Как сделать тождество

Обновлено: 06.07.2024

В данной публикации мы рассмотрим, что такое тождество и тождественные выражения, перечислим виды, а также приведем примеры для лучшего понимания.

Определения тождества и тождественного выражения

Тождество – это арифметическое равенство, части которого тождественно равны.

Два математических выражения тождественно равны (другими словами, являются тождественными), если они имеют одинаковую величину.

Виды тождеств:

Числовое

Пример задачи

Определите, какие из перечисленных равенств являются тождествами:

212 + x =
16 ⋅ (x + 4) =
10 – (-x) + 22 =
1 – (x – 7) =
x 2 + 2x = 2x 3
(15 – 3) 2 =

Тождествами являются первое и четвертое равенства, т.к. при любых значениях x обе их части всегда будут принимать одинаковые значения.

Числа 16 и 2 называются соответственными значениями выражений f(x)и g(x) при одинаковом значении x=2. В данном случае соответственные значения не равны. Теперь подставим x=3:

$f(3)=3^2 - 4 \cdot 3 + 20 = 17, g(3) = 3 \cdot 3^2 - 10 = 17$

Соответственные значения равны.

Соответственные значения двух выражений, содержащих одни и те же переменные – это числовые значения этих выражений, полученные при подстановке одинаковых значений переменных.

Соответственные значения могут быть:

равны для отдельных значений переменных;
равны при всех допустимых значениях переменных;
неравны для любого из допустимых значений переменных.

п.2. Область допустимых значений

Значения переменных, при которых алгебраическое выражение имеет смысл, называют допустимыми значениями переменных .

Множество всех допустимых значений переменных называют областью определения алгебраического выражения (или областью допустимых значений переменных , сокращённо ОДЗ ).

Ограничения на ОДЗ определяются видом выражения:

Целое выражение имеет смысл при любых значениях входящих в него переменных.
Дробное выражение не имеет смысла при тех значениях переменных, которые обращают знаменатель в нуль. Например, выражение $ \frac $ не имеет смысла при a=4.
Иррациональное выражение не имеет смысла, если выражение под корнем чётной степени или под знаком возведения в дробную степень отрицательно. Например, выражение $ \sqrt $ не имеет смысла при всех a Тождественно равные выражения – это выражения, соответственные значения которых равны при всех допустимых значениях переменных.

Тождество – формула, в которой два тождественных выражения соединены знаком равенства.

Согласно определению, тождество – это равенство, которое является истинным при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.

Примеры тождеств: $a + b = b + a, \frac = a+1, x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$

Тождествами также принято считать истинные числовые равенства.

Примеры числовых тождеств: $3^2 + 4^2 = 5^2, 1 + 3 + 5 + 7 = 4^2$

Разница между тождеством и уравнением заключается в том, что тождество является истинным при всех допустимых значениях переменных, а уравнения – только для одного или нескольких значений переменных из ОДЗ.

Например: $x + 1 = \frac $ - это тождество, которое истинно для всех действительных $x \mathbb \in R$. Выражение $x^2 + 1 = 2$ - это уравнение, которое истинно только для $x = \pm 1$.

Тождественное преобразование выражений – это замена одного выражения другим, тождественно ему равным.

Например, сокращение дроби $ \frac = \frac ab $ является тождественным преобразованием.

Для доказательства (или опровержения) тождеств используют следующие алгоритмы.

Алгоритм доказательства, что равенство является тождеством

1. Выполнить тождественные преобразования одной или обеих частей равенства.

2. Сравнить полученные слева и справа алгебраические выражения. Если они одинаковы, то равенство является тождеством.

Если выражения неодинаковы, продолжить тождественные преобразования или перейти к доказательству того, что равенство не является тождеством.

Алгоритм доказательства, что равенство не является тождеством

Найти хотя бы одно значение переменной, при котором соответственные значения выражений слева и справа неравны.

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Нужна помощь в учебе?

Предыдущая тема: Разложение многочлена на множители способом группировки
Следующая тема: Возведение в квадрат суммы и разности двух выражений: формулы и примеры

Все неприличные комментарии будут удаляться.

Ответ

Тождество — это уравнение, которое удовлетворяется тождественно, т. е. справедливо для любых допустимых значений входящих в него переменных. Доказать тождество – значит установить, что при всех допустимых значениях переменных его левая и правая часть равны.
Способы докозания тождества:
1. Выполняют преобразования левой части и получают в итоге правую часть.
2. Выполняют преобразования правой части и в итоге получают левую часть.
3. По отдельности преобразуют правую и левую части и получают и в первом и во втором случае одно и тоже выражение.
4. Составляют разность левой и правой части и в рзультате её преобразований получают нуль.

Т. к. мы не можем преобразовать правую часть, следовательно, мы будем преобразовывать левую. ( Т. к. я не могу написать число, возведённое во вторую степень, например число- x в квадрате, я буду писать так: x умноженное на х, сокращённо х умн. на х)
Итак, преобразовываем:
х умн. на х + 8х – 5х – 40 – х умн. на х + х – 4х + 4=-36,
(Мы многие числа можем взаимно уничтожить! Это иксы в квадратных степенях, потому что один из них положительный, другой отрицательный, и подобные числа – 8х; -5х; х; -4х. Потому что 8х – 5х + х – 4х= 0).
В итоге, у нас получилось -40 + 4= -36.
Выполнив несложную математическую операцию 4-40, мы получим -36.
-36=-36.
Тождество доказано!

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Примеры тождеств.

– Тождество Эйлера (кватернионы);

– Тождество Эйлера (теория чисел);

– Тождество четырёх квадратов;

– Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Логические законы объективны и не зависят от человеческого сознания. Это основа процесса мышления. Одним из главных можно назвать закон тождества, который находит применение не только в области логики, но и в других научных знаниях: математике, информатике, криминалистике, физике, химии и юриспруденции.

Основные законы логики

Логика — это раздел философии. Он представляет собой науку о формах и законах правильного мышления. Закон логики — необходимая связь между логическими формами в процессе построения последовательного рассуждения. Цель его состоит в формулировании правил и рекомендаций, с помощью которых можно найти путь к истине. Это не законы самого окружающего мира, а правила мышления о нём.

Аристотель, который создал классификацию свойств бытия, всесторонне определяющих субъект, впервые сформулировал три из четырёх логических законов и подразумевал под этим предпосылку для объективной связи мыслей в процессе размышления. Основными в формальной логике считаются законы:

тождества;
исключённого третьего;
непротиворечия;
достаточного основания.

Без этого закона невозможно установить, что такое логическое следование, и понять смысл доказательства.

Логический принцип тождественности

Тождество — это примерное равенство, сходство объектов по какому-либо показателю. Принцип (синоним слова закон) его — один из основных логических законов формальной логики как науки, в соответствии с которым в процессе размышления любое суждение должно оставаться тождественными самому себе.

пусть установлено: по определённым признакам мысль А тождественна В. Тогда верно и утверждение, что В по тем же признакам тождественна А;
если А по какому-то показателю равна В, а В при этом соответствует С, то А будет равна С.

Не сделал, то есть не совершил что-то плохое, за что можно наказать.
Не сделал что-то, что должен был выполнить.

Получилось, что в одно и то же понятие было вложено два различных смысла. Нарушение закона может выражаться в следующих формах:

Подмена или потеря предмета мысли.
Намеренное искажение.
Замена тезиса — нетождественность положения, которое пытаются доказать, исходному тезису.

Нарушение закона тождества ведёт к неясности мысли, что совершенно недопустимо во многих областях, например, в юриспруденции. Неточное определение или неправильно истолкованное понятие в сфере права способствует появлению беззакония и произвола, поэтому в процессе мышления принцип тождественности выступает в виде важного правила.

Этот закон вводит требование об отсутствии в ходе размышлений подмены или смешения мысли об объекте или замены предмета мысли. Нужно учитывать, что даже в законодательных актах часто попадаются двусмысленности, а это обязательно приводит к разночтениям в истолковании и неоднозначности в применении.

Виды преобразований

Тождеством в математике называется равенство, которое верно при всех значениях, входящих в него переменных для различных классов функций. Значение этого слова — полное сходство, подобие объектов, явлений друг другу или самим себе. К тождествам можно отнести:

Формулы сокращённого умножения в алгебре.
Тождество параллелограмма. Оно гласит, что сумма квадратов длин сторон параллелограмма равна сумме квадратов длин его диагоналей.
Основное тригонометрическое тождество sin 2 α + cos 2 α = 1, которое связывает квадраты функций синуса и косинуса для любых значений углов.
Тождество Эйлера (комплексный анализ).

Тождество Эйлера — e iπ + 1 = 0 — часто приводят как пример феноменального результата, который устанавливает неочевидную зависимость между геометрией (число пи) и математическим анализом (экспонента). Формула связывает пять фундаментальных математических констант:

число e — основание натурального логарифма;
i — мнимую единицу;
число пи — соотношение длин окружности и диаметра;
1 и 0 — нейтральные элементы по операциям умножения и сложения соответственно.

Тождественным преобразованием называются операции, которые проводятся для замены исходного выражения на тождественно равное. Например, x 3 — xy 2 = x (x — y)(x + y) — это тождество, так как вынесение за скобки общего множителя и применение формул сокращённого умножения являются тождественными преобразованиями. Для демонстрации подставим вместо переменных x и y произвольные значения. Пусть x = 5; y = 4. Получим слева: 125 — 5 x 16 = 45, справа 5 (5 — 4)(5 + 4) = 45. Совпадение обеих частей равенства доказывает тождественность.

Способы доказательства

Равенство и тождество, которое относится к предельному случаю равенства, — это термины, используемые в математике при решении уравнений. Для доказательства тождества нужно сделать тождественные преобразования выражений в одной или обеих частях равенства и получить одинаковые результаты. При выполнении преобразований необходимо обращать внимание на область допустимых значений (ОДЗ) переменных. Эти операции могут суживать ОДЗ или оставлять её прежней.

При переходе от выражения x + (-y) к выражению (x — y) область допустимых значений переменных x и y будет прежняя. Переход от выражения (x — 5) к отношению (x — 5) 2 / (x — 5) приводит к сужению ОДЗ переменной x от (-ꚙ, +ꚙ) до (-ꚙ, 5) U (5, +ꚙ). Способы доказательства:

Применить тождественные преобразования к левой части. Если получится выражение, стоящее в правой части, то тождество считается доказанным.
Преобразовать таким же способом правую часть равенства. Если в результате получится выражение, стоящее в левой части, то доказательство получено.
Сделать тождественные преобразования левой и правой части равенства. Если будет достигнут одинаковый результат, то это служит доказательством тождественности обеих частей.
От правой части равенства отнять левую. Выполнить над разностью равносильные преобразования. Получение в итоге нуля считается доказательством тождественности частей.
Из левой части равенства вычесть правую и произвести над разностью тождественные преобразования. В итоге должен получиться нуль. Тождество будет верным.

В теории множеств для доказательства тождественности часто используются круги или диаграммы Эйлера.

В них графическими методами наглядно можно представить различные операции над множествами: пересечение, объединение, разность, симметрическую разность. Существуют методы построения пересекающихся кругов Эйлера для любого выражения онлайн. Это тоже упрощает доказательство тождественности.

Чтобы доказать нетождественность двух частей выражения, требуется найти хотя бы одно значение переменной из области допустимых значений. При ее подстановке числовые выражения частей получатся неравными друг другу. Разница между уравнением и тождеством заключается в том, что первое может быть выполнено только при некоторых значениях переменных, которые будут его решением, а второе — при всех значениях.

Тождество — это многозначный термин, применяемый в философии, математике, физике. Понятие тождественности уникально по охвату им различной проблематики. С ним сталкиваются и школьники на уроках алгебры и геометрии, и крупные учёные при проведении многочисленных исследований в современной науке.

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Читайте также: