Как сделать систему уравнений в геогебре

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 05.10.2024

Аннотация: В статье рассматривается возможности использования пакета GeoGebra при подготовке учащихся к решению задач с параметрами. Целью данной статьи является определение условий введения пакета GeoGebra в учебный процесс, для обеспечения наглядности и эффективности обучения.

Ключевые слова: компьютерные программы, GeoGebra.

В настоящее время существуют программы, которые можно использовать на уроках математики, такие как, Euclidea, Живая математика, Geometry Pad и др.

Одной из таких бесплатных, кроссплатформенных динамических программ является GeoGebra. Она включает в себя следующие разделы: алгебру, геометрию, таблицы, графы, статистику и арифметику, что говорит о широких возможностях данной программы. Это позволяет ученикам быстро, наглядно и точно выполнить любые построения и операции, а именно: геометрические построения, построение графиков, вычисление корней, экстремумов и интегралов и т.д.

Все эти возможности позволяют внедрить это приложение для решения задач с параметрами. В курсе ОГЭ это задание под номером 23, а в материалах ЕГЭ это задание под номером 18. При выполнении таких задач очень часто требуется построить график функции и провести его исследовании. Использование платформы GeoGebra позволит учащимся проконтролировать правильность хода решения задачи.

В качестве примера рассмотрим использование GeoGebra при решении задания № 18 из ЕГЭ [2].

$ax+\sqrt<3-2x-x^2> Задача. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение =4a+2$
имеет единственный корень.

$\sqrt<3-2x-x^2> Решение. Перепишем уравнение в виде =-ax+4a+2$

$f(x)= \sqrt<3-2x-x^2> и рассмотрим график левой и правой части. Количество решений исходного уравнения будет зависеть от количества точек пересечения графиков$
и .

$y = \sqrt<3-2x-x^2> Найдем область определения функции$
.
D(y)=[-3;1].

И проведем некоторые преобразования с функцией.

$f(x) = \sqrt<3-2x-x^2> Исходя из этого, можно сделать вывод, что графиком функции$
является полуокружность с центром в точке (-1;0) и радиусом 2.

Уравнение задает семейство прямых, после преобразования получим: y=-a(x-4)+2. Можно заметить, что семейство проходит через точку (4;2) с угловым коэффициентом, который равен -a.

На основании изложенного можно сделать вывод о том, что уравнение имеет единственный корень, если прямая касается полуокружности, либо пересекает её в единственной точке.

Для наглядности построим динамический чертеж в программе GeoGebra. Для этого выполним следующую последовательность действий:

В результате получим рис.1.

Изменяя значение ползунка, мы видим, что касательная к полуокружности имеет угловой коэффициент, равный 0, а при a>0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Возможен случай, когда прямая пересечет окружность в двух точках, если прямая будет проходить через точку (–3;0) и получим рис.2.

Подставим точку (-3;0) и получим, что коэффициент " width="56" height="22" />
. Меняя значение ползунка, можно заметить, что уравнение будет иметь единственное решение до того момента, когда прямая будет проходить через точку (1;0) (см. рис. 3). Подставим точку и получим, что " width="56" height="22" />
.

Поэтому исходное уравнение будет иметь единственное решение при , а также при a=0.

GeoGebra была создана Маркусом Хохенвартером. Программа написана на языке Java, приложение поддерживает работу в различных операционных системах: Windows, Mac OS X, Linux, Android. Переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык.

Программу GeoGebra широко используют в мире миллионы пользователей для обучения алгебре и геометрии. Процесс обучения нагляден благодаря визуальной форме использования приложения.

Приложение включает в себя геометрию, алгебру, есть возможность совершать арифметические операции, создавать таблицы, графики, возможна работа со статистикой, работа с функциями, поддерживается создание анимации и т. д. В программе GeoGebra можно создавать различные 2D и 3D фигуры, интерактивные ролики, которые затем можно будет размещать в интернете.

Все приложения, входящие в состав программы GeoGebra, доступны и синхронизируются между собой для работы в составе одного пакета.

Использование системы GeoGebra

Систему можно использовать для построения линий:

построение графиков функций y = f (x);

построение конических сечений;

коника произвольного вида — по пяти точкам.

окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

парабола – по фокусу и директрисе;

гипербола – по двум фокусам и точке на кривой.

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой – либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

вычисления с комплексными числами;

нахождение точек пересечения кривых;

вычисление математического ожидания, дисперсии;

вычисление коэффициента корреляции;

аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Интерфейс программы GeoGebra (ГеоГебра) напоминает классную доску, на которой можно рисовать графики, создавать геометрические фигуры и т. п. В окне программы будет наглядно отображены производимые изменения: если вы измените уравнение, кривая перестроится, изменится масштаб или ее положение в пространстве, уравнение, написанное рядом с кривой, автоматически будет скорректировано, согласно новым значениям.

Полоса меню. Из меню вы можете изменить настройки программы.

Панель инструментов. Здесь находятся инструменты для создания объектов. После щелчка по треугольнику в правом нижнем углу кнопки, будут открыты дополнительные инструменты. Операции, доступные в панели инструментов, можно производить с помощью строки ввода.

Панель объектов. В Панели объектов отображаются введенные переменные и функции. Вместо имен переменных здесь отображаются их значения. Для того, чтобы увидеть формулу в символьном виде, нужно будет кликнуть по ней правой кнопкой мыши.

Рабочая область. Все построения в программе производятся в рабочей области. Вы можете изменить масштаб с помощью колесика мыши, перемещать по рабочей области ось координат.

Создание треугольника в GeoGebra

После этого нарисуйте треугольник, последовательно установив три вершины. При необходимости, вы можете ввести точные координаты. Для этого вам нужно будет кликнуть по точке правой кнопкой мыши.

Задачи на решение треугольников в системе GeoGebra
Построить окружность, описанную около треугольника

Решение геометрических задач из школьного курса с помощью GeoGebra

Пример задачи взят из демонстрационного варианта ОГЭ по математике модуль геометрия.

Задача. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом С известны катеты: AC=6, BC=8. Найдите медиану CD этого треугольника.

Кликнуть на полотно точку правой кнопкой мыши, зайти в свойства. Задать координаты точкам: A(0,6), B(8,0), C(0,0).

На панели объектов можно увидеть, что длина искомого отрезка CD будет равна 5.

Задача. Радиус OB окружности с центром в точке О пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC, если BD=2см, а радиус окружности равен 5 см.

На панели объектов можно увидеть, что длина отрезка AC (на чертеже o) равна 8.

Бесплатная программа GeoGebra предназначена для обучения математике. С помощью программы GeoGebra (ГеоГебра) можно обучаться или работать в динамической математической среде, включающей в себя геометрию, алгебру, другие разделы, с широкими функциональными возможностями.

Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

Возможности программы по математике не ограничиваются только построением графиков, программу GeoGebra можно использовать для интерактивных чертежей при решении геометрических задач. Программа GeoGebra обладает мощными и функциональными возможностями, которые позволяет наглядно и просто обучаться математике.

Таким образом, программа GeoGebra выступает как универсальный программный продукт, в котором сочетаются свойства систем динамической геометрии и систем вычислительной математики, которая дает основания для использования ее в обучении геометрии. Применение программной среды GeoGebra позволяет по-новому строить методику подготовки к основному государственному экзамену, повышая наглядность, увеличивая долю эмпирической составляющей в процессе познания геометрических теорий и расширяя сферу предметных и учебных задач.

Список использованных источников

Блинков А. Д. Геометрические задачи на построение / А.Д. Блинков, Ю. А. Блинков. – 2-е изд.,стереот. – М.: МЦНМО, 2012. – 152 с.

Васильев Н. Б. Прямые и кривые / Н.Б. Васильев, В.Л. Гутенмахер. – М.: Наука, 1978. – 160 с.

Шабанова М. В. Обучение математике с использованием возможностей GeoGebra / М. В. Шабанова, О. Л. Безумова, Е. Н. Ерилова и др. – Москва : Перо, 2013. – 128 с.

Линейные уравнения. Их же великое множество! Они могут быть в натуральных или
целых числах разного знака, в десятичных дробях, простенькие и посложнее. Неужели придется искать в разных сборниках для составления задания ученикам? Но и там выбор ограничен, да и ответы можно списать из решебника.

Что же делать? Все просто! Программируем! Напишем несложную программу, которая составит бесчисленное, и это не преувеличение, множество таких уравнений. Ответом по нашему желанию будет целое число или десятичная дробь.

Способов много, но я познакомлю вас с самым простым. Будем использовать функцию для упрощения набора текста, а так же команды "Раскрыть" и "Обновить".

А в конце я расскажу как составить неполные квадратные уравнения.

Видео В помощь учителю математики. Как создать бесчисленное множество линейных уравнений в ГеоГебре. канала GeoGebra от Елены Стародубцевой

Возникали ли у вас необходимость построить график функции? Поможет бесплатная программа по математике GeoGebra. Она анализирует функции, решает задачи, строит графики. Рассмотрим подробно, как установить, скачать и работать с этой программой.

Что это такое

GeoGebra — программа по математике. Написана на языке программирования Java. Разработана Маркусом Хохенвартером. Приложение не ограничивается только работой с графиками. Используйте ее для создания чертежей, решении задач по геометрии, разработке анимации.

Позволяет наглядно обучаться математике.

Решает такие задачи:

Обучение алгебре и геометрии;
Создание графиков и таблиц;
Работа со статическими данными;
Анимация;
Создание 2D, 3D фигур;
Создание интерактивных роликов с последующим размещением в интернет.

сохраните форматом GeoGebra;
распечатайте;
экспортируйте в форматах SVG, PNG, PDF.

Как скачать

Graphing Calculator. Используйте ее для решения уравнений, нахождение специальных функций, возможность поделиться результатами с другими людьми;
Geometry. Для создания геометрических фигур, рисования.

Интерфейс

Напоминает графический редактор. Рассмотрим его основные элементы:

Кнопка меню (три горизонтальные линии). Используйте для изменения настроек;
Панель инструментов. Для создания фигур и графиков;
Стрелки отменяющие действия;
Рабочая область. Все действия происходят в ней. При помощи колеса мыши редактируйте масштаб.

Как построить график

Добавляйте переменные. Пропишите их в строку формулы.

Как создать 3D

GeoGebra online на русском

Вывод

GeoGebra с широким функционалом, предназначена для обучения алгебре и геометрии. Если не удалось установить ее на ПК, используйте online версию. Мне кажется она удобнее. Остались вопросы, инструкция по работе с GeoGebra поможет разобраться детальнее.

Читайте также: