Как сделать скалярное произведение

Обновлено: 03.07.2024

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти скалярное произведение двух векторов, перечислим свойства этого действия, а также разберем примеры решения задач.

Нахождение скалярного произведения векторов

Скалярное произведение векторов a и b – это скалярная величина, которая равняется произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними.

a · b = | a | · | b | · cos α.

Примечание: скалярной называется величина, значений которой можно выразить одним числом (чаще всего, действительным).

С алгебраической точки зрения, скалярное произведение двух векторов – это сумма попарного произведения соответствующих координат этих векторов.

Формулы скалярного произведения векторов с заданными координатами

" data-lang="default" data-override="" data-merged="[]" data-responsive-mode="2" data-from-history="0">

Двухмерное пространство	a · b = a_x · b_x + a_y · b_y " data-order math"> a · b = a_x · b_x + a_y · b_y " style="min-width:55.0847%; width:55.0847%;"> a · b = a_x · b_x + a_y · b_y
Трехмерное пространство	a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z " data-order math"> a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z "> a · b = a_x · b_x + a_y · b_y + a_z · b_z
n-мерное пространство	a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + . + a_n · b_n " data-order math"> a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + . + a_n · b_n "> a · b = a₁ · b₁ + a₂ · b₂ + . + a_n · b_n

Свойства скалярного произведения векторов

1. Если вектор умножить на себя же, то результат всегда будет больше или равен нулю.

Примечание: ноль получается исключительно в том случае, когда вектор является нулевым.

a · a = 0, если a = 0

2. При умножении вектора на самого себя получается квадрат его длины (модуля).

3. Для скалярного произведения применим переместительный закон:

4. Если два ненулевых вектора ортогональны, их скалярное произведение равняется нулю.

5. Сочетательный закон:

6. Дистрибутивность скалярного произведения:

( a + b ) · c = a · c + b · c

Примеры задач

Задание 1
Найдем скалярное произведение векторов и .

Задание 2
Известны длины векторов (, ) и угол между ними (). Вычислим их скалярное произведение.

В физике и других естественных науках вектора часто перемножают друг с другом. Делать это можно разными способами, но чаще всего используется скалярное произведение.

План урока:

Угол между векторами

Любую пару векторов можно отложить от одной точки. Если при этом вектора не сонаправлены друг с другом, то они образуют некоторый угол. Его и именуют углом между векторами.

Если же пара векторов сонаправлена, то принято считать, что угол между такими векторами составляет 0°.

На рисунке показаны два вектора, a и b. Чтобы определить угол между a и b, надо отложить их от одной и той же точки:

В приведенном примере угол составил 135°. Для обозначения этого угла может быть использована такая запись:

Задание. В квадрате АВСD проведены диагонали, они пересекаются в точке О. Определите, какой угол образуют вектора:

Так как в квадрате диагонали пересекаются под углом 90°, а со сторонами образуют угол 45°, то мы легко определим, что

Здесь нам помог тот факт, что вектора из пунктов а) и б) изначально отложены из одной точки. С пунктом в) ситуация сложнее. Надо отложить от точки А вектор ОА и определить угол, образующийся при этом:

Пусть после откладывания вектора ОА от А получился вектора АА’. Нам надо найти ∠ВАА’. Нам уже известен ∠ОАВ, который является смежным с ∠ВАА’, поэтому можно записать равенство:

Ответ: а) 45°; б) 90°; в) 135°.

Понятие скалярного произведения векторов

Большое распространение в науке получила математическая операция, именуемая скалярным произведением векторов. В геометрии оно помогает находить угол между векторами, а в физике вычислять некоторые физические величины. В рамках школьной программы его используют для нахождения работы, совершенной той или иной силой. В рамках же более сложных дисциплин, с которыми мало кто сталкивается, оно применяется в квантовой механике и специальных разделах математики – тензорной алгебре, теории многообразий и т. п. Ввел его в науку Уильям Гамильтон в 1846 г, который разрабатывал теорию особых чисел – кватерионов. Они, кстати, используются компьютерами для расчетов трехмерной графики в играх и других приложениях.

Прежде, чем мы научимся применять на практике скалярное произведение, сначала сформулируем правило, позволяющее вычислить его.

Например, пусть есть вектора a и b, причем даны их длины:

Угол между a и b тоже известен и составляет 60°, это записывается таким образом:

Задание. Вычислите скалярное произведение векторов d и f, если их длины составляют 6 и 10 соответственно, а угол между векторами равен 45°.

Решение. Просто подставляем числа из условия в формулу:

Задание. АВС – равносторонний треугольник со стороной 4. Каково скалярное произведение векторов АВ и АС?

Решение. Все углы в равностороннем треугольнике равны 60°, поэтому и угол между АВ и АС также составляет 60°.

Напомним, что косинус, взятый от острого угла – это положительная величина, а косинус тупого угла – это отрицательное число. У прямого же угла косинус равен нулю. Это означает, что по знаку скалярного произведения можно определить тип угла между векторами.

Часто скалярное произведение применяется в физике. Например, с его помощью рассчитывается работа, совершаемая силой при перемещении того или иного тела. И сила, и перемещение – это векторные величины. Чтобы найти работу силы, надо скалярно перемножить вектора силы и перемещения:

Эта формула отражает физический смысл скалярного произведения.

Задание. Под воздействием силы 10Н тело переместилось в горизонтальном направлении на 3 метра. При этом сила образует угол 60° с направлением перемещения тела. Какую работу совершила сила?

Скалярное произведение в координатах

Оказывается, что для перемножения векторов достаточно знать только их координаты.

Докажем эту формулу. Сначала рассмотрим случай, когда один из перемножаемых векторов, например a, является нулевым. Тогда у него нулевая длина и нулевые координаты:

Теперь рассмотрим случай, когда оба перемножаемых вектора ненулевые. Тогда отложим их от некоторой точки О и, если вектора неколлинеарны, то мы получим ∆ОАВ:

Для частных случаев, когда a и b коллинеарны (то есть либо сонаправлены, либо противоположно направлены), эта формула также справедлива. Если aи b сонаправлены, то угол α принимается равным нулю (и cosα = 1):

Если же a и b направлены противоположно, то α = 180° (и cosα = – 1):

Итак, мы убедились, что в любой ситуации формула (1) справедлива. При этом вектор АВ можно представить как разность a и b:

Если вектор а имеет координаты 1; у₁>, а координаты b– это 2; у₂>,то координаты их разности a – b будут записываться в виде 1 – х₂;у₁ – у₂>. С учетом этого (2) примет вид

В результате нам удалось доказать формулу скалярного произведения через координаты:

Задание. Перемножьте скалярно вектораa и b, если определены их координаты:

Ответ: а) 23; б) 0; в) 5.

Определение перпендикулярности векторов и прямых

Напомним, что скалярное произведение оказывается нулевым исключительно в случае перпендикулярности векторов. Это позволяет использовать его для проверки перпендикулярности векторов.

Задание. Проверьте, являются ли перпендикулярными вектора:

Решение. В каждом случае мы должны скалярно перемножить пару векторов. Если результат окажется нулевым, то можно сделать вывод о перпендикулярности векторов. В противном случае они не перпендикулярны. Первый вектор будет обозначать буквой а, а второй – буквой b:

Ответ: а) да; б) нет; в) да; г) нет.

Задание. При каком значении переменной х вектора а и bx; – 6> окажутся перпендикулярными?

Решение. Перемножим скалярно вектора и получим некоторое выражение с переменной x:

Найдем, при каком х это выражение обращается в нуль, то есть вектора становятся перпендикулярными:

Задание. Определите, перпендикулярны ли прямые АВ и CD, если даны координаты точек: А(3; 8), В(4; 10), С(7;12) и D(5;13).

Решение. В этой задаче сначала надорассчитать координаты векторов АВ и CD по координатамих начальной и конечной точки:

Мы вычислили координаты векторов: АВ и CD. Теперь мы можем проверить их перпендикулярность, скалярно перемножив вектора:

Мы получили ноль. Это означает, что АВ и CD – перпендикулярные вектора. Значит, и прямые, на которых они лежат, также перпендикулярны.

Задание. Перпендикулярны ли друг другу прямые, задаваемые уравнениями

Названия точкам в данном примере присвоены произвольно. На следующем шаге по координатам точек мы находим координаты векторов, лежащих на исследуемых прямых:

Полученный ноль показывает, что исходные прямые перпендикулярны.

В случае, когда прямые заданы уравнениями, необязательно проделывать столь длительные вычисления для определения их перпендикулярности. Есть теорема, сокращающая объем вычислений.

Докажем это утверждение. Пусть две прямые заданы уравнениями

Найдем какие-нибудь точки этих прямых. Для этого подставим в уравнения значения х = 0 и х = 1:

Прямые окажутся перпендикулярными исключительно в том случае, если это выражение будет нулевым. Это условие перпендикулярности можно записать как уравнение:

В результате мы получили доказываемую нами формулу.

Задание. Проверьте, какие из этих пар прямых перпендикулярны:

Решение. В каждом случае надо просто перемножить угловые коэффициенты прямых, то есть числа, стоящие перед переменной х. Другие числа в этих уравнениях (свободные коэффициенты) никак не влияют на перпендикулярность. Если вычисленное произведение окажется равным (– 1), то из этого будет вытекать перпендикулярность прямых.

Вычисление угла между векторами

Мы научились по координатам векторов определять, перпендикулярны ли они. Однако в более общем случае можно рассчитать угол и между двумя неперпендикулярными векторами.

В самом деле, по известным координатам векторов легко как рассчитать длину каждого из них, так и скалярно перемножить вектора. Тогда из формулы скалярного произведения можно выразить значение косинуса угла между векторами:

Зная же косинус, можно рассчитать и сам угол, используя специальные таблицы либо функцию арккосинуса на калькуляторе.

Задание. Вычислите угол между векторами а и b.

Решение. Сначала рассчитываем длины векторов:

Задание. Точки А(2; 8), В(– 1; 5) и С(3; 1) соединили отрезками и получили ∆АВС. Вычислите угол ∠А в ∆АВС.

Решение.∠А данного треугольника представляет собой угол между двумя векторами АВ и АС. Вычислим координаты этих векторов:

Осталось лишь с помощью калькулятора найти сам ∠А:

Свойства скалярного произведения

Существует несколько важных свойств скалярного произведения. Эти свойства очень схожи с законами алгебры, которые используются при работе с обычными числами.

Переместительный закон легко доказать, опираясь только на определение операции скалярного произведения:

Задание. Известно, что угол между векторами a и с составлет 60°, так же как и угол между векторами b и с. Определены и длины векторов:

Задание. Найдите скалярное произведение векторов p и q, если

Решение. Сначала надо перемножить вектора и раскрыть при этом скобки также, как они раскрываются при перемножении обычных чисел:

Примечание. Иногда скалярное произведение вектора на самого себя именуют скалярным квадратом.

Тогда выражение (1) примет вид:

В сегодняшнем уроке мы узнали, что такое скалярное произведение. Оно имеет много приложений в физике и других науках, в частности, с его помощью вычисляется работа. В геометрии оно помогает вычислять углы между векторами, а значит, и между прямыми. В будущем, при более углубленном изучении геометрии, вы узнаете о существовании других типов произведений векторов – векторном и смешанном.

Определение скалярного произведения:

Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается (или ). Итак, по определению,

где

Формуле (6.1) можно придать иной вид. Так как (см. рис. 14), то получаем:

т. е. скалярное произведение двух векторов равно модулю одного из них, умноженному на проекцию другого на ось, сонаправленную с первым вектором.

Свойства скалярного произведения

1.Скалярное произведение обладает переместительным свойством:

И так как как произведение чисел и

2.Скалярное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя:

3.Скалярное произведение обладает распределительным свойством:

4.Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины:

В частности:

Если вектор возвести скалярно в квадрат и затем извлечь корень, то получим не первоначальный вектор, а его модуль , т. е.

Пример:

Найти длину вектора

Решение:

5.Если векторы (ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если Справедливо и обратное утверждение: если

Отсюда В частности:

Выражение скалярного произведения через координаты

Пусть заданы два вектора

Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k:

Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

Пример:

Доказать, что диагонали четырехугольника, заданного координатами вершин A(-4;- 4; 4), В(-3;2;2), С(2;5;1), D(3; -2; 2), взаимно перпендикулярны.

Решение:

Составим вектора лежащие на диагоналях данного четырехугольника. Имеем: Найдем скалярное произведение этих векторов:

Отсюда следует, что Диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Некоторые приложения скалярного произведения

Угол между векторами

Определение угла ( между ненулевыми векторами

Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторов

Проекция вектора на заданное направление

Нахождение проекции вектора на направление, заданное вектором , может осуществляться по формуле

Работа постоянной силы

Пусть материальная точка перемещается прямолинейно из положения А в положение В под действием постоянной силы , образующей угол с перемещением (см. рис. 15).

Из физики известно, что работа силы при перемещении равна

Таким образом, работа постоянной силы при прямолинейном перемещении ее точки приложения равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.

Пример:

Вычислить работу, произведенную силой =(3; 2; 4), если точка ее приложения перемещается прямолинейно из положения A(2; 4; 6) в положение В (4; 2; 7). Под каким углом к АВ направлена сила ?

Решение: Находим Стало быть,

Угол между и находим по формуле т. е.

Скалярное произведение векторов

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Определение и формула скалярного произведения векторов

Скалярным произведением \right)" width="44" height="23" />
(или " width="32" height="16" />
) двух векторов и " width="8" height="16" />
называется число, которое равно произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними:

$\left(\bar,\; \bar \right)=\bar\cdot \bar=\left|\bar\right|\cdot \left|\bar\right|\cdot \cos \alpha$

Если векторы заданы своими координатами, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат:

$\bar=\left(a_ ;\; a_ \right),\; \bar=\left(b_ ,\; b_ \right)\Rightarrow \left(\bar,\; \bar\right)=a_ \cdot b_ +a_ \cdot b_$

Задание	Вычислить скалярное произведение векторов $\bar=\left(-1;\; 2;\; 3\right),\ \bar=\left(2;\; 0;\; -1\right)$ .
Решение	Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их соответствующих координат, то есть

$\left(\bar,\; \bar \right)=-1\cdot 2+2\cdot 0+3\cdot \left(-1\right)=-2+0-3=-5$

Свойства скалярного произведения векторов

1. Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

$\bar\cdot \bar=\bar^ <2> =\left(\bar,\; \bar\right)\ge 0$

$\bar\cdot \bar=\bar^ <2> Выражение =\left(\bar,\; \bar\right)$
называется скалярным квадратом вектора .

2. Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

$\bar\cdot \bar=0\Leftrightarrow =\bar=\bar<0> $

3. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

$\bar\cdot \bar=\bar^ =\left|\bar\right|^$

4. Операция скалярного умножения коммуникативна:

$\left(\bar,\; \bar \right)=\left(\bar,\; \bar\right)$

5. Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны (перпендикулярны):

$\left(\bar,\; \bar \right)=0,\; \bar,\, \bar\ne \bar\Leftrightarrow \bar\bot \bar$

$\left(\lambda \bar,\; \bar 6. \right)=\lambda \cdot \left(\bar,\; \bar\right)$
.

7. Операция скалярного умножения дистрибутивна:

$\left(\bar+\bar ,\; \bar\right)=\left(\bar,\; \bar\right)+\left(\bar,\; \bar\right)$

8. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение этих векторов будет положительным числом (так как косинус острого угла – положительное число). Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла есть величина отрицательная). Имеют место и обратные утверждения.

9. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен " width="16" height="14" />
, а скалярное произведение будет положительным. Угол между противоположно направленными векторами равен " width="33" height="15" />
и их скалярное произведение отрицательно.

Задание	Найти все значения , при которых векторы и $\bar=\left(3;\; 2\right)$ будут ортогональны.
Решение	Два вектора будут ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение будет равно нулю. Вычислим скалярное произведение заданных векторов:

$\bar\cdot \bar =x\cdot 3+\left(-1\right)\cdot 2=3x-2=0\Rightarrow 3x=2\Rightarrow x=\frac$

Читайте также: