Как сделать трехлепестковую розу
Добавил пользователь Владимир З. Обновлено: 04.10.2024
Рисование на ассемблере. Трилистник(клевер,трехлепестковая роза)
Всем доброго времени суток!Прежде всего не сильно понимаю,зачем рисовать на ассемблере? Никогда на.
Построение графика функций в полярной системе координат p^2=a^2*tg(φ)
Составьте программу построения графика функций в полярной системе координат: p^2=a^2*tg(φ)
Определить величину заряда на пластинах конденсатора при разности потенциалов на них φ1–φ2 =120 В
Помогите пожалуйста. Пространство между пластинами плоского конденсатора, находящимися на.
Решение
ρ=(m!∙(m-n)!)/n!
Написать программу которая вычисляет значение ρ=(m!∙(m-n)!)/n!
Что такое Sin2(a,b), Sin3(a)
Есть некая прога в которой свой язык макроса: z это комплексное sx1 = Sin(z.x) cx1 =.
Составить программу приближённого вычисления sin3
Составить программу приближённого вычисления sin3 (сумма ряда)
вычислить S=(1+sin2)^2+(1-sin3)^2+(1+sin4)^4+. +(1-sin9)^9
Вычислить: S=(1+sin2)^2+(1-sin3)^2+(1+sin4)^4+. +(1-sin9)^9
Математический цветник. Розы Гвидо Гранди
Автор работы награжден дипломом победителя II степени
Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
Введение
Цель работы:
-Исследовать, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости от различных значений параметров
-Установить связь между количеством липестков , их формул и симметричности получившегося рисунка.
-Изучить использование полярных координат в жизни, искусстве, науке, технике и применить на практике .
2.1 Историческая справка о розах Гвидо Гранди
Уравнение розы Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид
Задавая параметр отношением натуральных чисел можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.
2.2. Разнообразие роз Гвидо Гранди
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)
Если мы возьмём любое n и k-нечётное число, то получим цветок изkлепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k. Вниз лепесток будет направлен при k=3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k=5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin((c/b)*a)
Если мы зададим значения c>b, c-любое нечётное число, b-любое чётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2c. Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.
Рассмотрим уравнение кривой r=n*sin(k*a)+m
Если k-нечётное число, и если будем прибавлять числа |m|>5, то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше n, тем более округленный цветок мы получим
2.3. Полярная система координат.
Положение любой точки A в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.
Полярная система координат
Полярная система координат — двухмерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярная система координат особенно полезна в случаях, когда отношения между точками проще изобразить в виде радиусов и углов; в более распространённой, декартовой или прямоугольной системе координат, такие отношения можно установить только путём применения тригонометрических уравнений.Полярная система координат задаётся лучом, который называют нулевым или полярной осью. Точка, из которой выходит этот луч, называется началом координат или полюсом. Любая точка на плоскости определяется двумя полярными координатами: радиальной и угловой. Радиальная координата (обычно обозначается ϕ соответствует расстоянию от точки до начала координат. Угловая координата, также называется полярным углом или азимутом и обозначается , равна углу, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось для того, чтобы попасть в эту точку.Определённая таким образом радиальная координата может принимать значения от нуля до бесконечности, а угловая координата изменяется в пределах от 0° до 360°. Однако, для удобства область значений полярной координаты можно расширить за пределы полного угла, а также разрешить ей принимать отрицательные значения, что отвечает повороту полярной оси по часовой стрелке. И так:
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.
Полярный радиус ρ – длина отрезка ОA
Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком ОA
Переход от полярной системы координат к декартовой
Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А( ρ; φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:
x1 = ρ cosφ, y1 = ρ sinφ
2.5 Общие свойства роз Гвидо Гранди
Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как
то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство sin3≥0, решая которое находим область допустимых углов: 0≤ ,
В силу периодичности функции sin3 (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке 0 , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть 0≤. Если угол изменяется от 0 до 1 , sin3 изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до . Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением .
Функция — периодическая с периодом π, кроме того,
поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.
Функция = sin2 на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [; ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.
Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;
• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .
Розы Гранди нашли свое применение в технике, в частности, если некоторая точка совершает колебание вдоль прямой, вращающейся с постоянной скоростью вокруг неподвижной точки — центра колебаний, то траектория этой точки будет розой.
Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k: лепестков при k нечетном. Если k — рациональное число (k=, то роза состоит из т лепестков в случае, когда оба числа т и п нечетные, и из 2т лепестков, когда одно из этих чисел является четным; при этом лепестки частично перекрываются. Если k - иррациональное число, то роза состоит из бесконечного множества частично перекрывающихся лепестков
2.6.Связь с другими кривыми
Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.
Кардиоиду можно построить и другим способом. Она описывается фиксированной точкой окружности, катящейся по неподвижной окружности с таким же радиусом.
Определяется уравнением в полярных координатах
(a - радиус окружности)
Определяется уравнением в полярных координатах
(с – половина расстояния между фокусами лемнискаты)
Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок. Определяется уравнением в полярных координатах
Спираль Архимеда – названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Определяется уравнением в полярных координатах
В наши дни подобные эксперименты удобно проводить, имея персональный компьютер.
Построение графиков в полярной системе координат в Delphi
Создадим проект в среде Delphi для построения графиков полярных кривых, заданных параметрическими уравнениями: кардиоиды, логарифмической спирали, декартова листа, фигуры Лиссажу, k-лепестковой розы, эпициклоиды
отгибаем нижние стороны к середине, перегибаем лепесток по указанной линии и.
Цветок готов ! Использовать можно например,
. для создания Электры с розами Фукуями. Это результат Сашиной работы - прелесть правда ?!
Данный модуль придумала не я, а моя подруга которую я "пристрастила" к созданию кусудам. Сделав кусудаму "Электра" с розами Фукуями Саша была недовольна незавершенным видом работы (остались пустые треугольнички), я рассказала ей что существует ирис на основе треугольника, но я не знаю как он создаётся. Тяжело вздохнув, Саша измяв несколько листов бумаги, придумала подобную красоту. Спасибо ей !
вот здесь кажется что-то похожее
Спасибо, Татьяна, спасибо Саша. Сама бы я никогда не дотумкала, а с таким мастер-классом в одно мгновение моя Электра покрылась чудными листочками. Правда, еще цветочки не все доделала, но это ж пустяки! Так хорошо теперь в маленьких дырочках смотрятся трилистники, ай, какие вы молодцы.
Очень красиво. Спасибо за трилистик, нигде не могла найти и вот. очень доступно описали.
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Сертификат и скидка на обучение каждому участнику
РОЗЫ ГВИДО ГРАНДИ
1. Введение. Цель и задачи работы
2. Основная часть
2.1 Историческая справка
2.2 Разнообразие роз Гвидо Гранди
2.3 Полярная система координат
2.4 Общие свойства роз Гвидо Гранди
2.5 Связь с другими замечательными кривыми
"Узоры математики, как и узоры художника или узоры поэта, должны быть красивы, идеи, как и краски или слова, должны сочетаться гармонически. Красота является первым критерием: в мире нет места для безобразной математики" (Дж.Х. Харди).
Исследовать, как изменяются кривые Гвидо Гранди, заданные в полярной системе координат в зависимости от различных значений параметров
1. Установить связь между количеством лепестков, их формул и симметричности получившегося рисунка.
3. Изучить использование полярных координат в жизни, искусстве, науке, технике и применить на практике.
2.1 Историческая справка
Уравнение розы Гвидо Гранди в полярных координатах имеет вид
Задавая параметр отношением натуральных чисел можно получить замкнутые кривые, при определенных условиях превращающиеся в лепестковые цветы или в ажурные розетки, которые могут служить элементами декора или орнамента.
2.2. Разнообразие роз Гвидо Гранди
Рассмотрим уравнение кривой
Если мы возьмём любое a и k -нечётное число, то получим цветок из k лепестков. Мы замечаем, что в одном случаи есть лепесток, направленный по оси ординат вверх, а в другом вниз. Это зависит от значения k . Вниз лепесток будет направлен при k =3 и при всех последующих нечётных через одно число, вверх – при k =5 и при всех следующих нечетных числах через одно. Кривые симметричны относительно оси ординат.
Рассмотрим уравнение кривой
Если мы зададим значения c > b , c -любое нечётное число, b -любое чётное и получившаяся дробь не сокращается до целого числа, тогда увидим цветы с количеством лепестков 2 c . Они будут накладываться друг на друга. Кривые симметричны относительно начала координат, оси ординат и абсцисс.
Рассмотрим уравнение кривой
Если k -нечётное число, и если будем прибавлять числа | m |>5 , то наша кривая в форме цветка будет переходить в окружность. Чем больше m и чем меньше a , тем более округленный цветок мы получим.
2.3. Полярная система координат.
Положение любой точки P в пространстве (в частности, на плоскости) может быть определено при помощи той или иной системы координат. Числа (или другие символы), определяющие положение точки, называются координатами этой точки. В зависимости от целей и характера исследований выбирают различные системы координат. Рассмотрим полярную систему координат.
Основными понятиями этой системы являются точка отсчёта – полюс, и луч, начинающийся в этой точке – полярная ось.
Полярный радиус ρ – длина отрезка О P
Полярный угол φ – величина угла между полярной осью и отрезком О P .
Переход от полярной системы координат к декартовой
Если полюс полярной системы координат совместить с началом прямоугольной системы координат, а полярную ось с положительной полуосью Ox, то по известным полярным координатам точки А (ρ;φ) её прямоугольные координаты вычисляются по формулам:
2.5 Общие свойства роз Гвидо Гранди
Семейство роз Гранди имеет свойство, которое в природе не сразу и заметишь: так как
то вся кривая расположена внутри круга единичного радиуса. В силу периодичности тригонометрических функций роза состоит из одинаковых лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен 1.
ρ= sin(3 ∗ 𝜑)
Покажем, как построить трёхлепестковую розу. Для построения этой кривой сначала заметим, что поскольку полярный радиус неотрицателен, то должно выполняться неравенство , решая которое находим область допустимых углов: ,
В силу периодичности функции (ее период равен ) достаточно построить график для углов в промежутке , а в остальных двух промежутках использовать периодичность. Итак, пусть . Если угол изменяется от 0 до 1, изменяется от 0 до 1, и, следовательно, изменяется от 0 до 1. Если угол изменяется от , то радиус изменяется от 1 до 0. Таким образом, при изменении угла от 0 до , точка на плоскости описывает кривую, похожую на очертания лепестка и возвращается в начало координат. Такие же лепестки получаются, когда угол изменяется в пределах от до π и от до .
Рассмотрим теперь, как построить кривую, заданную в полярной системе координат уравнением ρ= sin(2 ∗ 𝜑) .
Функция — периодическая с периодом π, кроме того,
поэтому достаточно построить кривую в первой четверти, потом зеркально отразить ее относительно оси Оу и использовать периодичность для построения кривой в третьей и четвертой четвертях.
Функция на отрезке [0; монотонно возрастает с 0 до 1 , а на отрезке [ ] монотонно убывает от 1 до 0. Таким образом, мы получили лепесток розы, лежащий в первой четверти. Остальные три лепестка получатся, если построить кривую в оставшихся четвертях.
Отметим следующие интересные свойства четырехлепестковой розы:
• четырехлепестковая роза есть геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на отрезок длиной 1, концы которого скользят по координатным осям;
• площадь, ограничиваемая четырехлепестковой розой, равна .
Вообще, если k — натуральное число, то роза состоит из 2k лепестков при четном k и из k лепестков при k нечетном.
ρ= sin(4 ∗ 𝜑)
2.6.Связь с другими кривыми
Замечательные кривые
Кардиоида (от греческих слов сердце и вид) – получила свое название из-за схожести своих очертаний со стилизованным изображением сердца.
Определяется уравнением в полярных координатах
(a - радиус окружности)
Определяется уравнением в полярных координатах:
ρ 2 =2c 2 cos2φ
(с – половина расстояния между фокусами лемнискаты)
Полярная роза – известная математическая кривая, похожая на цветок. Определяется уравнением в полярных координатах
Спираль Архимеда – названа в честь ее изобретателя, древнегреческого математика Архимеда. Определяется уравнением в полярных координатах
ρ= k φ .
2.6.Применение
Применение полярных координат
В фотографии
Вертикальные линии после того, как к ним применен фильтр (переводящий координаты точек из прямоугольной системы в полярную), стали расходиться из центральной точки.
В экономике
Необычный формат биржевых графиков предложил в 1990-е годы российский математик Владимир Иванович Елисеев
Ф – время её совершения
Используя такую систему координат, относительно просто связать градусы и время (в году 365 дней, в окружности – 360 градусов)
В военном деле
Координаты цели могут выдаваться в полярной системе координат (азимут, дальность), прямоугольной (X, Y), геодезической (широта, долгота).
В медицине
Компьютерная томография сердца в системе полярных координат .
В системах идентификации человека
Результат преобразования кольца радужной оболочки из декартовой системы координат в полярную.
В различных областях науки и техники
Измерительный проектор предназначен для измерения различных параметров в прямоугольной и полярной системах координат
Применяется в измерительных лабораториях и цехах предприятий точного приборостроения, машиностроения, микроэлектроники, в инструментальном производстве, а также в лабораториях НИИ.
В математическом дизайне и архитектуре малых форм
С помощью выращенных цветов, различных кривых в полярных координатах и графических редакторов можно сделать, например различные рисунки, рамки-орнаменты, или украсить ими различные предметы. Орнамент - украшение, узор, состоящий из ритмически организованных повторяющихся элементов, которые композиционно могут образовывать орнаментальный ряд.
В ландшафтном дизайне
2.7 Практическая часть
Так как я обучаюсь в Самарском колледже строительства и предпринимательства, то данная тема мне близка и актуальна. На отделении садово-парковое и ландшафтное строительство студенты создают эскизы и макеты цветников, клумб и альпийских горок.
На отделении строительство зданий и сооружений, на уроках архитектуры изучают и создают современные орнаменты.
Мной созданы несколько эскизов орнамента. Изучение линий Гвидо Гранди натолкнуло меня выполнить эскизы орнамента в виде кардиоид и роз. Несколько моих разработок я здесь представлю.
Читайте также: