Как сделать ряд фурье в маткаде

Добавил пользователь Алексей Ф.
Обновлено: 04.10.2024

11. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ И МАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Задача 34. Два точечных электрических заряда q 1 , q 2 имеют координаты (X 1 ,Y 1) и (X 2 ,Y 2). Рассчитайте распределение потенциала электрического поля, постройте эквипотенциальные линии и поверхность φ=φ(x,y).

Потенциал электрического поля, создаваемого зарядами q i с координатами (X i ,Y i), i=1, 2, . в точке (x,y) равен:

Результаты расчета эквипотенциальных линий и поверхности φ=φ(x,y) --- в документе 24.mcd. Заряды положительные, поэтому по мере приближения к каждому из них потенциал возрастает.

Задача 35. Рядом с заряженной пластиной расположены два точечных заряда. Изучите распределение потенциала и постройте силовые линии напряженности электрического поля.

Зависимость φ=φ(x,y) определяется как в предыдущей задаче, напряженность электрического поля в двумерном случае равна:

Для построения силовых линий вычисляются проекции вектора напряженности на оси координат и создается матрица E i,j:=Ex(x i ,y j)+ 1i· Ey(x i ,y j) и нормированная матрица A i,j , используемая для построения векторного поля (25.mcd).

Задача 36. Рассчитайте индукцию магнитного поля, создаваемого двумя витками с током, и постройте силовые линии в случаях, когда токи сонаправлены и противоположно направлены.

Рассмотрим виток с током, лежащий в плоскости XOY, с центром в точке O. Разобъем его на элементы dl s , определим элементарный магнитный момент, создаваемый каждым элементом в точке наблюдения, и просуммируем их.

Элемент витка и точка наблюдения имеют координаты (r·cosφ s , r·sinφ s , 0), и (x, y, z) соответственно. Для расчета индукции магнитного поля используется закон Био--Савара--Лапласа:

где μ 0 --- магнитная постоянная, I --- сила тока. Решение приведено в документе 26.mcd. Витки расположены параллельно плоскости XOY, на экране получаются силовые линии магнитного поля в плоскости YOZ.

Задача 37. В рассмотренном случае постройте график зависимости модуля индукции магнитного поля от координаты вдоль оси витков с током и перпендикулярно ей.

Задача 38. Получите проекции вектора индукции магнитного поля на плоскость перпендикулярную оси соленоида (витка) с током.

Задача 39. Рассчитайте магнитное поле, создаваемое двумя (тремя) параллельными проводниками, по которым текут токи в различных направлениях.

Задача 40. Изучите магнитное поле, создаваемое соленоидом и прямолинейным проводником с током. Получите проекции индукции магнитного поля на плоскость, содержащую проводник с током.

Задача 41. Имеется два соленоида, расположенных соосно по отношению друг к другу. Постройте силовые линии магнитного поля в случаях, когда токи текут в одном направлении и в противоположных направлениях (27.mcd).

Часть 3. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений в Mathcad

Ряд Фурье на произвольном отрезке

Часть 2. Разложение функций в ряд Фурье

Действия с комплексными числами

Часть 1. Вычисления с комплексными числами в Mathcad

В Mathcad определена мнимая единица i: и, следовательно, определены комплексные числа и операции с ними.

Z=a+bi – алгебраическая форма записи комплексного числа.

a – действительная часть, b – мнимая часть

Экспоненциальная (показательная) форма записи комплексного числа,

А – модуль, φ – аргумент (фаза)

Тригонометрическая форма записи комплексного числа.

Связь величин: a=A cos φ b=A sin φ

a) Сложение (вычитание) Z3=Z1±Z2=(a1±a2)+j·(b1±b2)

б) Умножение c·Z1=a·c+j·b·c

г) Возведение в степень n (натуральную)

д) Извлечение корня: , где k =0,1,2…n-1

Машина принимает только радианы. радиан=градус градус=радиан

Функция f(x) абсолютно интегрируема на отрезке [-p;p], если существует интеграл. Каждой абсолютно интегрируемой на отрезке [-p;p] функции f(x) можно поставить в соответствие её тригонометрический ряд Фурье:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье называют коэффициентами Фурье и вычисляют по формулам Эйлера – Фурье: ,

Обозначим n – ю частичную сумму ряда Фурье кусочно – гладкой на отрезке [-p;p] функции f(x). Среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:

Для любой ограниченной интегрируемой на [-p;p] функции f(x) частичная сумма её ряда Фурье является тригонометрическим многочленом наилучшего приближения n-ой степени.

На графиках видно, как сходятся частичные суммы ряда Фурье. В окрестностях точек непрерывности функции f(x) разность между значением функции в точке х и значением частичной суммы ряда в этой точке стремится к нулю при n®¥, что полностью соответствует теории, поскольку в этом случае. Видно также, что разность стремится к нулю тем скорее, чем дальше от точек разрыва функции расположена точка х.

Для кусочно – гладкой функции на отрезке [-L;L] функции f(x) задача о разложении в ряд Фурье на отрезке [-L;L] линейной заменой сводится к задаче о разложении функции на отрезке [-p;p]:

Рассмотрим упрощения в рядах Фурье при различных условиях симметрии:

формула (1) формула (2)

Пусть необходимо найти решение уравнения

с начальным условием. Такая задача называется задачей Коши . Разложим искомую функцию в ряд вблизи точки и ограничимся первыми двумя членами разложения. Учтя уравнение (1) и обозначив, получаем Эту формулу можно применять многократно, находя значения функции во все новых и новых точках.

Такой метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений называется методом Эйлера . Геометрически метод Эйлера означает, что на каждом шаге мы аппроксимируем решение (интегральную кривую) отрезком касательной, проведенной к графику решения в начале интервала. Точность метода невелика и имеет порядок h . Говорят, что метод Эйлера – метод первого порядка, то есть его точность растет линейно с уменьшением шага h .

Существуют различные модификации метода Эйлера, позволяющие увеличить его точность. Все они основаны на том, что производную, вычисленную в начале интервала, заменяют на среднее значение производной на данном интервале.

Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

Преобразование Фурье действительных данных

Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

  • fft(y) - вектор прямого преобразования Фурье;
  • FFT(Y) - вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
  • ifft(v) - вектор обратного преобразования Фурье;
  • IFFT(V) - вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
    • у - вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
    • v - вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

    Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n - целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

    Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

    Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

    Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

    Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

    Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

    Преобразование Фурье комплексных данных

    Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с".

    • cfft(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
    • CFFT(y) - вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
    • icfft(y) -вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
    • ICFFT(V) - вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
      • у - вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
      • v - вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

      Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. "Преобразование Фурье действительных данных" этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

      Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

      Двумерное преобразование Фурье

      В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

      Листинг 15.21. Двумерное преобразование Фурье

      Рис. 15.27. Данные (слева) и их Фурье-спектр (справа) (листинг 15.21)

      Конечно невозможность работы с тригонометрическими рядами это довольно серьезный минус ведь тригонометрические ряды Фурье используются для разложения периодических функций однако на самом деле учитывая все плюса MthCD"а этот минус не так уж и велик. Преобразования Фурье Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций определенные ограничения в этом известны тригонометрическими рядами бесконечной.

      Поделитесь работой в социальных сетях

      Если эта работа Вам не подошла внизу страницы есть список похожих работ. Так же Вы можете воспользоваться кнопкой поиск

      Числовые и функциональные ряды играют очень важную роль в математическом анализе. Они позволяют переходить от непрерывного представления функции, используемого, например, в физике, к дискретному, которое необходимо для вычисления ее значения с помощью компьютера. Поэтому работа с рядами поддерживается MathCAD "ом в полной мере.

      Самая важная операция, касающаяся как числовых, так и функциональных рядов — это, конечно же, вычисление суммы ряда. Найти оператор вычисления этой суммы без труда можно на все той же панели Calculus, и выглядит он, как и в математике, как большая греческая буква сигма. Для вычисления суммы ряда необходимо задать индекс суммирования (для определенности будем полагать, что он записывается буквой n), диапазон суммирования и, конечно же, значение n-го члена ряда. При этом можно использовать символ бесконечности для вычисления сумм бесконечных рядов (этот символ находится на все той же панели Calculus, сразу за оператором вычисления n-й производной). При этом стоит отметить, что вычисление суммы конечного ряда возможно как аналитически, так и численно, т.е. можно использовать и знак равенства, и стрелку, а вот для бесконечного ряда найти сумму можно только аналитическим путем.


      Как и в других областях, где MathCAD задействует свой символьный процессор, всплывают на поверхность и начинают раздражать пользователя минусы этого самого символьного процессора. Самый главный из них, с которым мы с вами уже сталкивались — это нежелание полноценно работать с тригонометрическими функциями. Поэтому если вам нужно рассчитать сумму тригонометрического ряда, то на MathCAD в этом случае можете не рассчитывать.

      Суммы функциональных рядов можно сразу дифференцировать и интегрировать (про интегрирование функций средствами MathCAD "а мы с вами поговорим позже), причем можно производить дифференцирование или интегрирование как всей суммы сразу, так и отдельных членов ряда. Пример того, как это можно сделать, показан на приведенной ниже иллюстрации. Правда, как вы видите, может показаться, будто бы результаты различаются, но если упростить первое выражение, то станет понятно, что на самом деле они абсолютно идентичны.


      Разработка преобразований Фурье сыграла огромную роль в появлении и развитии ряда новых областей науки и техники. Достаточно отметить, что электротехника переменного тока, электрическая связь и радиосвязь базируются на спектральном представлении сигналов. Ряды Фурье также можно рассматривать как приближение произвольных функций (определенные ограничения в этом известны) тригонометрическими рядами бесконечной длины. При конечной длине рядов получаются наилучшие среднеквадратические приближения. MATLAB содержит функции для выполнения быстрого одномерного и двумерного быстрого дискретного преобразования Фурье. Для одномерного массива*с длиной N прямое и обратное преобразования Фурье реализуются по следующим формулам:

      Прямое преобразование Фурье переводит описание сигнала (функции времени) из временной области в частотную, а обратное преобразование Фурье переводит описание сигнала из частотной области во временную. На этом основаны многочисленные методы фильтрации сигналов.

      15.4.1. Преобразование Фурье

      Математический смысл преобразования Фурье состоит в представлении сигнала у(х) в виде бесконечной суммы синусоид вида F(v)sin(vx). Функция F(v) называется преобразованием Фурье или интегралом Фурье, или Фурье-спектром сигнала. Ее аргумент v имеет смысл частоты соответствующей составляющей сигнала. Обратное преобразование Фурье переводит спектр F(V) в исходный сигнал у(х). Согласно определению,

      Как видно, преобразование Фурье является существенно комплексной величиной, даже если сигнал действительный.

      Преобразование Фурье действительных данных

      Преобразование Фурье имеет огромное значение для различных математических приложений, и для него разработан очень эффективный алгоритм, называемый БПФ (быстрым преобразованием Фурье). Этот алгоритм реализован в нескольких встроенных функциях Mathcad, различающихся нормировками.

      • fft(y) — вектор прямого преобразования Фурье;
      • FFT(Y) — вектор прямого преобразования Фурье в другой нормировке;
      • ifft(v) — вектор обратного преобразования Фурье;
      • IFFT(V) — вектор обратного преобразования Фурье в другой нормировке;
        • у — вектор действительных данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
        • v — вектор действительных данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

        Аргумент прямого Фурье-преобразования, т. е. вектор у, должен иметь ровно 2 n элементов (n — целое число). Результатом является вектор с 1+2 n-1 элементами. И наоборот, аргумент обратного Фурье-преобразования должен иметь 1+2 n-1 элементов, а его результатом будет вектор из 2 n элементов. Если число данных не совпадает со степенью 2, то необходимо дополнить недостающие элементы нулями.

        Рис. 15.24. Исходные данные и обратное преобразование Фурье (листинг 15.20)

        Пример расчета Фурье-спектра для суммы трех синусоидальных сигналов разной амплитуды (показанных в виде сплошной кривой на рис. 15.24), приведен в листинге 15.20. Расчет проводится по N=128 точкам, причем предполагается, что интервал дискретизации данных ух равен А. В предпоследней строке листинга применяется встроенная функция if ft, а в последней корректно определяются соответствующие значения частот Qx. Обратите внимание, что результаты расчета представляются в виде модуля Фурье-спектра (рис. 15.25), поскольку сам спектр является комплексным. Очень полезно сравнить полученные амплитуды и местоположение пиков спектра с определением синусоид в листинге 15.20.

        Листинг 15.20. Быстрое преобразование Фурье

        Рис. 15.25. Преобразование Фурье (листинг 15.20)

        Результат обратного,преобразования Фурье показан в виде кружков на том же рис. 15.24, что и исходные данные. Видно, что в рассматриваемом случае сигнал у(х) восстановлен с большой точностью, что характерно для плавного изменения сигнала.

        Преобразование Фурье комплексных данных

        Алгоритм быстрого преобразования Фурье для комплексных данных встроен в соответствующие функции, в имя которых входит литера "с".

        • cfft(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье;
        • CFFT(y) — вектор прямого комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
        • icfft(y) —вектор обратного комплексного преобразования Фурье;
        • ICFFT(V) — вектор обратного комплексного преобразования Фурье в другой нормировке;
          • у — вектор данных, взятых через равные промежутки значений аргумента;
          • v — вектор данных Фурье-спектра, взятых через равные промежутки значений частоты.

          Функции действительного преобразования Фурье используют тот факт, что в случае действительных данных спектр получается симметричным относительно нуля, и выводят только его половину (см. выше разд. "Преобразование Фурье действительных данных" этой главы). Поэтому, в частности, по 128 действительным данным получалось всего 65 точек спектра Фурье. Если к тем же данным применить функцию комплексного преобразования Фурье (рис. 15.26), то получится вектор из 128 элементов. Сравнивая рис. 15.25 и 15.26, можно уяснить соответствие между результатами действительного и комплексного Фурье-преобразования.

          Рис. 15.26. Комплексное преобразование Фурье (продолжение листинга 15.20)

          Двумерное преобразование Фурье

          В Mathcad имеется возможность применять встроенные функции комплексного преобразования Фурье не только к одномерным, но и к двумерным массивам, т. е. матрицам. Соответствующий пример приведен в листинге 15.21 и на рис. 15.27 в виде графика линий уровня исходных данных и рассчитанного Фурье-спектра.

          Спектр такого сигнала s ( t ) с помощью ряда Фурье в тригонометрической форме имеет следующий вид:


          s ( t ) = (2)

          где ω = 2π/ T – угловая частота;

          n – номер гармоники;

          A 0 , Bn , Bn – коэффициенты разложения ряда Фурье

          Коэффициенты разложения ряда Фурье вычисляются по формулам:




          где x ( t ) – периодический сигнал.

          Полученное аналитическое выражение сигнала x ( t ) в среде MathCAD будет иметь вид:



          График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD: A = 1, T = 50, τ = 25

          Рис. График сигнала прямоугольной формы в среде MathCAD : A = 1, T = 50, τ = 25

          Полученное выражение для спектрального показания сигнала в общем виде для заданного числа гармоник N = 3 запишем следующим образом:


          N := 3 n := 1 , 2, … N ω := 2 ,

          A 0 := ,

          A n := ,

          B n := ,

          s (t) := + (A п cos( tnω) + Bnsin(tnω)).

          Чтобы добавить на график x = f ( t ) спектральную форму сигнала s = f ( t ), нужно выделить указателем мыши на оси ординат поле, где записана функция исходного сигнала x ( t ) и справа от неё ввести запятую, после этого ниже появится поле для ввода ещё одной функции, куда следует ввести s ( t ). Графики сигнала прямоугольной формы и его спектральное показание по первым трём гармоникам показаны на рисунке ниже.

          Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 3

          Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x ( t )
          и его спектральное показание s ( t ) для числа гармоник N = 3

          Аналогично строят графики для пяти и семи гармоник. Для этого в программе расчёта гармоник нужно лишь присвоить числу гармоник N новое значение, а программа автоматически пересчитает спектр сигнала. При этом автоматически обновится график зависимости s = f ( t ).

          Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 5

          Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x ( t )

          и его спектральное показание s ( t ) для числа гармоник N = 5

          Графики исходного сигнала прямоугольной формы x(t) и его спектральное показание s(t) для числа гармоник N = 7

          Рис. Графики исходного сигнала прямоугольной формы x ( t )

          и его спектральное показание s ( t ) для числа гармоник N = 7

          Особое место в символьной математике MathCAD'а занимают символьные преобразования. Этот вид символьных вычислений используется по сравнению с другими не слишком часто, но, тем не менее, его роль в ряде вычислений трудно переоценить.

          Вы скажете, что то, что мы делали до этого, тоже можно назвать символьными преобразованиями. Что же, это будет, несомненно, вполне справедливо, так как рассматриваемые нами операторы действительно преобразовывали тем или иным образом исходное выражение. Тем не менее, символьными преобразованиями применительно к MathCAD'у называется, как правило, группа вполне конкретных преобразований, в которую входят прямое и обратное преобразование Фурье, прямое и обратное преобразование Лапласа, а также прямое и обратное Z-преобразование. В общем-то, конечно же, эти преобразования по своей сути довольно просты, но если заниматься ими без компьютера (то есть вооружившись исключительно бумагой и ручкой), то может возникнуть ряд проблем, поскольку данные преобразования предполагают интегрирование преобразуемых выражений, хотя, конечно же, существуют специальные правила (например, для того же преобразования Лапласа), которые дают возможность вычислить результат преобразований и без интегрирования. Пользуясь MathCAD'ом, вы избавите себя от необходимости как интегрировать все эти выражения, так и заучивать громоздкую систему правил более простого применения преобразований. Впрочем, конечно же, MathCAD не избавит вас от необходимости понимания сути данных преобразований и интерпретации их результатов. Впрочем, думаю, пора уже перейти к рассказу о самих преобразованиях, а не о том, как легко их выполнять в MathCAD — вы сами сможете убедиться в том, что это действительно легко, на практике.

          Преобразование Лапласа

          Преобразование Лапласа — основа операционного исчисления — довольно большого раздела математики, занимающегося решением дифференциальных уравнений с помощью перевода их в алгебраические. Операционное исчисление было придумано в конце 19-го столетия английским физиком Оливером Хевисайдом для расчета свойств электрических цепей. Первоначально встреченное со скепсисом из-за отсутствия строгого математического обоснования производимых действий, к нашему времени операционное исчисление стало одним из удобнейших способов решения дифференциальных уравнений. В терминах операционного исчисления функция, которая подвергается преобразованию Лапласа, называется оригиналом, а та, которая получается в результате этого преобразования, изображением. Оригинал и изображение определены на различных множествах: изображение — функция комплексной переменной, в то время как оринигал — функция переменной действительной. Хотя мы с вами еще не говорили о работе в MathCAD'е с комплексными переменными, думаю, для того, чтобы освоиться с выполнением символьных преобразований, специальных знаний по этому вопросу вам не понадобится. Записывается преобразование Лапласа в виде математической формулы следующим образом:

          Еще одна ремарка: в качестве простейшей функции для проведения над ней преобразования Лапласа обычно рассматривается функция Хевисайда. Это функция, значение которой определяется следующим образом: если аргумент меньше нуля, то ее значение равно нулю; если аргумент равен нулю, то ее значение равно одной второй; если аргумент больше нуля, то ее значение равно единице. Впрочем, поскольку мы с вами вооружены мощнейшей математической средой MathCAD, нет нужды начинать с функции Хевисайда — мы сразу можем обратиться к более сложным примерам. Что ж, давайте теперь посмотрим, как применять преобразование Лапласа в MathCAD'е. Для этого обратимся к успевшей уже, наверное, вам надоесть панели Symbolic (ничего, потерпите — скоро мы с ней уже разберемся окончательно!).

          Прямое преобразование Лапласа, как вполне логично было бы предположить, выполняет оператор laplace — так оно, собственно, и есть. Этот оператор нужно поместить следом за функцией, которую нужно преобразовать (и которая, таким образом, будет оригиналом), а в качестве единственного параметра нужно указать переменную, относительно которой эта функция будет преобразовываться.

          Обратное преобразование Лапласа делает все то же самое, только наоборот. То есть оно позволяет перейти от изображения функции к ее оригиналу, в связи с чем имеет очень высокую востребованность все в том же операционном исчислении. Применяется обратное преобразование Лапласа в MathCAD'е совершенно точно таким же образом, что и прямое, только для этого нужно использовать оператор invlaplace.

          Преобразование Фурье

          Преобразование Лапласа, несмотря на всю свою полезность и относительную простоту, далеко не единственное символьное преобразование, с которым вам наверняка придется столкнуться в реальных расчетах с помощью MathCAD'а. Не менее значимо в математике преобразование Фурье. Самое известное использование преобразования Фурье — это переход от временного представления спектральной функции к ее частотному представлению. Для этого преобразование Фурье используется в радиоэлектронике, оптике и других сферах прикладной науки, связанных с обработкой и использованием периодических сигналов. Вообще же преобразование Фурье с математической точки зрения не связано никак с частотой или временем — это просто разложение периодической функции на сумму (в предельном случае — интеграл) синусоидальных слагаемых (т.е. синусов и косинусов), которые имеют различные коэффициенты при аргументах и при самих функциях. При частотно-временной интерпретации, когда синусы и косинусы рассматриваются как некие колебания, мы как раз и получаем периодическую функцию как сумму колебаний с различными амплитудами и частотами. Если же рассматривать все в комплексных числах, то вместо синусов и косинусов будут комплексные экспоненты — т.е. базисными функциями будут уже не тригонометрические, а показательные. Записывается преобразование Фурье в виде формулы следующим образом:

          Что ж… Давайте, пожалуй, перейдем к вопросу о том, каким образом можно применять преобразование Фурье в MathCAD'е. Собственно говоря, делать это не сильно сложнее, чем в случае с преобразованием Лапласа, поскольку в этом мощном математическом пакете для преобразования Фурье также предусмотрен специальный оператор. Думаю, будет довольно просто догадаться, что из всех операторов на панели Symblolic за преобразование Фурье отвечает именно оператор fourier. Он точно так же, как и оператор laplace, имеет один параметр — переменную, относительно которой будет проводиться преобразование.

          В нашем примере, когда мы пытаемся преобразовать экспоненту, в результате получаем дельта-функцию Дирака. Эта функция является производной функции Хевисайда и определяется как равная нулю везде, кроме точки ноль и бесконечности в этой точке. Обратное преобразование Фурье в MathCAD'е осуществляет оператор invfourier. Его использование, собственно говоря, совершенно аналогично использованию оператора обратного преобразования Лапласа, а потому надолго на нем я останавливаться не буду.

          Z-преобразование

          Итак, нам с вами осталось рассмотреть последнее на сегодня преобразование, которым мы с вами и завершим разговор о символьных преобразованиях в MathCAD'е. Z-преобразованием называется такое преобразование, при котором ряд вещественных чисел преобразуется в аналитическую комплексную функцию. Если опять брать иллюстрацию из теории сигналов, то выборка вещественных чисел будет временным рядом, а получаемая в результате преобразования функция в качестве аргумента будет использовать комплексную частоту. Формулой Z-преобразование записывается таким вот образом:

          Для применения Z-преобразования в проектах MathCAD'а нужно воспользоваться оператором ztrans. Думаю, вы уже догадываетесь, что у этого оператора, как и у остальных операторов символьных преобразований, всего один параметр, в который для успешного проведения преобразования нужно записать имя переменной, относительно которой это самое преобразование будет проводиться.

          Для обратного Z-преобразования используется оператор invztrans, который по своему использованию совершенно аналогичен всем остальным MathCAD'овским оператором символьных преобразований.

          Стоит отметить, что не следует путать Z-преобразование в том смысле, в котором оно используется сейчас в разговоре о символьных преобразованиях, с Z-преобразованием Фишера — преобразованием выборки величин с тем, чтобы приблизить их к нормальному распределению. Впрочем, поскольку эти формулы относятся к различным разделам математики, думаю, особых проблем и путаницы у вас возникнуть не должно.

          Подводя итоги сказанному выше о символьных преобразованиях, можно еще раз упомянуть, что MathCAD существенно облегчает и упрощает работу с ними (кто не верит — попробуйте решить на листочке какой-нибудь пример к статье). Благодаря поддержке преобразования Лапласа в MathCAD'е можно проводить вычисления с использованием всей мощи операционного исчисления, а поддержка других преобразований позволяет проводить расчеты, связанные с теорией сигналов.

          SF, spaceflyer@tut.by

          Компьютерная газета. Статья была опубликована в номере 31 за 2008 год в рубрике soft

          для функции y=f(x) на заданном интервале вычислить коэффициент Фурье an и bn и записать тригонометрический ряд.
          Подскажите при помоще какой ф-ии этто решается в маткаде и как записывать?

          Ряд Фурье
          Помогите в маткаде вот такое сделать :

          Ряд Фурье
          Помогите. Не получается разложить в ряд Фурье


          Разложение в ряд Фурье
          Здравствуйте, столкнулся с ошибкой "This calculation does not converage to a solution" Не могу.

          Ряд Тейлора (Фурье)
          Добрый день! Подскажите, пожалуйста, как найти ряд Тейлора в Mathcad Одновременно из трех функций.

          Разложение в ряд Фурье
          Без этого задания работу не примут, помогите пожалуйста!:resent:Задана периодическая функция с.

          Разложить в ряд Фурье
          Для переодической несуносоидальной функции определить A0,косинусные и синусные коефициенты Сk и.

          Про ряд Фурье
          Имеется график, на котором изображена функция. Необходимо в маткаде построить графики первых трёх.

          Разложение периодических функций в ряд фурье, спектральній анализ периодических сигналов


          Цель работы: Получение практических навыков работы с пакетом MATHCAD и использование его для спектрального анализа периодических сигналов .

          Описание лабораторного макета: В ходе лабораторной работы используется инструментарий пакета MATHCAD 14.

          Разложить в ряд Фурье функцию, заданную на интервале [-π, π] уравнением .

          Как разложить функцию в ряд фурье в mathcad

          БлогNot. Mathcad: считаем спектр Фурье

          Mathcad: считаем спектр Фурье

          Задана функция времени f(x) , состоящая из двух полупериодов.

          Определяем функцию для расчёта коэффициентов разложения в ряд Фурье и возвращаем матрицу гармоник, затем синтезируем "восстановленную" функцию p(x) по коэффициентам разложения и графически сравниваем её с исходной функцией.

          Вот картинка с "дано" и "получилось" и остальной расчёт в приложенном архиве:

          разложение функции в ряд Фурье


          разложение функции в ряд Фурье

          Читайте также: