Как сделать сравнение чисел
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 05.10.2024
Что значит сравнить числа? Это значит узнать какое число меньше или больше другого. Есть еще две формы сравнения - кратное и разностное сравнение , но это потом. Для нас важно обычное сравнение чисел.
Давайте попробуем сделать Сравнение чисел до 10. Это очень легко например: 23 и 56, 37 и 98, 90 и 98.На первый взгляд все легко. Но что если сравнить вот эти числа:
177364 и 774857, 887375 и 975858, 7475638 и 7474665. Спорим ты не сравнишь их так быстро как предыдущие числа.Но есть один способ как быстро сравнивать такие большие числа как: 4563873586 и 4748575657. Представим что одноименные разряды соревнуются - еденицы с еденицами, десятки с десятками, сотни с сотнями и т. д.
у чисел 2566 и 2758 в старшем разряде тысяч числа одинаковые тогда мы смотрим на следующее число. У разряда сотен в числе 2566 равно 5 а в числе 2758 в разряде сотен будет 7 тем самым мы узнаем что число 2566 меньше числа 2758 потому, что 5 меньше 7. Точно так же мы делаем и с десятками, и с единицами. Числа с одинаковым количеством цифр сравнивают поразрядно, начиная со старшего разряда. Теперь ты сможешь с легкостью сравнить эти большие числа. Результат сравнения чисел записываю с помощью 3 знаков: > (больше), 858465. Но бывают случаи как 22224 и 222224 в этих случаях больше то число в котором больше цифр. В данном случае больше число 222224 потому , что в этом числе 6 цифр а в числе 22224 всего 4 цифры.
Теперь что такое кратное сравнение . это тоже самое сравнение, только здесь мы делим числа друг на друга и узнаем во сколько раз одно число меньше или больше другого. Например: 28 и 3 - 28 : 3 =7 (р.). Почему р. потому, что раз- во сколько раз и поэтому мы обязательно пишем р. или раз.
Теперь разностное сравнение. Это тоже самое что и кратное, только вместо деления у нас вычитание . например 476 и 333 - 476кг.-333кг.=143(кг.).
Еще есть сравнения дробей . Например:2/33>24\33 ( если эти числа от одного чила например числа 7364)
Расположение точек на числовой оси позволяет наглядно сравнивать между собой числа.
Напомним, что если координатная прямая изображена горизонтально, то положительные числа изображаются точками правее 0 , а отрицательные — левее 0 . В этом случае, если положительные числа отметить точками на этой прямой, то большему из двух чисел будет соответствовать точка, расположенная на числовой оси правее, а меньшему — точка, расположенная на координатной прямой левее.
Запомните!
Из двух чисел на координатной прямой больше то, которое расположено правее, а меньше то, которое расположено левее.
Это означает, что при сравнении рациональных чисел:
- любое положительное число больше нуля и больше любого отрицательного числа;
- любое отрицательное число меньше нуля и меньше любого положительного числа.
Сравнивать рациональные числа удобно с помощью понятия модуля.
Большее из двух положительных чисел изображается точкой, расположенной на координатной прямой правее, то есть дальше от начала отсчёта. Значит, это число имеет больший модуль.
Запомните!
Из двух положительных чисел больше то, чей модуль больше.
При сравнении двух отрицательных чисел большее будет расположено правее, то есть ближе к началу отсчёта. Значит, его модуль (длина отрезка от нуля до числа) будет меньше.
Запомните!
Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Число 1 – наименьшее натуральное число, так как с него начинается ряд натуральных чисел.
Число – 1 есть наибольшее отрицательное целое число, так как оно самое правое в ряду отрицательных чисел.
Модулем положительного числа называют само это число.
Модулем отрицательного числа называют противоположное ему (положительное) число.
Основная литература
- Никольский С. М. Математика. 6 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н.Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.
Дополнительная литература
- Чулков П. В. Математика: тематические тесты. 5-6 кл. // П. В. Чулков, Е.Ф. Шершнёв, О.Ф. Зарапина. — М.: Просвещение, 2009. — 142 с.
- Шарыгин И.Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И.Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин. — М.: Просвещение, 2014. — 95 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Любое положительное число больше 0.
Любое отрицательное число меньше 0.
Любое положительное число больше любого отрицательного.
Используя эти следствия из правила сравнения целых чисел, можно сравнивать целые числа.
Отрицательные числа удобно сравнивать с помощью их модулей. Так как в ряду целых чисел отрицательное число с большим модулем стоит левее, то из двух отрицательных чисел больше то, у которого модуль меньше.
Например, так как
Существует ли наибольшее натуральное число? –
Наибольшего натурального числа не существует. Ряд натуральных чисел продолжается неограниченно вправо.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, …
Существует ли наименьшее натуральное число? –
Число 1 наименьшее натуральное число, так как с него начинается ряд натуральных чисел.
Существует ли наибольшее отрицательное целое число? –
Число – 1 есть наибольшее отрицательное целое число, так как оно самое правое в ряду отрицательных чисел.
…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …
Существует ли наименьшее отрицательное целое число? –
Наименьшего отрицательного целого числа не существует. Ряд целых чисел продолжается неограниченно влево.
…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …
Существует ли наибольшее и наименьшее целое число? – Нет. Ряд целых чисел можно неограниченно продолжать вправо или влево.
…– 6, – 5, – 4, – 3, – 2, – 1, 0, + 1, + 2, + 3, + 4, + 5, + 6, …
Разбор заданий тренировочного модуля
Тип 1. Восстановление горизонтальной последовательности.
Расставьте числа в порядке возрастания:
900, – 900, 0, 768, 654
Для решения сравним числа между собой и запишем их в порядке от меньшего к большему.
Определение
При сравнении чисел в математике, большим является то,
которое на координатной прямой находится правее.
Соответственно меньшее то, которое левее.
Сравнение целых чисел в пределах 10
Пример
| - 5 - 4; | 6 > - 5; | - 4 - 5. |
Сравнение двузначных чисел на координатной прямой
Пример
Продолжаем изучать рациональные числа. В данном уроке мы научимся сравнивать их.
Из предыдущих уроков мы узнали, что чем правее число располагается на координатной прямой, тем оно больше. И соответственно, чем левее располагается число на координатной прямой, тем оно меньше.
Например, если сравнивать числа 4 и 1, то можно сразу ответить, что 4 больше чем 1. Это вполне логичное утверждение и каждый с этим согласится.
В качестве доказательства можно привести координатную прямую. На ней видно, что четвёрка лежит правее единицы
Для этого случая есть и правило, которое при желании можно использовать. Выглядит оно следующим образом:
Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Чтобы ответить на вопрос какое число больше, а какое меньше, сначала нужно найти модули этих чисел, сравнить эти модули, а потом уже ответить на вопрос.
Например, сравним те же числа 4 и 1, применяя вышеприведенное правило
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Для отрицательных чисел существует другое правило, выглядит оно следующим образом:
Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Например, сравним числа −3 и −1
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Отвечаем на вопрос:
Нельзя путать модуль числа с самим числом. Частая ошибка многих новичков. К примеру, если модуль числа −3 больше, чем модуль числа −1, это не означает, что число −3 больше, чем число −1.
Число −3 меньше, чем число −1 . Это можно понять, если воспользоваться координатной прямой
Видно, что число −3 лежит левее, чем −1 . А мы знаем, что чем левее, тем меньше.
Если сравнивать отрицательное число с положительным, то ответ будет напрашиваться сам. Любое отрицательное число будет меньше любого положительного числа. Например, −4 меньше, чем 2
Мы рассмотрели в качестве примера целые числа, вида −4, −3 −1, 2. Сравнить такие числа, а также изобразить на координатной прямой не составляет особого труда.
Намного сложнее сравнивать другие виды чисел, такие как обыкновенные дроби, смешанные числа и десятичные дроби, некоторые из которых являются отрицательными. Здесь уже в основном придётся применять правила, потому что точно изобразить такие числа на координатной прямой не всегда возможно. В некоторых случаях, число надо будет видоизменять, чтобы сделать его более простым для сравнения и восприятия.
Пример 1. Сравнить рациональные числа
Итак, требуется сравнить отрицательное число с положительным. Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем, что меньше, чем
Пример 2. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 3. Сравнить числа 2,35 и
Требуется сравнить положительное число с отрицательным. Любое положительное число больше любого отрицательного числа. Поэтому не теряя времени отвечаем что 2,35 больше, чем
2,35 >
Пример 4. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём в неправильные дроби и приведём к общему знаменателю
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Пример 5. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с отрицательным числом. Ноль больше любого отрицательного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 больше, чем
Пример 6. Сравнить рациональные числа 0 и
Требуется сравнить ноль с положительным числом. Ноль меньше любого положительного числа, поэтому не теряя времени отвечаем, что 0 меньше, чем
Пример 7. Сравнить рациональные числа 4,53 и 4,403
Требуется сравнить два положительных числа. Из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше.
Сделаем в обеих дробях количество цифр после запятой одинаковым. Для этого в дроби 4,53 припишем в конце один ноль
Далее применим правило сравнения положительных чисел.
Находим модули чисел
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число 4,53 больше, чем 4,403 потому что модуль числа 4,53 больше, чем модуль числа 4,403
Пример 8. Сравнить рациональные числа и
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше.
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно переведём смешанное число в неправильную дробь, затем приведём обе дроби к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное больше, чем , потому что модуль числа меньше, чем модуль числа
Сравнивать десятичные дроби намного проще, чем обыкновенные дроби и смешанные числа. В некоторых случаях, посмотрев на целую часть такой дроби, можно сразу ответить на вопрос какая дробь больше, а какая меньше.
Чтобы сделать это, нужно сравнить модули целых частей. Это позволит быстро ответить на вопрос в задаче. Ведь как известно, целые части в десятичных дробях имеют вес больший, чем дробные.
Пример 9. Сравнить рациональные числа 15,4 и 2,1256
Модуль целой части дроби 15,4 больше, чем модуль целой части дроби 2,1256
поэтому и дробь 15,4 больше, чем дробь 2,1256
Другими словами, нам не пришлось тратить время на дописывание нулей дроби 15,4 и сравнивать получившиеся дроби, как обычные числа
Правила сравнения остаются всё теми же. В нашем случае мы сравнивали положительные числа.
Пример 10. Сравнить рациональные числа −15,2 и −0,152
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей
Видим, что модуль целой части дроби −15,2 больше, чем модуль целой части дроби −0,152.
А значит рациональное −0,152 больше, чем −15,2 потому что модуль целой части числа −0,152 меньше, чем модуль целой части числа −15,2
Пример 11. Сравнить рациональные числа −3,4 и −3,7
Требуется сравнить два отрицательных числа. Из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Но мы сравним только модули целых частей. Но проблема в том, что модули целых чисел равны:
В этом случае придётся пользоваться старым методом: найти модули рациональных чисел и сравнить эти модули
Сравниваем найденные модули:
Согласно правилу, из двух отрицательных чисел больше то число, модуль которого меньше. Значит рациональное −3,4 больше, чем −3,7 потому что модуль числа −3,4 меньше, чем модуль числа −3,7
Пример 12. Сравнить рациональные числа 0,(3) и
Требуется сравнить два положительных числа. Причем сравнить периодическую дробь с простой дробью.
Переведём периодическую дробь 0,(3) в обыкновенную дробь и сравним её с дробью . После перевода периодической дроби 0,(3) в обыкновенную, она обращается в дробь
Находим модули чисел:
Сравниваем найденные модули. Но сначала приведём их к понятному виду, чтобы проще было сравнить, а именно приведём к общему знаменателю:
Согласно правилу, из двух положительных чисел больше то число, модуль которого больше. Значит рациональное число больше, чем 0,(3) потому что модуль числа больше, чем модуль числа 0,(3)
Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках
Возникло желание поддержать проект?
Используй кнопку ниже
Читайте также: