Как сделать степень одночлена

Обновлено: 07.07.2024

Одночлен – одно из основополагающих понятий в алгебре. Данный урок поможет вам разобраться с его определением, а также со стандартным видом одночлена, степенью и коэффициентом.

Что такое одночлен

Оказывается, любые числа (положительные или отрицательные), любые переменные или их степени – это одночлены, к примеру: $8$ или $-92$ или $d^7$. И даже любые дроби $\frac$ или $0,3$ являются одночленами.

При этом переменные могут быть представлены любыми буквами ($z$, $m$, $j$, $v$, $a$ и т. п.). Любые числа без переменных (натуральные, дробные или целые, рациональные, действительные, в степени) называют одночленом без переменной.

Также выражения, представляющие собой произведение различных множителей, называют одночленами, например: $$2\times n^2$$

$$a\times 3\times 2x$$

$$-5,5y^\times 84b\times 302$$ То есть, в одночлен могут входить как несколько множителей, так и одно число или переменная.

Таким образом, запомним определение:

Числа, переменные, их степени с натуральным показателем, а также различные виды произведений, составленные из этих переменных, чисел и степеней, называют одночленами.

Какие же выражения не относятся к одночленам? Приведем примеры: $$s+f$$

$$\frac$$ Иными словами, выражения, содержащие сумму, разность или переменную в знаменателе дроби, одночленами являться не будут.

Стандартный вид одночлена

Для удобства математических вычислений одночлен принято приводить к стандартному виду. Разберемся, что это значит.

Стандартный вид одночлена подразумевает его запись с соблюдением нескольких правил:

  1. Если в выражении среди других множителей есть одночлен без переменной (числовой множитель), то он всегда записывается первым. Это число называют коэффициентом одночлена. Стандартным видом одночлена $c^4\times 74$, к примеру, будет $74$, а $74$ – его коэффициент.
  1. Если в одночлене несколько числовых множителей без переменных, то впереди записывают их произведение. Полученное число также будет являться коэффициентом. Например, приведем к стандартному виду одночлен $21\times k^3\times 4$. Умножим $21$ на $4$ и запишем получившийся коэффициент первым: $$84k^3$$
  1. В случае, если среди множителей есть несколько степеней с одинаковой переменной, то также вычисляют их произведение, например: $$c\times c^4\times s^2\times c^3$$ Стандартный вид: $$c^8\times s^2$$ То есть мы сложили все показатели натуральных степеней переменной $c$.
  2. Таким же образом необходимо перемножить все степени с другими буквенными основаниями. В конечном итоге необходимо расположить получившиеся степени переменных в алфавитном порядке. Например, выражение $6f\times 7d\times \times 3f^3$ запишем в стандартном виде и получим: $$126$$

Коэффициент

Коэффициентом одночлена называют числовой множитель одночлена, который записан в стандартном виде.

В случаях, когда коэффициент в результате вычислений оказался равен $1$, он обычно не записывается, но подразумевают, что он есть. Если коэффициент получился равным $-1$, то в стандартном виде минус без единицы записывают в самом начале.

Заметим, что после тождественных преобразований можно привести к стандартному виду абсолютно любой одночлен.

Пример

Запишем в стандартном виде выражение: $\frac \times >\times m^\times c^\times 0,25\times $.

При умножении числовых множителей сначала преобразуем десятичную дробь $0,25$ в простую и получим $\frac $. Тогда стандартный вид этого одночлена будет: $$\frac \times c^\times >\times m^$$

Степень одночлена

Вместе с понятием одночлена изучают его степень, которая представляет собой сумму показателей всех степеней входящих в него переменных. То есть, если необходимо будет, например, посчитать степень одночлена $5h^3\times f^\times 3v$, мы получим: $$3+18+1=22$$ В данном случае, степень переменной $v$ равна единице.

Таким образом, запомним:

Степенью одночлена, записанного в стандартном виде, будет сумма показателей степеней всех переменных, которые в него входят.

Если же в одночлене переменных нет, то его степень будет равна $0$. При этом сам он должен быть отличным от нуля. К примеру, степень одночлена $57$ равна $0$. Если одночлен равен $0$, то его называют одночленом с неопределенной степенью.

Что такое одночлены в математике? Зачем они нужны? Мы рассмотрим с вами определение одночлена, стандартный вид одночлена и дадим определение степени одночлена.

Определение

Одночлен — это выражение, которой представляет собой произведение числа, переменной или переменных и степеней переменных. Например, , , , — примеры одночленов.

Выражения или — не являются одночленами, так как представляют сумму и частное, а не произведение.

Стандартный вид одночлена

Стандартный вид одночлена — это произведение числа и переменных в различной степени. Согласно этому число можно считать одночленом, так как оно может быть представлено в виде произведения числа на переменную в нулевой степени: . Например, — одночлен стандартного вида.

Примеры стандартного вида одночлена:

, , , , , .

Степень одночлена

Степенью одночлена называется сумма показателей степеней переменных. Например, одночлен — это одночлен второй степени, а — одночлен седьмой степени.

Степень одночлена — равна единица, а степень одночлена — нулю.

Подобные одночлены

Подобными одночленами называют одночлены, которые отличаются только числовым коэффициентом, а также те одночлены, которые равны между собой.

Примеры подобных одночленов: и , и , и .

Приведение к одночлену стандартного вида

Задание 1

Приведите к одночлену стандартного вида произведение .

Решение : перемножим сначала числа , теперь переменные x =x^7" width="201" height="17" />
, теперь переменные : =y^3" width="145" height="21" />
.

Стандартный вид многочлена:

Ответ : .

Задание 2

Приведите к одночлену стандартного вида выражение .

Решение : Перемножим числовые коэффициенты выражения , затем перемножим степени переменной x . Получим стандартный вид одночлена:

Ответ : .

Задание 3

Приведите сумму подобных одночленов к одночлену стандартного вида:

Решение: Просто сложим все одночлены, ориентируясь на числовую часть: , а переменные просто припишем, получаем стандартный вид одночлена: .

Ответ :

Возведите одночлен в степень

Задание 1

Возведите одночлен в квадрат.

Решение : .

Ответ :

Задание 2

Возведите одночлен в куб.

Решение : .

Ответ :

Задание 3

Какова степень одночлена .

Для того чтобы определить степень одночлена, нужно:

  • представить одночлен в стандартном виде,
  • сложить показатели степеней переменных одночлена.

Сначала надо представить одночлен в стандартном виде, для этого выполним возведение в степень: , посчитаем сумму показателей степеней , получается степень одночлена 10.

В результате умножения одночленов получается одночлен.

Например: $ (\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 )$

Шаг 1. Коэффициент многочлена $ \frac \cdot 3 = 2 $

Шаг 2. Степени переменных: $ a^ = a^3, b^ = b^6 $

Получаем: $(\frac a^2 b) \cdot (3ab^5 ) = \frac \cdot 3\cdot a^ \cdot b^ = 2a^3 b^6$

Алгоритм возведения одночлена в степень

Возвести в степень каждый множитель одночлена и перемножить полученные результаты.

В результате возведения одночлена в степень получается одночлен.

Например: $ (\frac a^2 b^5)^3 $

Степень каждого сомножителя: $ \left(-\frac\right)^3 = \frac = \frac, (a^2 )^3 = a^6,(b^5 )^3 = b^15 $

Получаем: $ (\frac a^2 b^5)^3 = \left(-\frac\right)^3 \cdot (a^2 )^3 \cdot (b^5 )^3 = \frac a^6 b^ $

Примеры

Пример 1. Выполните умножение одночленов:

а) $ (-3a^2 xy^5 )\cdot( \frac ax^4 y^2 ) = -3 \cdot \frac \cdot a^ \cdot x^ \cdot y^ = -\frac a^3 x^5 y^7 $

б) $ (7az)\cdot(- \frac a^2 xy) \cdot (16xz^4 ) = -7\cdot \frac \cdot 16 \cdot a^\cdot x^\cdot z^ = -28a^3 x^2 z^5 $

Пример 2. Найдите куб одночленов:

а) $ (3a^5 by^2 )^3 = 3^3\cdot(a^5 )^3\cdot b^3\cdot(y^2 )^3 = 27a^ b^3 y^6 $

б) $ \left(-\fracxy^2 z^7\right)^3 = \left(-\frac\right)^3\cdot x^3\cdot(y^2 )^3\cdot(z^7 )^3 = -\frac x^3 y^6 z^ $

Пример 3. Упростите выражение:

а) $ 3x^5 \cdot \left(\fracx^2 y^3\right)^2 \cdot (-64y)=- \frac \cdot x^ \cdot y^ = -\frac x^9 y^7 = -8x^9 y^7 $

б) $ (-2ab)^3\cdot \underbrace_> a^2 c = -2^3\cdot \frac \cdot a^ b^3 c = -a^5 b^3 c $

в) $ \left(1\fracbz^7\right)^5 \cdot \left(-\fracaz\right)^4 = \left(\frac\right)^5 \cdot \left(-\frac\right)^4 \cdot a^4 b^5 z^ = \frac a^4 b^5 z^ $

г) $ (-0,5m^2 n^5 )^2 \cdot 12mn^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot 12 \cdot m^ \cdot n^ = 3m^5 n^ $

Пример 4*. При каком значении n верно равенство:

а) $ \left(\fracxy\right)^n \cdot 72x = 2x^3 y^2 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ \left(\fracxy\right)^2 \cdot 72x = \left(\frac\right)^2 \cdot 72 \cdot x^ \cdot y^2 = 2x^3 y^2 $$

б) $ (-1 \frac a^2 b)^n \cdot 0,75b^3 = 1 \frac a^4 b^5 $

Запишем уравнения для коэффициентов и степеней переменных слева и справа:

Получаем n = 2. Проверяем:

$$ \left(-1\fraca^2b\right)^2 \cdot 0,75b^3 = \left(-\frac\right)^2 \cdot \left(\frac\right) \cdot a^4 \cdot b^ = \fraca^4b^5 = 1\fraca^4b^5 $$

Одночлены можно возводить в степень. При возведении одночлена в степень используется правило возведения степени в степень. При этом получается одночлен, который обычно представляют в стандартном виде.

Чтобы возвести в степень одночлен, нужно возвести в эту степень каждый множитель одночлена и полученные степени перемножить.

Комментариев нет:

Уроки математики и физики (RU + UA)

  • I. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДРОБИ (RU + UA + EN)
  • II. ПРОПОРЦИИ ПРОЦЕНТЫ МАСШТАБ (RU + UA)
  • III. РАЦИОНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА (RU + UA)
  • IV. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ (RU + UA)
  • V. КОРНИ (RU + UA)
  • VI. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ (RU + UA + EN)
  • VII. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ (RU + UA)
  • VIII. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ
  • IX. НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
  • X. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (RU + UA)
  • XI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА (RU + UA)
  • XII. ПЛАНИМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
  • XIII. ПЛАНИМЕТРИЯ (площади фигур) (RU + UA)
  • XIV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (1) (RU + UA)
  • XV. СТЕРЕОМЕТРИЯ (2) (RU + UA)
  • XVI. КОМБИНАТОРИКА (RU + UA)
  • XVII. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ (RU + UA)
  • XVIII. ВЕКТОРЫ (RU + UA)
  • XIX. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКИ (RU + UA)
  • XX. ЭЛЕМЕНТЫ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ (RU + UA)
  • КИНЕМАТИКА
  • ДИНАМИКА
  • WATCH YOUR MONEY!

О сайте

На сайте размещена минимальная информация по математике, позволяющая сдать тесты любому ученику с положительной отметкой, если конечно он решит все предложенные уроки.
Также данный сайт поможет ученику, начинающему изучать математику и бабушкам, которые захотят помочь своим внукам в изучении математики.

Каждый урок содержит краткие сведения по теоретической части и три практических задания по 12 примеров или задач в каждом задании. При желании Вы можете написать ответы заданий для проверки в комментариях. Сайт находится в постоянной доработке. Возможны методические и математические ошибки.

Читайте также: