Как сделать сумму векторов по правилу параллелограмма

Обновлено: 06.07.2024

Суммой двух векторов \(\vec a+\vec b\) называют третий вектор \(\vec c\) , который проведен из начала \(\vec a\) и упирается в конец \(\vec b\) при условии, что конец \(\vec a\) совпадает с началом \(\vec b\) .

На плоскости найти сумму векторов можно, воспользовавшись формулой:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Если ситуация переходит в пространственное измерение, то достаточно всего лишь а тот же пример добавить новую координату:

Основные законы:

Переместительный закон (или коммутативный). Суть его свойства заключается в формуле: \(\vec a+\vec b=\vec b+\vec a\) .

Сочетательный закон. Выглядит, как \(\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)\) .

Помимо покоординатного сложения направленных отрезков, существуют геометрические нормы, которые позволяют узнать их сумму. Наиболее широко используемых методов в системе три: правило треугольника, параллелограмма и многоугольника.

Как происходит сложение по правилу треугольника

Чтобы узнать сумму векторов x и y, необходимо из произвольной точки отложить первый из них, а затем из его конца уже отложить второй. Следующий шаг — построить направленный отрезок, который соединит начало \vec x с концом \vec y. Образовавшаяся сторона треугольника и будет результатом сложения двух векторов. Теорема считается доказанной.

Сложение по правилу параллелограмма

Найти сумму векторов можно без построения треугольника. Для этого от начала первого вектора нужно отложить второй вектор. Дополним получившийся чертеж до параллелограмма. Две его стороны у нас уже имеются. Выстроить оставшиеся поможет способ параллельного переноса. Диагональ готовой фигуры, которая исходит из начальной точки векторов, считается их суммой. Теорема доказана.

Как и когда применяется правило многоугольника

Данный способ потребуется для того, чтобы сложить более двух векторов.

Принцип действий в данном случае похож на последовательность шагов, как в случае с треугольником. Из произвольной точки провести первый вектор. Из его конца — второй, из второго — третий и так далее. Затем окончание последнего вектора соединить с началом первого — это будет результат сложения всех векторов. Доказательство теоремы выполнено.

Задачи с примерами решения

Задача 1

Найти \(\vec a+\vec b\) .

Решение

Задача 2

С помощью правила треугольника постройте сумму заданных векторов a и b.

Решение 1

Параллельным переносом совмещаем конец вектора a с началом b. Далее соединяем исходную точку вектора a с конечной вектора b. Выходит \(\vec c\) . Длина отрезка, изображающего этот направленный отрезок, и будет общим значением \(\vec a\) и \(\vec b\) .

Решение 2

С помощью параллельного переноса устанавливаем конец \(\vec b\) таким образом, чтобы он совпадал с началом \(\vec a\) . Затем конечную точку первого совмещаем с началом второго. Получилось \(\vec c=\vec b+\vec a\) .

Одна цель достигнута разными способами, что наглядно демонстрирует действие переместительного закона.

(рис. 1).

Правило треугольника для суммы векторов

Суммой векторов и " width="8" height="16" />
есть некоторый третий вектор " width="9" height="11" />
, получаемый следующим образом: из конца вектора откладываем вектор " width="8" height="16" />
, затем соединяем начало вектора и конец вектора " width="8" height="16" />
; полученный в результате вектор " width="9" height="11" />
и есть сумма указанных векторов (рис. 2).

Правило параллелограмма для суммы векторов

Если векторы и " width="8" height="16" />
неколлинеарные векторы, то для нахождения суммы " width="41" height="18" />
приводим эти векторы к общему началу и на них строим параллелограмм. Диагональ параллелограмма, имеющая с заданными векторами и " width="8" height="16" />
общее начало, и будет суммой этих векторов (рис. 3).

Свойства операции сложения векторов

.

.

3. Сумма противоположных векторов равна нулевому вектору:

.

Сложением или суммой " width="41" height="18" />
векторов ;\; a_ ;\; a_ \right)" width="130" height="18" />
и =\left(b_ ;\; b_ ;\; b_ \right)" width="122" height="20" />
называется операция вычисления вектора " width="9" height="11" />
, все координаты которого равны сумме соответствующих координат векторов и " width="8" height="16" />
, то есть

Примеры сложения векторов

Задание	Найти сумму векторов и .
Решение	Чтобы найти сумму указанных векторов к координатам вектора прибавим соответствующие координаты вектора :

Задание	Доказать, что сумма противоположных векторов равна нулевому вектору.
Доказательство	Пусть вектор , тогда противоположный ему вектор имеет координаты

Найдем сумму этих векторов:

Вектор - это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало - точка. Модуль вектора (абсолютная величина) - длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c - это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение - в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s_x=x-x₀, на ось ОУ: s_y=y-y₀.

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма - сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов - это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

Суммой векторов a (на рисунке зелёный вектор ) и b (на рисунке синий вектор ) называется третий вектор c (на рисунке красный вектор ) , получаемый следующее построение:

Правило параллелепипеда

Если три вектора a, b, c после приведения к общему началу не лежат в одной плоскости , то их сумма равна диагонали параллелепипеда

d=a+b+c

Сложение противоположных векторов

Сумма противоположных векторов равна нуль-вектору, т.е.

a+(-a)=0

Свойство переместительности ( переместительный закон )

От перестановки слагаемых сумма векторов не меняется.

с=a+b= b+a

Сочетательное свойство ( сочетательный закон )

Слагаемые векторы можно группировать как угодно.

a+(b+c+d) = a+b+c+d

Вычесть вектор а (вычитаемое) из вектора b (уменьшаемое) значит найти новый вектор x (разность), который в сумме с вектором а даёт вектор b.
Разность векторов обозначается: a-b
Вычитание есть действие обратное сложению (сложение векторов).
Вычитание векторов показаны на рисунках ниже:

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 0 / 5. Количество оценок: 0

Оценок пока нет. Поставьте оценку первым.

1924

Читайте также:

  
• Как сделать ластик в делфи
  
• Как сделать пс 4 быстрее
  
• Как сделать лифт арк
  
• Как сделать киянку своими руками из дерева
  
• Как сделать ресторан дома