать горизонтальный ряд окружностей радиусом 10 на расстоянии 100 от верхнего края экрана и с такими горизонтальными координатами 50, 80, 110, 140, … , 290.

* раскрасить круги случайным цветом

[Название файла: L4_2task3.pas ]

[Название файла: L4_2task4.pas ]

Задание 5:
Воспроизвести изображение при помощи программы:

[Название файла: L4_2task5.pas ]

Нарисовать штриховку на Паскале можно, используя процедуры рисования прямоугольника и линии:

Программа будет выглядеть следующим образом:

uses graphABC; var i, x1, x2, y1, y2, N: integer; h, x: real; begin x1 := 100; y1 := 100; x2 := 300; y2 := 200; N := 10; Rectangle (x1, y1, x2, y2); h := (x2 - x1) / (N + 1); x := x1 + h; for i:=1 to N do begin Line(round(x), y1, round(x), y2); x := x + h; end; end.

[Название файла: L4_2task6.pas ]

Анимация в Паскале

Анимация в программировании заключается в том, что сначала рисуется фигура цветным инструментом, затем с тем же координатами рисуется та же фигура белым цветом. После чего происходит сдвиг фигуры и действия повторяются.

uses GraphABC; var x:integer; begin x:=40; repeat SetPenColor(clWhite); Circle(x,100,10); SetPenColor(clBlack); Circle(x,100,10); x:=x+1 until x>600; end.

Задание 7: Выполнить анимацию движения квадрата по следующей траектории:

Все узнают о треугольнике Паскаля в юности. Но, видимо, узнают не все чудеса, которые содержит треугольник. В самом деле, мы до сих пор открываем новые вещи!

Строится треугольник довольно легко: по внешним краям нужно поставить единицы, а каждое число внутри равно сумме двух чисел, которые стоят над ним. Так, третье число в шестой строке равно , потому что это сумма чисел и .

Внимание! На самом деле мы будем говорить, что является вторым числом в пятой строке. По причинам, которые скоро станут ясны, мы начинаем нумеровать строки и столбцы треугольника с нуля. Например, второе число в четвертой строке равно .

Зная правило сложения, можно продолжать бесконечно: вы можете написать столько строк, сколько позволит ваше терпение.

Первые 10 строк треугольника Паскаля

Паскаль ввел свой треугольник в 1653 г. в Traité du triangle arithmétique как часть задачи исследования вероятностей и для вычислений. Задачи были примерно такие: “Если я хочу выбрать двух человек из четырех данных, сколько существует возможных пар?’’ или “Какова вероятность выпадения фулл-хауса (примеч. в покере три карты одного достоинства и две другого), когда раздается по пять карт из колоды, которая хорошо перемешана?’’ Паскаль и Ферма в основном обсуждали вероятность в письмах, которыми они обменивались в то время. Вы можете увидеть исходный треугольник Паскаля здесь.

Каким образом треугольник связан с вероятностью? Ну, если вы хотите выбрать объектов из данных, то количество возможных вариантов выбора равно -му числу в -й строке треугольника. Помните, что номера строк и чисел в строках треугольника начинаются с нуля! Используя это правило, мы видим, что существует ровно способов выбрать двух человек из четырех данных. И так — третье число в девятой строке треугольника, то существует способа выбрать трех человек из девяти данных. Научившись вычислять это, вы сделаете маленький шаг к вычислению всевозможных вероятностей.

На первый взгляд, кажется довольно непонятным, почему треугольник дает правильный ответ на этот вопрос. Может также показаться странным, что мы должны всегда начинать с нуля, чтобы заставить его работать. Чтобы увидеть, что все это совершенно верно, мы сделаем два замечания.

Во-первых, если у вас есть группа объектов, каким количеством способов вы можете выбрать нуль объектов из них? Есть ровно один способ выбрать нуль объектов, а именно: просто заявив, что вы не берете ни одного из них. Кроме того, у вас есть только один способ выбрать все объекты. И это как раз соответствует единицам на двух концах каждой строки.

Во-вторых, если мы хотим выбрать предметов из данных , мы замечаем, что есть два взаимоисключающих сценария: либо наш любимый предмет является одним из выбранных, либо это не так. Если мы выбираем его, то мы должны также выбрать предмет из оставшихся предметов, чтобы выбрать ровно предметов. Если мы не выбираем данный предмет, то мы должны выбрать все предметов из данных предмета, оставшихся после исключения нашего любимого предмета. Так как это взаимоисключающие возможности, чтобы получить общее количество вариантов выбора, мы должны сложить количества вариантов в каждом сценарии.

Короче говоря, чтобы получить число способов выбора объектов из данных , мы должны сложить количество способов выбрать объект из , и число способов выбрать объектов из . Но это именно и есть правило сложения для треугольника Паскаля!

Мы уже знаем, что треугольник полностью определяется расположением единиц по его сторонам и правилом сложения. Так как эти свойства применимы также к ответу на вопрос о количестве вариантов выбора объектов, треугольник должен и здесь давать правильный ответ.

Возможность сделать такие расчеты неоценима во множестве случаев. Поэтому мало удивляет, что Паскаль не был первым. Данные числа были рассмотрены индийскими, китайскими и иранскими математиками в разное время, начиная с момента более чем тысячелетней давности. И, конечно, все узнают треугольник Яна Хуэя, 1303 г.:

Забавно, даже не будучи в состоянии различить числа, вы можете найти опечатку в этом треугольнике, которому больше 700 лет! Подсказка: правило сложения делает треугольник Паскаля симметричным относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Если вы посмотрите внимательно, в треугольнике Ян Хуэя эта симметрия в одном месте нарушается.

В треугольнике много чудесного. Где же чудеса? Некоторые из них легко заметить. Если вы сложите числа в -й строке треугольника, вы всегда получите в степени (например, ). Для нас это довольно скучно.

Несколько более интересным является тот факт, что если вы сложите числа, стоящие в треугольнике по диагоналям, получится последовательность чисел Фибоначчи. А последовательность чисел Фибоначчи сама содержит множество сюрпризов.

Недавно нечто удивительное и новое было обнаружено в треугольнике Паскаля. Как мы видели, если сложить числа, стоящие в строке треугольника, происходит что-то интересное. Этот факт о суммах так же стар, как и сам треугольник. Однако до 2012 г., до Харлана Бразерса, никто не пытался выяснить, что произойдет, если перемножить числа в каждой строке.

$P (3) = 1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 1 = 9, P (4)=96$

Давайте обозначим через произведение чисел в -й строке треугольника. Так, , и так далее. Числа, которые получаются, кажется, не имеют каких-либо явных чудесных свойств. У Бразерса возникла идея посмотреть, что произойдет, если вы разделить эти произведения, вычисленные для рядом стоящих строк. Точнее, для он нашел числа , получающиеся по следующей формуле:

$r(n)=\frac<P(n-1)\cdot P(n+1)></p> <p>.$

Т. е. для каждой строки он рассмотрел дробь, числитель которой равен произведению всех чисел в строке, стоящей под ней, и в строке, стоящей над ней, а знаменатель — произведению всех чисел в данной строке в квадрате.

И вот удивительная вещь: когда становится все больше, это отношение становится все ближе к числу ! Помните, — это десятичное число с бесконечным числом цифр, приближенно равное . Оно появляется при капитализации процентов, модели роста численности населения и других ситуациях с экспоненциальным ростом. Удивительно, что это число может быть таким довольно простым способом найдено в треугольнике Паскаля. Так как вы знаете, что нужно искать , несложно понять, что рассмотренное отношение действительно становится все ближе к с ростом . Как вы можете видеть здесь, для вычислений требуется всего лишь немного алгебры.

Вот такая симпатичная анимация Ричарда Грина наглядно показывает результат Харлана Бразерса:

Существует еще одно чудо в треугольнике, которое каждый должен знать. Давайте каждое число в треугольнике покрасим в один из двух цветов, в зависимости от того, является оно четным или нечетным. Например, мы могли бы покрасить четные числа белым, а нечетные — синим. Если мы сделаем это для первых 500 строк треугольника, получим вот такую закономерность:

Это известный фрактал, известный как треугольник Серпинского! Это приводит к разного рода вопросам. Число четное или нечетное, если оно при делении на дает остаток или соответственно. Что происходит, когда разделим на ? Остатки могут быть равны или . Что произойдет, если использовать восемь цветов и покрасить каждое число в соответствии с его остатком при делении на восемь? Для первых 500 строк треугольника получим прекрасную картину:

Комментариев: 7

1 Murad:

Грубые ошибки – абсурды, допущенные предками и нами

2 Корнеев В.Ф.:

А как вам нравится следующий критерий простоты числа:
число тогда и только тогда простое, когда все числа треугольника Паскаля (единицы не в счёт) с номером строки этого числа делятся на это число.
Так 9 не простое число, потому что 84 не делится на 9. А 7 – простое, потому что все числа 7-ой строки делятся на 7.

Twilight_Sun Reply:
Февраль 8th, 2015 at 0:48

Как-то слишком уж очевидно доказывается : )

Корнеев В.Ф. Reply:
Февраль 8th, 2015 at 8:26

3 Murad:

Каждое целое число куб, поэтому10ст.3n = 500 x 10 ст.3(n-1) + 500 x10ст.3(n-1), где 500 x 103(n-1)нечетных и столько же четных. Целые числа начинаются с 1, а их номера с 0.

4 Вадим:

Мурад, очень интересные выводы и доводы , но не совсем понятно. Хотелось бы узнать подробнее

5 Сергей:

См. о треугольнике Паскаля самое впечатляющее и до 1981 года никому неведомое: Абачиев С. К., Стахов А. П. Треугольник Паскаля и спектр арифметик для цифровых информационных технологий.// Интернет-журнал №Науковедение”. – М.: ИГУПиТ, 2012, Вып 4.

Читайте также: