Как сделать трехгранный угол
Обновлено: 03.07.2024
ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ —три луча SA, SB, SC, исходящие из одной точки S пространства и не лежащие в одной плоскости. Плоские углы ASB, BSC, CSA называются гранями трехгранного угла, точка S — его вершиной (рис. 292, а). Трехгранный угол обозначается так: SABC или ∟S (одной вершиной). Трехгранный угол делит все пространство на области (части), одна из которых выпуклая, а вторая невыпуклая (вогнутая). Выпуклая часть пространства называется внутренней областью трехгранного угла, невыпуклая — внешней его областью. Если все плоские углы трехгранного угла равны, то трехгранный угол называется правильным. Сумма всех плоских углов выпуклого трехгранного угла меньше четырех прямых (4d). Каждый плоский угол трехгранного угла меньше суммы двух других его плоских углов. Ттрехгранный угол есть многогранный угол (см.) с наименьшим числом его граней. Два трехгранных угла SABC и S’A’B’C’ называются симметричными, если у них плоские углы (грани) равны, но расположены в обратном порядке, как показано на рис. 292,b (S≡S’). ∟SABC и ∟SA’B’C’ симметричны. Симметричные грехгранные углы не равны, т. е. при наложении они не совпадут.
№ слайда 1
№ слайда 2
Теорема. В трехгранном угле сумма плоских углов меньше 360 и сумма любых двух из них больше третьего. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Основное свойство трехгранного угла. Доказать: + + ; + > ; + > .
№ слайда 3
Доказательство I. Пусть ; + > ; + > .
№ слайда 4
Формула трех косинусов . Следствия. 1) Для вычисления угла между прямой и плоскостью применима формула: 2) Угол между прямой и плоскостью – наименьший из углов, которая эта прямая, образует с прямыми этой плоскости.
№ слайда 5
II. На ребрах данного угла отложим точки A’, B’ и C’ так, что |OA’| = |OB’| = |OC’| Тогда треугольники A’OB’, B’OC’ и С’OA’ – равнобедренные, а их углы при основаниях 1 – 6 – острые. Для трехгранных углов с вершинами A’, B’ и C’ применим неравенства, доказанные в пункте I: С’А’B’ ; + > ; + > .
№ слайда 6
III. Рассмотрим луч c’ – дополнительный лучу с и для трехгранного угла Оabc’ используем неравенство, доказанное в пункте II для произвольного трехгранного угла: (180 – ) + (180 – ) + . Аналогично доказываются и два остальных неравенства. Дано: Оabc – трехгранный угол; (b; c) = ; (a; c) = ; (a; b) = . Доказать: + + ; + > ; + > . с’
№ слайда 7
Следствие. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине меньше 120 .
№ слайда 8
Определение. Трехгранные углы называются равными если равны все их соответствующие плоские и двугранные углы. Признаки равенства трехгранных углов. Трехгранные углы равны, если у них соответственно равны: два плоских угла и двугранный угол между ними; 2) два двугранных угла и плоский угол между ними; 3) три плоских угла; 4) три двугранных угла. Рис. 4б
№ слайда 9
. . Дан трехгранный угол Оabc. Пусть 10
II. Пусть > 90 ; > 90 , тогда рассмотрим луч с’, дополнительный к с, и соответствующий трехгранный угол Оаbс’, в котором плоские углы – и – – острые, а плоский угол и двугранный угол – те же самые. По I.: cos = cos( – ) cos( – ) + sin( – ) sin( – ) cos cos = cos cos + sin sin cos
№ слайда 11
III. Пусть 90 , тогда рассмотрим луч a’, дополнительный к a, и соответствующий трехгранный угол Оа’bс, в котором плоские углы и – – острые, третий плоский угол – ( – ), а противолежащий ему двугранный угол – ( – ) По I.: cos( – ) = cos cos( – ) + sin sin( – ) cos( – ) cos = cos cos + sin sin cos a’
№ слайда 12
IV. Пусть = 90 ; = 90 , тогда = и равенство, очевидно, выполняется. Если же только один из этих углов, например, = 90 , то доказанная формула имеет вид: cos = sin cos cos = cos(90 – ) cos Следствие. Если = 90 , то cos = cos cos – аналог теоремы Пифагора!
На данном уроке мы изучили такие понятия, как трехгранный угол и многогранный угол, а также узнали их свойства. Кроме того, мы доказали теорему о сумме плоских углов многогранного угла.
Три луча с общим началом в точке O — OA, OB и OC, которые не лежат в одной плоскости образуют трехгранный угол ОАВС.
Свойство трехгранного угла: каждый плоский угол трехгранного угла меньше сумму двух других плоских углов.
Утверждение: для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра.
Теорема: Сумма плоских углов выпуклого многогранного угла меньше 360°.
Многогранные углы
Утверждение: Для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его ребра.
Известно, что учащиеся средних школ хуже всего решают задачи по планиметрии и стереометрии. Планиметрия и стереометрия, теория которых основана на аксиоматическом походе, являются традиционно трудными для понимания учащимися. Эти разделы требуют отдельной и серьёзной подготовки выпускниками.
Решение задач по стереометрии требуют хорошего пространственного воображения, умения строить ясные и чёткие чертежи, сводить решение стереометрической задачи к серии планиметрических задач.
Теорема косинусов для трехгранного угла
Плоские углы трехгранного угла находятся в определенной зависимости с двухгранными его углами
Имеет место равенство: cosα=cosβ*cosγ+sinβ *sinγ *cos A
Аналогичные формулы можно записать для cosβ и cosγ
Приведенная формула угла (формула косинусов) позволяет по трем плоским углам найти двугранные углы при ребрах трехгранного угла и, наоборот, зная все двугранные углы найти все плоские углы при вершине трехгранного угла.
Содержимое разработки
Из опыта работы учителя математики
Соколовой В.А.
М. Горький.
Известно, что учащиеся средних школ хуже всего решают задачи по планиметрии и стереометрии. Планиметрия и стереометрия, теория которых основана на аксиоматическом походе, являются традиционно трудными для понимания учащимися. Эти разделы требуют отдельной и серьёзной подготовки выпускниками.
П лоские углы трехгранного угла находятся в определенной зависимости с двухгранными его углами
Имеет место равенство : cosα=cosβ*cosγ+sinβ *sinγ *cos A
Аналогичные формулы можно записать для cosβ и cosγ
Теорема косинусов для трехгранного угла
Приведенная форм ул а угла (формула косинусов)
позволяет по трем плоским углам найти
двугранные углы при ребрах трехгранного угла
и, наоборот, зная все двугранные
углы найти все плоские углы при вершине трехгранного угла.
α,β,γ противолежащие им плоские углы
Задача №2: Величины двух плоских углов трехгранного угла равны 60 0 и 45 0 . Найдите величину третьего плоского угла, если противолежащий ему двугранный угол - прямой.
Задача №3: В трехгранном угле два угла содержат по 60 0 . На их общем ребре от вершины отложен отрезок , равный 2 см. Найти проекцию этого отрезка на плоскость третьего угла, равного 90 0 .
Задача №4: Наклонная образует угол 45 0 с плоскостью. Через основание наклонной проведена прямая в плоскости под углом 45 0 к проекции наклонной. Найдите угол между этой прямой и наклонной.
cos γ = cos α * cos β
cos γ = cos45º*cos45º
Задача №5 Из одной точки проведены две равные наклонные. Угол между ними 60 0 , а между их проекциями 90 0 . Найдите углы между наклонными и плоскостями.
DA=DB, AC=BC- КАТЕТЫ ABC
ABC; ACB=90 0 ; CAB= CBA=45 0 .
cos DAB=cos DAC * cos CAB
Cos60 0 =cos45 0 *cos CAD
C os CAD= cos60 0 1 2 1 √2
cos45 0 2 √2 √2 2
В трехгранном угле два плоских угла 45 0 и 30 0 , третий плоский угол 60 0 . Найдите двугранный угол, противолежащий третьему углу. Решение.
У трехгранного угла два плоских угла равны 45 0 , двугранный угол между ними прямой. Найдите третий плоский угол.
Нет тумана, из которого не было бы выхода. Главное – держаться и идти вперёд. Р. Ролан
-75%
Читайте также: