Как сделать сложное выражение

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 05.10.2024

Используя все данные выражения, восстанови сложное выражение. Запиши его.

Дети находят значения выражений, записывая равенства в столбик.

Найдя значения выражений, дети замечают повторы чисел в выражениях и значениях (выделяют их цветными карандашами или ручками). Далее выстраивают цепочку, отталкиваясь от выражения, значение которого не повторяется.

Составляем сложное выражение, поднимаясь снизу вверх :

(315 + 621) : 9 + 107· 6 = 746
Это выражение в котором используются скобки и знаки деления с умножен ищем!

Строго говоря, математика состоит из выражений. В этой статье разберем, что такое числовые и буквенные выражения и научимся выполнять различные арифметические действия.

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).

Числовые выражения: что это

Числовое выражение — это запись, которая состоит из чисел и знаков арифметического действия между ними.

Именно числовые выражения окружают нас повсюду — не только на уроках математики, но и в магазине, на кухне или когда мы считаем время. Простые примеры, в которых нужно вычислить разность, сумму, получить результат умножения или деления — это все числовые выражения.

Например:

23 + 5 = 28
5 - 2 = 3
52 * 3 = 156
28 : 7 = 4

Это простые числовые выражения.

Чтобы получить сложное числовое выражение, нужно к простому выражению присоединить знаком арифметического действия еще одно простое числовое выражение. Вот так:

(5 * 3) - (5 * 2) = 5
6 : (7 - 4) = 2
(45 + 45) : 9 = 10
11 * (5 * 5) = 275

Это сложные числовые выражения.

Число, которое мы получаем после выполнения всех арифметических действий в числовом выражении, называют значением этого выражения.

Вспомним, какие виды арифметических действий есть.
+ — знак сложения, найти сумму.
- — знак вычитания, найти разность.
* — знак умножения, найти произведение.
: — знак деления, найти частное.

При вычислении сложных числовых выражений нужно строго соблюдать очередность выполнения арифметических действий:

Сначала выполняется действие, записанное в скобках.
Затем выполняется деление/умножение.
В последнюю очередь выполняется сложение/вычитание.

Онлайн-курсы математики для детей помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Пример 1. Найдите значение числового выражения: 3 * (2 + 8) - 4

Пример 2. Найдите значение числового выражения: (6 + 7) * (13 + 2)

(6 + 7) * (13 + 2) = 195

Часто бывает нужно сравнить два числовых выражения.

Сравнить числовые выражения — значит найти значения каждого выражения и сравнить их.

Пример 1. Сравните два числовых выражения: 6 + 8 и 2 * 2

Пример 2. Сравните следующие числовые выражения:
5 * (12 - 2) - 7 и (115 + 9) - (7 - 3)

43 меньше 120
43

Буквенные выражения

Кажется, с числовыми выражениями все достаточно просто. Буквенные выражения немногим сложнее.

В буквенном выражение есть цифры, знаки арифметических действия и буквы.

Получается, что буквенное выражение — это числовое выражение, в котором есть не только числа, но и буквы.

Это буквенные выражения. Для записи буквенных выражений используют буквы латинского алфавита.

У буквенных выражений, как и у числовых, есть определенный алгоритм вычисления:

Сначала следует прочитать его полностью.
Затем оно записывается.
Третьим шагом идет подстановка значения неизвестного в выражение.
А затем производится вычисление, согласно очередности выполнения арифметических действий.

Пример 1. Найдите значение выражения: 5 + x.

Читаем: найдите сумму числа 5 и x.
Подставляем вместо неизвестного x число 4.
Вычисляем: 5 + 4 = 9.

Пример 2. Найдите значение выражения: (4 + a) * (2 + x).

Читаем: найдите произведение суммы числа 4 и а и суммы числа 2 и x.
Подставляем вместо неизвестного a число 2.
Вычисляем 4 + 2 = 6.
Подставляем вместо неизвестного x число 5.
Вычисляем 2 + 5 = 10.
Находим произведение 6 * 10 = 60.
Записываем результат: (4 + 2) * (2 + 5) = 60.

Выражения с переменными

Переменная — это значение буквы в буквенном выражении.

Например, в выражении x + a - 8
x — переменная
a — переменная

Если вместо переменных подставить числа, то буквенное выражение x + a - 8 станет числовым выражением. Вот так:

подставляем вместо переменной x число 5, а вместо переменной a — число 10, получаем 5 + 10 - 8.

Числа, которые подставляют вместо переменных — это значения переменных. В нашем примере это числа 5 и 10.

После подстановки значения переменных находим значение x + a - 8 = 5 + 10 - 8 = 7.

Часто можно встретить буквенные выражения, записанные следующим образом:
5x - 4a

Число и переменная записаны без знака арифметического действия. Так коротко записывается умножение.

5x — это произведение числа 5 и переменной x
4a — это произведение числа 4 и переменной a

Числа 4 и 5 называют коэффициентами.
Коэффициент показывает, во сколько раз будет увеличена переменная.

Теперь вы вооружены всеми необходимыми теоретическими знаниями о числовых и буквенных выражениях. Давайте немного поупражняемся в решении задачек и примеров, чтобы научиться применять полученные знания на практике.

Задание раз.

Сумма 6 и a.
Разность 8 и x.
Сумма x - 2 и 6
Разность 15 и x - y
Сумма 45 + 5 и 12 - 6

Задание два.

Составьте буквенное выражение:

Сумма разности b и 345 и суммы 180 и x.

Ответ: (b - 345) + (180 + x).

Задание три.
Составьте буквенное выражение:
Разность разности 30 и y и разности a и b.
Ответ: (30 - y) - (a - b).

Ответ: роллы “Калифорния” и “Филадельфия” вместе стоят 1 000 рублей.

Задание пять.
Составьте выражение для решения задачи и найдите его значение.
Маша посмотрела за день 150 видео в ТикТок, а Лена — на 13 видео больше. Сколько всего видео было просмотрено обеими девочками?

Маша — 150 видео.
Лена — 150 + 13 видео.
Маша + Лена = ? видео.

150 + (150 + 13)
Выполняем сначала действие в скобках: 150 + 13 = 163.
150 + 163 = 313.

Ответ: Маша и Лена посмотрели всего 313 видео.

Задание шесть.
Вычислите:
(500 + 300) : a - 15,
при условии, что a = 10.

Подставляем число 10 (значение переменной) вместо переменной
(500 + 300) : 10 - 15

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 500 + 300 = 800.
Затем выполняем деление 800 : 10 = 80.
Выполняем вычитание 80 - 15 = 65.

Ответ: (500 + 300) : 10 - 15 = 65.

Задание семь.
Вычислите:
(270 - 120) * (x - 10),
при условии, что x = 45.

Как решаем: подставляем число 45 (значение переменной) вместо переменной x
(270 - 120) * (45 - 10).

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 270 - 120 = 150.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 45 - 10 = 35.
Затем выполняем умножение 150 * 35 = 5 250

Ответ: (270 - 120) * (45 - 10) = 5 250.

Задание восемь.
Вычислите:
(50 * x) - (3 * y)
при условии, что x = 2; y = 10

Подставляем число 2 вместо переменной x
(50 * 2) - (3 * y).

Подставляем число 10 вместо переменной y
(50 * 2) - (3 * 10).

Затем выполняем сначала арифметическое действие в скобках: 50 * 2 = 100.
Выполняем арифметическое действие во вторых скобках: 3 * 10 = 30.
Затем выполняем вычитание 100 - 30 = 70

С порядком выполнения действий в математических примерах часто возникает путаница. Ситуация осложняется, когда появляются скобки, которые могут не просто разделять длинное выражение на отдельные части, но и менять порядок действий.

Порядок выполнения действий в выражениях без скобок

Для решения простых примеров без скобок, вычисления корней и дробей достаточно запомнить правила:

Все действия выполняются по порядку слева направо.
Сначала выполняются действия умножения и деления, а затем — сложения и вычитания.

Как это применяется на практике?

Пример № 1. Вычислите: 15 − 3 + 7.

Сначала выполняем все действия по порядку слева направо:

Получаем ответ: 15 − 3 + 7 = 19.

Пример № 2. Вычислите: 10 ÷ 2 × 8.

Здесь тоже выполняем все действия по порядку слева направо:

Получаем ответ: 10 ÷ 2 × 8 = 40.

Пример № 3. Вычислите: 5 × 4 − 8 ÷ 2.

Здесь тоже двигаемся слева направо, но держим в уме правило о том, что умножение и деление необходимо выполнить в первую очередь. Поэтому действуем так:

1) 5 × 4 = 20. Это умножение, и оно стоит на первом месте, если двигаться слева направо.

2) 8 ÷ 2 = 4. Это деление, и у него есть приоритет перед действием вычитания, поэтому, несмотря на то, что оно находится правее, из-за приоритета мы выполняем его сразу после умножения.

3) 20 − 4 = 16. Здесь по порядку: выполнив умножение и деление, переходим к вычитанию.

Получаем ответ: 5 × 4 − 8 ÷ 2 = 16.

Если выражение состоит из нескольких действий или вы только учите их порядок, можно над знаками арифметических действий проставлять числа, подсказывающие порядок выполнения вычислений, как на картинке выше.

Важно: Скобки не нужно ставить, если действия сложения и вычитания выполняются в последовательности слева направо. К примеру, вместо (4 − 2) + 3 достаточно написать просто 4 − 2 + 3. Также нет необходимости добавлять скобки, чтобы выделить действия, которые и так имеют приоритет. К примеру, вместо 5 + (4 × 3) достаточно написать лишь 5 + 4 × 3, так как в этом случае действие умножения и без скобок имеет приоритет перед действием сложения.

Порядок выполнения действий в выражениях со скобками

Выражение может содержать скобки, задача которых — изменить привычный порядок выполнения математических действий. Чтобы не запутаться, запомните следующие правила:

Сначала нужно выполнить действия в скобках.
Затем все остальные по порядку, двигаясь слева направо.
При этом сначала выполняются действия умножения и деления, а после — сложения и вычитания.
Внутри скобок действует аналогичный порядок.
Если в выражении есть дроби или степени, по возможности их следует вычислить до того, как вы перейдете к умножению и делению, а затем сложению и вычитанию.

Как это применяется на практике?

Пример № 1. Вычислите: 5 × (8 − 4) ÷ 2.

Следуя вышеуказанным правилам, сначала выполним действие в скобках, а затем по порядку все остальные. Тогда получается:

Зная результат действия в скобках, в черновике для удобства мы можем записать выражение как 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 5 × 4 ÷ 2. Теперь по порядку выполним действия умножения и деления:

Получаем, что 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.

Ответ: 5 × (8 − 4) ÷ 2 = 10.

Пример № 2. Вычислите и сравните результаты: 7 − 3 + 2 и 7 − (3 + 2).

Вычислим результат первого выражения: 7 − 3 + 2 = 6. Теперь посчитаем результат второго выражения: 7 − (3 + 2) = 7 − 5 = 2. Наличие скобок во втором примере изменило порядок действий, поэтому результаты двух выражений различаются.

Пример № 3. Вычислите 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2).

На первый взгляд, это выражение кажется сложным. Чтобы упростить процесс вычисления, разложите его на отдельные действия по порядку:

1) Сначала выполните действия в скобках. Чтобы получить результат выражения в первых скобках, нужно вспомнить о том, какие действия имеют приоритет. Таким образом, сначала вычисляем 4 × 3, затем результат вычитаем из числа 15. Получаем в ответе 3. Проделайте то же самое со вторыми скобками: вычислите 3 × 2 и к результату прибавьте 7. В ответе получаете 13.

2) Зная результаты вычислений в скобках, в черновике вы можете упростить выражение до вида: 8 − 2 × 3 + 13. Теперь нужно выполнить умножение, а затем по порядку вычитание и сложение: 8 − 6 + 13 = 2 +13 = 15. Получаем ответ: 8 − 2 × (15 − 4 × 3) + (7 + 3 × 2) = 15.

Важно: Можно встретить выражения, где в одних скобках содержатся другие скобки. В этом случае действия аналогичные: сначала надо вычислить результат выражения во внутренних скобках, затем работать с внешними и в конце перейти к тому, что находится вне скобок. Кроме того, вид скобок может различаться: чаще всего это ( ), но допускается также использование < >и [ ].

Распространенные ошибки, из-за которых большинство неверно решают примеры со скобками

Знак умноженияопускаетсяперед скобкой, из-за чего можно перепутать порядок действий

К примеру, нужно вычислить, чему равно выражение 8 + 4(3 − 1). Решая этот пример, можно по ошибке сначала посчитать результат вычитания в скобках, затем результат сложения, после чего перемножить полученные числа. Правильный порядок иной: сначала получаем результат вычитания в скобках, затем умножаем его на 4, после чего прибавляем полученное число к 8. Получается следующее: 8 + 4(3 − 1) = 8 + 4 × (3 − 1) = 8 + 4 × 2 = 8 + 8 = 16.

Чуть сложнее может выглядеть вот такое выражение: 8 ÷ 4(3 − 1). Здесь алгоритм действий аналогичный. Сначала выполняем действия в скобках, затем по порядку слева направо нужно выполнить деление и умножение: 8 ÷ 4 × (3 − 1) = 8 ÷ 4 × 2 = 2 × 2 = 4.

Неправильно раскрыты скобки, перед которыми стоял минус

Бывают ситуации, когда скобки надо раскрыть, чтобы упростить выражение. В таком случае, если перед скобкой стоит минус, то при раскрытии скобки вместе с минусом опускаются, а знаки всех слагаемых, которые были внутри скобок, заменяются на противоположные, как если бы вы каждое число умножили на −1. К примеру, выражение 6 + 5 − (4 + 3 − 2) при раскрытии скобок превращается в 6 + 5 − 4 − 3 + 2. Чаще всего ошибки допускаются в выражениях, где есть переменные и много действий, к примеру: 3 + 2(x + 1) − 2(x − 1). Не зная значение переменной, мы не можем посчитать результат выражения в скобках, поэтому необходимо избавиться от скобок и упростить выражение до вида 3 + 2х + 2 − 2х + 2 = 7. Если скобки раскрыть неправильно, то можно получить 3 + 2х + 2 − 2х — 2 = 3.

Вычисления производятся на калькуляторе

Далеко не все калькуляторы способны выполнить действия в правильном порядке, хотя есть модели, которые запрограммированы отделять простые операции от сложных вычислений в рамках одного выражения. Как проверить свой калькулятор? Попробуйте найти результат выражения 1 + 5 × 7. Если в ответе получилось 36, значит, калькулятор может решать сложные примеры, выполняя действия в правильном порядке.

Раскрытие скобок — это избавление выражений от скобок и изменение порядка вычислений.

Существует 4 правила раскрытия скобок при:

сложении;
вычитании;
умножении;
делении.

Правило раскрытия скобок при сложении.

При раскрытии скобок в выражении используется сочетательное свойство сложения, которое гласит:

Если к числу нужно прибавить сумму двух чисел, то можно к этому числу прибавить сначала первое слагаемое, а затем второе.

a + (b +c) = a + b + c

Применяя это свойство, следует придерживаться следующего правила раскрытия скобок:

a + (b + c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

Это же правило применяется, когда в выражении встречается две или более скобки.

a + (b – c) + d + (-f) = a + b - c + d – f

Правило раскрытия скобок при вычитании

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

Когда в скобках перед первым слагаемым знак отсутствует, то это означает, что оно положительное и при раскрытии скобок становится отрицательным.

Решение подобных примеров состоит из действий:

раскрываются скобки;
меняется знак каждого слагаемого на противоположный.

x – (y + z) = x – y – z;

m – (-n – p) = m + n + p;

Случаи, когда в выражении присутствуют сложение и вычитание скобок.

10a + (19b – 34c) – 50 – (m + n)

В данном примере скобки раскрываются по алгоритму:

к первой скобке применяется правило сложения;
вторая скобка раскрывается правилом вычитания.

10a + 19b – 34 c – 50 – m – n

Раскрытие скобок в сложных выражениях.

Сложное выражение — это выражение, в котором используются скобки и знаки деление/умножение.

Раскрытие скобок при умножении

Действия по раскрытию скобок при умножении строятся на основании работы распределительного или сочетательного свойства умножения.

Применение того или иного свойства умножения зависит от действия внутри скобок. Если это сложение или вычитание, работает распределительное свойство. При умножении или делении применяется сочетательное свойство.

1. Раскрытие скобок, согласно распределительному свойству.

Чтобы умножить сумму на число, нужно умножить на это число каждое слагаемое и сложить полученные результаты.

a ∙ (b + c) = ab + ac

(a + b) ∙ c = ac + bc

Чтобы умножить разность на число, нужно умножить на это число сначала уменьшаемое, затем вычитаемое, и из первого произведения вычесть второе.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac − bc

В математике для сокращения записей знак умножения перед числом и скобкой не ставится.

Если общий множитель является отрицательной величиной, то все значения в скобках умножаются на (–1) и меняют свои знаки на противоположные:

2. Раскрытие скобок, согласно сочетательному свойству:

Произведение трех и более множителей не изменится, если эту группу множителей заменить их произведением.

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c ∙ d) ∙ a = b ∙ c ∙ d ∙ a

В случае, когда в скобках выполняется умножение, раскрытие происходит как при сложении — просто раскрываются скобки и все значения перемножаются:

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ a

При раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков.

При делении внутри скобок, раскрытие происходит следующим образом:

Когда общий множитель находится перед скобками, то:

общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе число:

a ⋅ (b : с) = a ⋅ b : с;

или общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое число:

a ⋅ (b : с) = a : c ⋅ b.

Когда общий множитель находится после скобок, то:

общий множитель умножается на первое число в скобках и делится на второе:

(a : b) ⋅c = с ⋅ a : b;

общий множитель делится на второе число в скобках и умножается на первое:

(a : b) ⋅ c =с : b ⋅ a.

Скобка на скобку

Когда требуется перемножить несколько скобок друг на друга, нужно каждый член первой скобки умножить на каждый член второй скобки:

(a + b) ⋅ (c – d) = a ⋅ (c – d) + b ⋅ (c – d) = ac – ad + bc – bd

Алгоритм действий при раскрытии скобки на скобку:

Первая скобка раскрывается, каждое ее слагаемое умножается на вторую скобку.
Выполняется умножение числа на скобку, приводятся подобные слагаемые.

( 5 х + 7 ) ⋅ ( 10 x – 2 ) =

5 х ( 10 x – 2 ) + 7 ( 10 x – 2 ) =

50 х ² – 10 х + 70 х – 14 =

Скобка в скобке

В математике могут встречаться примеры, когда скобки входят в другие скобки.

Алгоритм действий такого типа примеров:

Последовательно раскрывается каждая скобка, начиная с внутренней.
Скобки раскрываются согласно принятым правилам раскрытия скобок при сложении, вычитании, умножении и делении.
Приводятся подобные слагаемые для дальнейшего решения математического выражения или уравнения

8x + y(4 – (2x – y)) = 8x + y(4 – 2x + y) = 8x + 4y – 2xy + y²

Раскрытие скобок при делении

Случаи, когда в скобках выполняется сложение или вычитание.

Если знак деления стоит после скобок — каждое число внутри скобок делится на делитель, который стоит после скобок:

(a + b) : c = a : c + b : c;

(a – b) : c = a: c – b : c.

Если знак деления стоит перед скобками, то делимое делится на каждое число в скобках:

c : (a + b) = c : a + c : b;

c : (a – b) = c : a – c : b.

В случае, когда в скобках выполняется умножение, то:

Если знак деления стоит перед скобкой:

делимое делится на первое число в скобках и делится на второе:

a : (b ⋅ c) = a : b : c;

или делимое делится на второе число в скобках, а потом делится на первое:

a : (b ⋅ c) = a : c : b.

Если знак деления стоит после скобки:

первое число в скобках делится на делитель и умножается на второе:

(b ⋅ c) : a = (b : a) ⋅ c ;

или второе число в скобках делится на делитель и умножается на первое:

(b ⋅ c) : a = (c : a) ⋅ b .

Если внутри скобок выполняется деление:

делимое делится на первое число внутри скобки и умножается на второе:

a : (b : c) = a : b ⋅ c;

первое число в скобках делится на делитель и делится на второе число:

(b : с) : a = b : c : a.

Не забываем, что при раскрытии скобок необходимо учитывать правило знаков, описанное выше:

Примеры решения задач

Сложение.

Формулы раскрытия скобок:

a + (b +c) = a + b + c

a + (b – c) = a + b – c

a + (-b + c) = a – b + c

a + (-b – c) = a – b – c

120 + (350 + 270) = 120 + 350 + 270

25 + (37a – 10b) = 25 + 37a – 10b

1000 + (-420 + 4) = 1000 – 420 + 4

268 + (-150 – 79) = 268 – 150 – 79

956 + (67 – 96 + 48) – 832 = 956 + 67 – 96 + 48 – 832

780 + (1348 + 290) + (420 – 100) = 780 + 1348 + 290 + 420 – 100

Вычитание.

a – (b + c) = a – b– c

a – (b – c) = a – b + c

a – (-b + c) = a + b – c

a – (-b – c) = a + b + c

45 – (-7 + 14) = 45 + 7 - 14

10 – (2 + 3) = 10 – 2 - 3

255 – (177 + 58 – 200) = 255 – 177 – 58 + 200

1375 – (-219a – 35b) + 27 = 1375 + 219a + 35b

390 + (734 – 220) – 79 – (100 + 657) = 390 + 734 – 220 – 79 – 100 – 657

Умножение.

Умножение, когда в скобках сложение.

(a + b) ∙ c = ac + bc

8 ∙ (2 + 3) = 8 ∙ 2 + 8 ∙ 3

(4 + 5) ∙ 7 = 4 ∙ 7 + 4 ∙ 7

Умножение, когда в скобках вычитание.

a ∙ (b – c) = ab – ac

(a – b) ∙ c = ac - bc

7 ∙ (8 – 6) = 7 ∙ 8 – 7 ∙ 6

(12 – 3) ∙ 5 = 12 ∙ 5 – 3 ∙ 5

-9 ∙ (2 + 3) = -9 ∙ 2 – 9 ∙ 3

-4 ∙ (10 – 5) = -4 ∙ 10 + 4 ∙ 5

Умножение за скобками и внутри скобок.

a ∙ (b ∙ c) = a ∙ b ∙ c

(b ∙ c) ∙ а = b ∙ c ∙ а

2 ∙ (5 ∙ 7) = 2 ∙ 5 ∙ 7

(3 ∙ 4) ∙ 8 = 3 ∙ 4 ∙ 8

Умножение, когда внутри скобок деление.

a ∙ (b : с) = a ∙ b : с

a ∙ (b : с) = a : c ∙ b

(a : b) ∙ c = c ∙ a : b

(a : b) ∙ c = c : b ∙ a

6 ⋅ (9 : 3) = 6 ⋅ 9 : 3

6 ⋅ (9 : 3) = 6 : 3 ⋅ 9

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 ⋅ 9 : 3

(9 : 3) ⋅ 6 = 6 : 3 ⋅ 9

Умножение скобки на скобку.

(a + b) ⋅ (c - d) = a ⋅ (c - d) + b ⋅ (c - d) = ac – ad + bc - bd

(7x + 3) ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ (8x – 5) + 3 ⋅ (8x – 5) = 7x ⋅ 8x – 7x ⋅ 5 + 3 ⋅ 8x – 3 ⋅ 5 = 56 x² – 35x + 24x – 15 =

Читайте также: