Как сделать сечение пирамиды
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 05.10.2024
Правила построения сечений многогранников:
1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;
2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого
а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);
б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.
Примеры построения сечений:
Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD1C1C:
пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD1, они лежат в одной плоскости AA1D1D, получим точку X2;
пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D1C1, они лежат в одной плоскости A1B1C1D1, получим точку X3;
Точки X2 и X3 лежат в плоскости DD1C1C. Проведем прямую X2 X3 , которая пересечет ребро C1C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.
MKNTPL - искомое сечение.
Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.
Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA1D1D.
Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.
Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A1D1, они лежат в одной плоскости AA1D1D. Получим точку X1.
Точка X1 лежит на ребре A1D1, а значит и плоскости A1B1C1D1, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.
X1 N пересекается с ребром A1B1 в точке К.
Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA1B1B.
Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).
Сечение пирамиды плоскостью представляет собой плоскую фигуру и содержит в себе точки принадлежащие как поверхности пирамиды так и секущей плоскости.
Пирамида это многогранник - геометрическое тело боковой поверхностью которого служат плоские грани в виде треугольников. Линии пересечения граней (плоскостей) называются ребрами. В основании пирамиды находится плоский многоугольник число сторон которого соответствует количеству боковых граней. По количеству боковых граней пирамиду называют трех-, четырех-, пяти-, шестигранной и т. д.
Проекциями сечения многогранников плоскостью, в общем случае, являются многоугольники, вершины которых принадлежат ребрам, а стороны граням многогранника.
Найти сечение пирамиды плоскостью означает построение линии пересечения поверхности пирамиды (многогранника) плоскостью и сводится к многократному определению: - либо, линии пересечения двух плоскостей (граней пирамиды и секущей плоскости), которые соединяясь между собой образуют искомую линию сечения; - либо, точки встречи прямой (ребер пирамиды) с секущей плоскостью, которые соединяясь между собой прямыми линиями, образуют искомую линию сечения.
Построить сечение пирамиды плоскостью будет значительно проще если секущая плоскость занимает проецирующее положение. Найти трехгранной пирамиды плоскостью a ⊥ H - горизонтальной плоскости проекций.
На горизонтальной плоскости проекций находим точки пересечения αH с ребрами пирамиды: 1`, 2`, 3`. На фронтальной плоскости проекций находим точки: 1", 2", 3", на пересечении линий проекционной связи с ребрами пирамиды: [S"A"], [S"B"], [S"C" ] соответственно. Плоская фигура 1 2 3 - треугольник, есть искомое сечение пирамиды плоскостью αH.
Построить сечение пирамиды плоскостью. Даны проекции пятигранной пирамиды SABCDE и секущая плоскость α(αH, αV), заданная следами.
Даны проекции пятигранной пирамида SABCDE и секущая плоскость α заданная проекциями трех точек 1(. 1"), 3(3`, . ) и 5(. 5"), принадлежащих ребрам SA, SC и SE соответственно. Достроить линию сечения пирамиды плоскостью α.
если известны проекции точек лежащих на ребрах пирамиды: 1(. 1"), 3(3`, . ) 5(. 5"). Составляем план решения задачи: - строим недостающие проекции для заданных точек; - соединяем точки сечения пирамиды прямыми линиями и построив следы этих прямых линий переходим к заданию секущей плоскости α следами αH и αV. Дальнейший ход решения задачи на сечение пирамиды плоскостью изложен в предыдущем примере.
Составляем план решения задачи: Преобразуем секущую плоскость α в фронтально проецирующую: - строится в секущей плоскости горизонталь h; - производится Перемена плоскости проекции V на V1; - строятся проекции секущей плоскости α"1 и пирамиды S"1A"1B"1C"1D"1E"1; - отмечаются точки пересечения ребер пирамиды с α"1: 1"1, 2"1, 3"1, 4"1 и 5"1; Преобразуем секущую плоскость α(α`, α"1) в фронтально проецирующую плоскость уровня α"1: - производится Перемена плоскости проекции H на H1 при этом x2 ‖ α"1; - строятся точки сечения 1`0, 2`0, 3`0, 4`0 и 5`0, найденные точки соединяем прямыми линиями и получаем искомую натуральную величину сечения пирамиды
Сечение пирамиды плоскостью, построенное здесь применено в статьях: - развертка поверхности усеченной пирамиды: Развертка поверхности усеченной пирамиды; - построение аксонометрических проекций усеченной пирамиды: Прямоугольная изометрия усеченной пирамиды; - графическая работа 12: Графическая работа 12.
Поверхность пирамиды – это поверхность многогранника. Каждая ее грань представляет собой плоскость, поэтому сечение пирамиды, заданной секущей плоскостью – это ломаная линия, состоящая из отдельных прямых.
- Как построить сечение пирамиды
- Как строить сечения
- Как построить усеченную пирамиду
Постройте линию пересечения поверхности пирамиды с фронтально-проектирующей плоскостью Σ(Σ2).
Сначала отметьте точки искомого сечения, которые можно определить без вспомогательных секущих плоскостей.
Плоскость Σ пересекает основание пирамиды по прямой 1-2. Отметьте точки 12≡22 – фронтальную проекцию этой прямой – и при помощи вертикальной линии связи постройте их горизонтальные проекции 11,21 на сторонах основания А1С1 и В1С1
Ребро пирамиды SA(S2A2) пересекает плоскость Σ(Σ2) в точке 4(42). На горизонтальной проекции ребра S1A1 при помощи линии связи найдите точку 41.
Через точку 3(32) проведите в качестве вспомогательной секущей плоскости горизонтальную плоскость уровня Г(Г2). Она параллельна плоскости проекций П1 и в сечении с поверхностью пирамиды даст треугольник, подобный основанию пирамиды. На S1A1 отметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 найдите точку 31. Соединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию искомого сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией этой плоскости Σ(Σ2).
На S1A1 отметьте точку Е1, на S1С1 – точку К1. Проведите линии, параллельные сторонам основания пирамиды А1В1С1, и на ребре S1В1 найдите точку 31. Соединив точки 11, 21, 41, 31, получите горизонтальную проекцию искомого сечения поверхности пирамиды заданной плоскостью. Фронтальная проекция сечения совпадает с фронтальной проекцией этой плоскости Σ(Σ2).
Таким образом, задача решается, исходя из принципа принадлежности найденных точек одновременно двум геометрическим элементам – поверхности пирамиды и заданной секущей плоскости Σ(Σ2).
\u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0438\u0440\u0430\u043c\u0438\u0434\u044b, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0432 \u043f\u0438\u0440\u0430\u043c\u0438\u0434\u0435 \u043d\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0441\u043b\u0435\u0434\u0430) \u0441\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438 \u0447\u0430\u0449\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438.
\u0412 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0438\u0440\u0430\u043c\u0438\u0434\u044b \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e, \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0443\u0436\u0435 \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438.
\u041f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e (MNP)
\u041f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0438\u0440\u0430\u043c\u0438\u0434\u044b \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e, \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 M, N, P. ">]" data-testid="answer_box_list">
Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника -- основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания,-- вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 18).
Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами.
Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань -- треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.
Высотой пирамиды, называется перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на плоскость основания.
Пирамида называется n-угольной, если ее основанием является n-угольник. Треугольная пирамида называется также тетраэдром.
У пирамиды, изображенной на рисунке 18, основание -- многоугольник А1А2 …An, вершина пирамиды - S, боковые ребра -- SА1, S А2, …, S Аn, боковые грани - SА1А2, SА2А3, . .
В дальнейшем мы будем рассматривать только пирамиды с выпуклым многоугольником в основании. Такие пирамиды являются выпуклыми многогранниками.
Построение пирамиды и ее плоских сечений
В соответствии с правилами параллельного проектирования изображение пирамиды строится следующим образом. Сначала строится основание. Это будет некоторый плоский многоугольник. Затем отмечается вершина пирамиды, которая соединяется боковыми ребрами с вершинами основания. На рисунке 18 показано изображение пятиугольной пирамиды.
Сечения пирамиды плоскостями, проходящими через ее вершину, представляют собой треугольники (рис. 19). В частности, треугольниками являются диагональные сечения. Это сечения плоскостями, проходящими через два несоседних боковых ребра пирамиды (рис. 20).
Сечение пирамиды плоскостью с заданным следом g на плоскости основания строится так же, как и сечение призмы.
Для построения сечения пирамиды плоскостью достаточно построить пересечения ее боковых граней с секущей плоскостью.
Если на грани, не параллельной следу g, известна какая-нибудь точка А, принадлежащая сечению, то сначала строится пересечение следа g секущей плоскости с плоскостью этой грани -- точка D на рисунке 21. Точка D соединяется с точкой А прямой. Тогда отрезок этой прямой, принадлежащий грани, есть пересечение этой грани с секущей плоскостью. Если точка А лежит на грани, параллельной следу g, то секущая плоскость пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой g. Переходя к соседней боковой грани, строят ее пересечение с секущей плоскостью и т. д. В итоге получается требуемое сечение пирамиды.
На рисунке 22 построено сечение четырехугольной пирамиды плоскостью, проходящей через сторону основания и точку А на одном из ее боковых ребер.
Читайте также: