Как сделать ступенчатую матрицу

Обновлено: 04.07.2024

Используйте только квадратные матрицы!
На этой странице введите матрицу, чтобы произвести проведение матрицы к треугольному виду. Таким образом вы проделаете преобразование матрицы к треугольному виду A
Будут вычислены верхнетреугольная матрица и нижнетреугольная матрицы

Если вам интересно, для чего используется приведение к треугольному виду матрицы, то смотрите калькулятор по решению систем уравнений методом Гаусса здесь

© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн

Приведение матрицы к ступенчатому виду

Матрица — математический объект, представленный в форме квадратной или прямоугольной таблицы, содержащей определенное число строк и столбцов, именуемых порядками. Матрицы могут различаться размерами и содержанием. Матрицы позволяют упорядочить записи систем линейных уравнений, что ведет к удобному поиску их результатов. Работа с матрицами предполагает приведение их к стандартному виду.
В математике множество разнообразных видов матриц. Все элементы нулевой матрицы равны нулю, а число строк и столбцов может быть совершенно разным.
Матрица квадратного типа имеет одинаковое количество строк и столбцов. Матрица простейшего вида вектор-столбец имеет три численных значений, расположенных в столбец. Вектор-строка содержит три численных элементов, размещенных в одну строку. В диагональной матрице числовые значения имеют лишь элементы главной диагонали, остальные равны нулю. Начинается диагональ с элемента в правом верхнем углу и заканчивается в последнем столбце последней строки. Диагональный тип может иметь лишь квадратная матрица. Подвид диагональной матрицы — единичная, все числовые значения которой равны единицам. В канонической матрице не все компоненты основной диагонали равны единице, число строк и столбцов может быть разное, но, как и в единичной матрице, элементы, расположенные не на основной диагонали, равны нулю. Матрица треугольного типа является квадратной. Матрица, элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется нижнетреугольной. В верхнетреугольной матрице числовые значения имеют элементы, расположенные на основной диагонали и под ней. Над диагональю элементы имеют нулевое значение.

Любую матрицу несложно привести к ступенчатой форме, используя следующие элементарные преобразования:
— перестановка двух строк (столбцов);
— умножение строки (столбца) на любое, кроме нуля, число;
— сложение строки (столбца) с другой (другим), умноженной (умноженным) на любое, произвольно взятое (кроме нуля) число.

Приводим матрицу к ступенчатому виду:
1. Выбираем элемент, отличный от нуля в 1-м столбце. Если выбранный элемент (ведущий) расположен не в 1-й строке, переставляем строку с ведущим элементом на первую (ведущую) строку. Если элементы 1-го столбца равны нулю, исключаем его и переходим к следующему.
2. Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент. Преобразования закончены при условии, что ведущая строка последняя.
3. К строке, расположенной под ведущей, добавляем ведущую, предварительно умноженную на число, чтобы элементы стоящей ниже строки стали равняться нулю.
4. Исключаем строку и столбец с ведущим элементом на пересечении.
Повторяем те же действия с оставшейся частью матрицы.

Привести матрицу к ступенчатому виду вам поможет онлайн калькулятор. Выберите размерность и введите значение ее элементов.

Приведение матрицы к треугольному (ступенчатому) виду методом Гаусса

Для приведения матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, выберите нужные размеры исходной матрицы и заполните её элементы.

Другие онлайн калькуляторы

Описание онлайн калькулятора

С помощью данного онлайн калькулятора Вы сможете привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду или проверить правильность своего решения.

Треугольная матрица — матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю.

Описание работы онлайн калькулятора

• Минимальный размер матрицы 2х2;
• Максимальный размер матрицы 10х10;
• В поля ввода значений элементов матриц, можно вводить следующие типы чисел:
  • Натуральные (0; 3; 9);
  • Отрицательные (-43);
  • Десятичные (1,5 или 1.5);
  • Дробные (2/3).

  Свои вопросы по работе данного онлайн калькулятора, Вы всегда можете задать в комментариях.

  Приведение матрицы к треугольному виду

  Приведение матрицы к треугольному виду методом Гаусса и методом Барейса.

  Ниже два калькулятора для приведения матриц к треугольному, или ступенчатому, виду. Первый использует для этого метод Гаусса, второй — метод Барейса. Описание методов и немного теории — под калькуляторами.

  Приведение матрицы к треугольному виду (метод Гаусса)

  Приведение матрицы к треугольному виду (метод Барейса)

  Итак, для начала определимся с понятием треугольной, или ступенчатой матрицы:
  Матрица имеет ступенчатый вид, если:

  1. Все нулевые строки матрицы стоят последними
  2. Первый ненулевой элемент строки всегда находится строго правее первого ненулевого элемента предыдущей строки
  3. Все элементы столбца под первым ненулевым элементом строки равны нулю (это впрочем следует из первых двух пунктов)

  Понятие треугольной матрицы более узкое, оно используется только для квадратных матриц (хотя я думаю, что это не строго), и формулируется проще: треугольная матрица — квадратная матрица, в которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю. Строго говоря, это даже определение верхнетреугольной матрицы, но мы будем использовать его. Понятно, что такая верхнетреугольная матрица является также и ступенчатой.

  Чем же так интересны ступенчатые (и треугольные) матрицы, что к ним надо приводить все остальные? — спросите вы.
  У них есть замечательной свойство, а именно, любую прямоугольную матрицу можно с помощью элементарных преобразований привести к ступенчатой форме.

  Что же такое элементарные преобразования? — спросите вы.
  Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие операции:

  1. перестановка любых двух строк (столбцов) матрицы
  2. умножение любой строки (столбца) на призвольное, отличное от нуля, число
  3. сложение любой строки (столбца) с другой строкой (столбцом), умноженной (умноженным) на произвольное, отличное от нуля, число.

  И что? — спросите вы.
  А то, что элементарные преобразования матрицы сохраняют эквивалентность матриц. А если вспомнить, что системы линейных алгебраический уравнений (СЛАУ) записывают как раз в матричной форме, то это означает, что элементарные преобразования матрицы не изменяют множество решений системы линейных алгебраических уравнений, которую представляет эта матрица.

  Чтобы было понятно, используем треугольную матрицу выше и перепишем систему уравнений в более привычной форме (столбец B я придумал сам):

  Понятно, что сначала мы найдем , потом, подставив его в предыдущее уравнение, найдем и так далее — двигаясь от последнего уравнения к первому. Это и есть обратный ход.

  Алгоритм приведения матрицы к ступенчатой форме с помощью элементарных преобразований называют методом Гаусса. Метод Гаусса — классический метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Также его еще называют Гауссовым исключением, так как это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к эквивалентной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

  Теперь про сам метод.
  Собственно, как можно занулить переменную во втором уравнении? Вычтя из него первое, домноженное на коэффициент
  Поясним на примере:

  Зануляем во втором уравнении:

  Во втором уравнении больше не содержится

  Обобщенно алгоритм метода Гаусса можно представить следующим образом:

  где N — число строк,
  — i-тая строка,
  — элемент, находящийся в i-той строке, j-том столбце

  И все бы ничего, да и метод отличный, но. Дело все в делении на , присутствующем в формуле. Во-первых, если диагональный элемент будет равен нулю, то метод работать не будет. Во-вторых, в процессе вычисления будет накапливаться погрешность, и чем дальше, тем больше. Результат будет отличаться от точного.

  Для уменьшения погрешности используют модификации метода Гаусса, которые основаны на том, что погрешность тем меньше, чем больше знаменатель дроби. Эти модификации — метод Гаусса с выбором максимума в столбце и метод Гаусса с выбором максимума по всей матрице. Как следует из названия, перед каждым шагом исключения переменной по столбцу (всей матрице) ищется элемент с максимальным значением и проводится перестановка строк (строк и столбцов), таким образом, чтобы он оказался на месте .

  Но есть еще более радикальная модификация метода Гаусса, которая называется методом Барейса (Bareiss).
  Как можно избавиться от деления? Например, умножив перед вычитанием строку на . Тогда вычитать надо будет строку , домноженную только на , без всякого деления.
  .
  Уже хорошо, но возникает проблема с ростом значений элементов матрицы в ходе вычисления.

  Барейс предложил делить выражение выше на и показал, что если исходные элементы матрицы — целые числа, то результатом вычисления такого выражения тоже будет целое число. При этом принимается, что для нулевой строки .

  Кстати, то, что в случае целочисленных элементов исходной матрицы алгоритм Барейса приводит к треугольной матрице с целочисленными элементами, то есть без накопления погрешности вычислений — довольно важное свойство с точки зрения машинной арифметики.

  Алгоритм Барейса можно представить следующим образом:

  Алгоритм, аналогично методу Гаусса, также можно улучшить поиском максимума по столбцу(всей матрице) и перестановкой соответствующих строк (строк и столбцов).

  Матрица — математический объект, представленный в форме квадратной или прямоугольной таблицы, содержащей определенное число строк и столбцов, именуемых порядками. Матрицы могут различаться размерами и содержанием. Матрицы позволяют упорядочить записи систем линейных уравнений, что ведет к удобному поиску их результатов. Работа с матрицами предполагает приведение их к стандартному виду.
  В математике множество разнообразных видов матриц. Все элементы нулевой матрицы равны нулю, а число строк и столбцов может быть совершенно разным.
  Матрица квадратного типа имеет одинаковое количество строк и столбцов. Матрица простейшего вида вектор-столбец имеет три численных значений, расположенных в столбец. Вектор-строка содержит три численных элементов, размещенных в одну строку. В диагональной матрице числовые значения имеют лишь элементы главной диагонали, остальные равны нулю. Начинается диагональ с элемента в правом верхнем углу и заканчивается в последнем столбце последней строки. Диагональный тип может иметь лишь квадратная матрица. Подвид диагональной матрицы — единичная, все числовые значения которой равны единицам. В канонической матрице не все компоненты основной диагонали равны единице, число строк и столбцов может быть разное, но, как и в единичной матрице, элементы, расположенные не на основной диагонали, равны нулю. Матрица треугольного типа является квадратной. Матрица, элементы которой, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, называется нижнетреугольной. В верхнетреугольной матрице числовые значения имеют элементы, расположенные на основной диагонали и под ней. Над диагональю элементы имеют нулевое значение.

  Любую матрицу несложно привести к ступенчатой форме, используя следующие элементарные преобразования:
  — перестановка двух строк (столбцов);
  — умножение строки (столбца) на любое, кроме нуля, число;
  — сложение строки (столбца) с другой (другим), умноженной (умноженным) на любое, произвольно взятое (кроме нуля) число.

  Приводим матрицу к ступенчатому виду:
  1. Выбираем элемент, отличный от нуля в 1-м столбце. Если выбранный элемент (ведущий) расположен не в 1-й строке, переставляем строку с ведущим элементом на первую (ведущую) строку. Если элементы 1-го столбца равны нулю, исключаем его и переходим к следующему.
  2. Делим элементы ведущей строки на ведущий элемент. Преобразования закончены при условии, что ведущая строка последняя.
  3. К строке, расположенной под ведущей, добавляем ведущую, предварительно умноженную на число, чтобы элементы стоящей ниже строки стали равняться нулю.
  4. Исключаем строку и столбец с ведущим элементом на пересечении.
  Повторяем те же действия с оставшейся частью матрицы.

  Привести матрицу к ступенчатому виду вам поможет онлайн калькулятор. Выберите размерность и введите значение ее элементов.
  

  Данная статья является первой частью серии статей под названием "Решение матриц". Каждая часть сопровождается теорией, примерами и подробным описанием.

  Если Вам нужно привести матрицу к треугольному (ступенчатому) виду, воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором.

  Содержание:

  Введение

  Эту задачу приходится решать очень часто, так как она используется во многих операциях над матрицами (решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), вычисление определителя матрицы).

  Что бы привести матрицу к треугольному виду, нужно воспользоваться методом Гаусса, который является простым в использовании и позволяет быстро прийти к конечному результату. Метод заключается в том чтобы исходную матрицу, путём элементарных преобразований привести к треугольному (ступенчатому) виду.

  Описание алгоритма

  Для приведения матрицы к треугольному виду, необходимо обнулить все элементы стоящие ниже главной диагонали.

  Пусть дана матрица

  Первым действием обнуляем первые элементы 2,3. n строки, для этого вычтем из этих строк первую строку умноженную на соответственно,

  Теперь вычтем из 3,4. n строки вторую строку умноженную на , этим действием обнуляем вторые элементы этих строк, соответственно, получаем

  где b_ij элементы получившиеся в результате этих преобразований. И так далее, пока не получим вид ,

  где b_ij это элементы получившиеся в результате элементарных преобразований, это и есть матрица треугольного вида.

  Пример приведения матрицы к треугольному виду

  Заключение

  Если Вам не понятен какой-либо шаг или у Вас есть вопросы по приведению матрицы к треугольному (ступенчатому) виду, вы всегда можете оставить свой комментарий ниже или решить её воспользовавшись нашим онлайн калькулятором.

  В данной публикации мы рассмотрим определение ранга матрицы, а также методы, с помощью которых его можно найти. Также разберем примеры для демонстрации применения теории на практике.

  Определение ранга матрицы

  Ранг матрицы – ранг ее системы строк или столбцов. В любой матрице есть ее строчный и столбцовый ранги, которые равны между собой.

  Ранг системы строк – это максимальное количество линейно-независимых строк. Аналогичным образом определяется ранг системы столбцов.

  Примечания:

  Ранг нулевой матрицы (обозначается символом “θ“) любого размера равняется нулю.

  Нахождение ранга матрицы

  Метод окаймляющих миноров

  Ранг матрицы равняется максимальному порядку ненулевого минора.

  Алгоритм следующий: находим миноры от низших порядков к высоким. Если минор n -го порядка не равняется нулю, а все последующие ( n+1 ) равны 0, значит ранг матрицы равен n .

  Пример
  Чтобы было понятнее, давайте разберем практический пример и найдем ранг матрицы A ниже, пользуясь методом окаймляющих миноров.

  Решение
  Мы имеем дело с матрицей 4×4, следовательно, ее ранг не может быть выше 4. Также в матрице присутствуют ненулевые элементы, значит, ее ранг не меньше единицы. Итак, приступим:

  1. Начинаем проверять миноры второго порядка. Для начала берем две строки первого и второго столбцов.

  Минор равняется нулю.

  
  

  Следовательно переходим к следующему минору (первый столбец остается, а вместо второго берем третий).

  Минор равен 54≠0, следовательно ранг матрицы не меньше двух.

  
  

  Примечание: Если бы и этот минор оказался равным нулю, мы бы дальше проверили следующие комбинации:

  Если требуется, перебор можно аналогичным образом продолжить со строками:

  Если бы все миноры второго порядка оказались равными нулю, то ранг матрицы равнялся бы одному.

  2. Нам удалось почти сразу найти минор, который нам подходит. Поэтому переходим к минорам третьего порядка.

  К найденному минору второго порядка, который дал отличный от нуля результат, добавляем одну строку и один из столбцов, выделенных зеленым цветом (начнем со второго).

  Минор оказался равным нулю.

  
  

  Следовательно меняем второй столбец на четвертый. И со второй попытки нам удается найти минор, не равный нулю, значит ранг матрицы не может быть меньше 3.

  
  

  Примечание: если бы результат снова оказался равным нулю, вместо второй строки мы бы дальше взяли четвертую и продолжили бы поиски “хорошего” минора.

  3. Теперь остается определить миноры четвертого порядка с учетом найденного ранее. В данном случае он один, который совпадает с определителем матрицы.

  Минор равняется 144≠0. А это значит, что ранг матрицы A равняется 4.

  
  

  Приведение матрицы к ступенчатому виду

  Ранг ступенчатой матрицы равняется количеству её ненулевых строк. То есть все, что нам нужно сделать – это привести матрицу к соответствующему виду, например, с помощью элементарных преобразований, которые, как мы уже упомянули выше, не меняют ее ранг.

  Пример
  Найдем ранг матрицы B ниже. Мы не берем слишком сложный пример, т.к. наша основная цель – это просто продемонстрировать применение метода на практике.

  Решение
  1. Сначала вычтем из второй строки удвоенную первую.

  
  

  2. Теперь отнимем из третьей строки первую, умноженную на четыре.

  
  

  Таким образом, мы получили ступенчатую матрицу, в которой количество ненулевых строк равняется двум, следовательно ее ранг, также, равен 2.

  Читайте также:

    
  • Как сделать сгибание и разгибание рук
    
  • Как сделать подогрев руля на рав 4
    
  • Как сделать рамку в ворде
    
  • Как сделать патчи в домашних условиях из желатина
    
  • Как сделать фреш из дыни