Как сделать равные фигуры

Обновлено: 07.07.2024

1. Какая фигура ограничивает многоугольник? — Замкнутая ломаная, звенья которой не пересекаются.

2. Могут ли звенья ломаной, ограничивающей многоугольник, пересекаться? — Нет, не могут.

3. Какие элементы многоугольника вы знаете? — Вершина, сторона, углы многоугольника.

4. Как называют и обозначают многоугольник? — Многоугольники называют и обозначают по его вершинам. Чтобы записать название многоугольника, надо последовательно записать все его вершины.

5. Что называют периметром многоугольника? — Периметр многоугольника — это сумма длин все его сторон.

6. Какие многоугольники называют равными? — Многоугольники называют равными, если они совпадают при наложении.

7. Какие фигуры называют равными? — Фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.

Решаем устно

1. Сумму чисел 24 и 18 уменьшите на 33.

(24 + 18) — 33 = 42 — 33 = 9

2. Разность чисел 30 и 14 увеличьте в 3 раза.

(30 — 14) • 3 = 16 • 48

3. Произведение чисел 12 и 5 увеличьте на 19.

(12 • 5) + 19 = 60 + 19 = 79

4. Частное чисел 189 и 9 уменьшите в 7 раз.

(189 : 9) : 7 = 21 : 7 = 3

5. Укажите среди данных отрезков равные, если:

АВ = 5 см 3 мм = 53 мм = TQ
CD = 4 м 5 см = 405 см
РК = 45 см
EF = 2 дм 8 мм = 20 см 8 мм = 208 мм = MN
TQ = 53 мм = 5 см 3 мм = АВ
MN= 208 мм = 20 см 8 мм = 2 дм 8 мм = EF

Ответ: АВ = TQ и EF = MN.

Упражнения

321. Назовите вершины и стороны пятиугольника, изображённого на рисунке 109.

Вершины пятиугольника: N, K, P, E, M
Стороны пятиугольника: NK, KP, PE, EM, EN.

322. Начертите: 1) четырёхугольник; 2) пятиугольник; 3) шестиугольник; 4) семиугольник .

Четырехугольник ABCD
Пятиугольник EFGHJ
Шестиугольник SRQWXZ
семиугольник TKLMNOP

323. Вычислите периметр пятиугольника, стороны которого равны 2 см, 4 см, 5 см 5 мм, 6 см, 7 см.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.

2 см + 4 см + 5 см 5 мм + 6 см + 7 см = 24 см 5 мм — периметр данного пятиугольника.

Ответ: 24 см 5 мм.

324. Вычислите периметр шестиугольника, три стороны которого равны по 8 см, а три другие — по 10 см.

Периметр многоугольника равен сумме длин его сторон.

8 • 3 + 10 • 3 = 24 + 30 = 54 (см) — периметр данного шестиугольника.

325. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 110.

326. Нарисуйте в тетради фигуру, равную той, которая изображена на рисунке 111.

327. Одна из сторон четырёхугольника равна 8 см, вторая сторона в 3 раза больше первой, а третья — на 7 см меньше второй и на 9 см больше четвёртой. Вычислите периметр четырёхугольника.

1) 8 • 3 = 24 (см) — длина второй стороны четырёхугольника.

2) 24 — 7 = 17 (см) — длина третьей стороны четырёхугольника.

3) 17 — 9 = 8 (см) — длина четвёртой стороны четырёхугольника.

4) 8 + 24 + 17 + 8 = 57 (см) — периметр четырёхугольника.

328. Стороны пятиугольника пронумеровали. Первая сторона равна 4 см, а каждая следующая сторона на 2 см длиннее предыдущей. Вычислите периметр пятиугольника.

1) 4 + 2 = 6 (см) — длина второй стороны пятиугольника.

2) 6 + 2 = 8 (см) — длина третьей стороны пятиугольника.

3) 8 + 2 = 10 (см) — длина четвёртой стороны пятиугольника.

4) 10 + 2 = 12 (см) — длина пятой стороны пятиугольника.

5) 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40 (см) — периметр пятиугольника.

329. 1) Сколько диагоналей можно провести из одной вершины: а) пятиугольника; б) девятиугольника; в) и-угольника, где п > 3?

а) Из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали.

б) Из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей.

в) Из одной вершины n-угольника можно провести (n-3) диагоналей, так как:

первая вершина является исходной;
диагональ ко второй вершине совпадает со одной из сторон, прилегающей к исходной вершине;
диагональ к последней вершине совпадает с другой из сторон, прилегающей к исходной вершине.

2) Сколько всего диагоналей можно провести: а) в пятиугольнике; б) в девятиугольнике; в) в и-угольнике, где п > 3?

а) Мы знаем, что из одной вершины пятиугольника можно провести 2 диагонали (n-3), Значит из 5 вершин можно провести 5 • 2 = 10 диагоналей (n • (n-3)). Но если провести все 10 диагоналей, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в пятиугольнике можно провести 10 : 2 = 5 диагоналей ((n •(n-3) : 2). Рисунок подтверждает наш вывод.

б) Мы знаем, что из одной вершины девятиугольника можно провести 6 диагоналей (n-3 = 9 — 3 = 6), Значит из 9 вершин можно провести 9 • 6 = 54 диагонали (n • (n-3) = 9 • (9 — 3) = 9 • 6 = 54). Но если провести все 54 диагонали, то каждая пара из них будет совпадать, так как одна диагональ всегда соединяет две вершины. Значит всего в девятиугольнике можно провести 54 : 2 = 27 диагоналей ((n • (n-3) : 2 = 9 • (9 — 3) : 2 = 9 • 6 : 2 = 54 : 2 = 27). Рисунок подтверждает наш вывод.

в) Исследуя предыдущие два задания мы вывели формулу, по которой можно посчитать количество возможных диагоналей в n-угольнике, при n > 3: n • (n-3) : 2. Это значит, у количество диагоналей:

у четырёхугольника — n • (n-3) : 2 = 4 • (4 — 3) : 2 = 4 • 1 : 2 = 4 : 2 = 2 — верно
у шестиугольника — n • (n-3) : 2 = 6 • (6 — 3) : 2 = 6 • 3 : 2 = 18 : 2 = 9 — верно
у семиугольника — n • (n-3) : 2 = 7 • (7 — 3) : 2 = 7 • 4 : 2 = 1=28 : 2 = 14 — верно
и т.д.

Ответ: 5, 27, n • (n-3) : 2.

330. Как, используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2°?

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 13°, построить угол, градусная мера которого равна 2° надо:

прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла;
начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 14 раз отложить по шаблону угол в 13°;
так как 13° • 14 = 182°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 2° выходить за границы развёрнутого угла;
угол, выходящий за границы развёрнутого угла, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 2°.

331. Как построить угол, градусная мера которого 1°, используя шаблон угла, градусная мера которого равна:

а) 19°

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 19°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:

прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла;
начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 19 раз отложить по шаблону угол в 19°;
так как 19° • 19 = 361°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 1° выходить за границы двух развёрнутых углов;
угол, выходящий за границы развёрнутых углов, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 1°.

б) 7°

Для того, чтобы используя шаблон угла, градусная мера которого 7°, построить угол, градусная мера которого равна 1° надо:

прочертить прямую линию и отметить на ней точку вершины развёрнутого угла.
провести из этой точки перпендикуляр к прямой;
начиная от одного из лучей развёрнутого угла последовательно 13 раз отложить по шаблону угол в 7°;
так как 7° • 13 = 91°, то последний из отложенных по шаблону углов будет на 1° выходить за границы прямого угла образованного перпендикуляром к прямой;
угол, выходящий за границы прямого угла, как раз и будет искомым углом с градусной мерой 1°.

332. Существует ли многоугольник с периметром, равным 1 000 000 см, который можно целиком расположить в квадрате со стороной 1 см?

Да, теоретически такой многоугольник существует. Для этого надо из квадрата со стороной 1 см вырезать множество полосок либо треугольников, либо ещё каких-нибудь фигур вдоль нескольких сторон исходного квадрата. Точное количество таких вырезанных фигур будет зависеть от длины вырезаемых из квадрата сторон фигуры, а также от длины оставшихся от исходного квадрата сторон.

В реальности такую операцию способны выполнить только суперточные приборы, например лазерный принтер. Кроме того, необходимо провести очень точный расчёт вырезаемых фигур.

Упражнения для повторения

333. Сравните:

1) 3 986 г и 4 кг: 4 кг = 4000 г ⇒ 3 986 г

2) 6 м и 712 см: 6 м = 600 см ⇒ 600 см

3) 60 см и 602 мм: 60 см = 600 мм ⇒ 600 мм

4) 999 кг и 10 ц: 10 ц = 1000 кг ⇒ 999 кг

334. Выполните сложение, выбирая удобный порядок вычислений:

1) (636 + 927) + 364 = (636 + 364) + 927 = 1 000 + 927 = 1 927

2) (425 + 798) + 675 = (425 + 675) + 798 = 1 100 + 798 = 1 898

3) 212 + 493 + 788 + 807 = (212 + 788) + (493 + 807) = 1 000 + 1 300 = 2 300

4) 161 + 455 + 839 + 945 = (161 + 839) + (455 + 945) = 1 000 + 1 400 = 2 400

335. Известно, что ∠ABC = 74°, а луч BD — его биссектриса. Вычислите величину угла DBC.

Мы знаем, что биссектриса угла всегда делит угол пополам. Значит:

∠DBC = ∠ABC : 2 = 74° : 2 = 37°

336. Высота самой высокой горы Западной Европы Монблан равна 4 809 м. Она на 2 151 м ниже самой высокой горы Южной Америки Аконкагуа, которая на 770 м выше самой высокой горы Северной Америки Денали. Какова высота самой высокой горы Африки Килиманджаро, если она на 295 м ниже горы Денали? Какова высота самой высокой горы мира Джомолунгмы (Эверест) (рис. 112), если она на 2 953 м выше горы Килиманджаро?

1) 4 809 + 2 151 = 6 960 (м) — высота горы Аконкагуа.

2) 6 960 — 770 = 6 190 (м) — высота горы Денали.

3) 6 190 — 295 = 5 895 (м) — высота горы Килиманджаро.

4) 5 895 + 2 953 = 8 848 (м) — высота горы Джомолунгма.

Ответ: 8 848 метров.

Задача от мудрой совы

337. Лимоны одинаковой массы продают поштучно. Масса каждого лимона составляет целое количество граммов. Купили больше двух, но меньше семи лимонов. Масса всей покупки составляет 850 г. Какова масса одного лимона?

Так как купили больше двух, но меньше семи лимонов, то количество купленных лимонов может быть либо 3, либо 4, либо 5, либо 6.

Масса каждого лимона — целое число, причём все лимоны одинаковые. Проверим, на какое из возможных чисел (3, 4, 5 или 6) общая масса покупки 850 г делится без остатка. Для этого применим метод подбора.

Цели: обучающая: ввести понятие правильной фигуры; рассмотреть свойства правильных фигур, периметр и площадь; исследовать виды правильных фигур; ввести понятие равенства фигур; рассказать об основных свойствах равных фигур;

Воспитательная: воспитать интерес к геометрии;

Развивающая: развивать логическое мышление.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Оборудование: учебники, тетради, чертёжные принадлежности, компьютер. правильный фигура геометрический равенство

1. Организационный момент

Приветствие учителя. Проверка готовности к уроку. Проверка присутствующих. Познакомить присутствующих с темой урока и его целью.

2. Проверка домашнего задания

На прошлом уроке на дом было задано: читать стр. 74 - 77 (§ 9), письменно выполнить упражнения №309 (2) и №311. Проверим, какие результаты вы получили: №309 (2) - 23 и 155; №311 - 50 см, 1 000 см, 5 000 см.

Устный опрос по теме параграфа.

ь Какие виды многоугольников вы знаете?

ь Что такое треугольник?

ь Какие виды треугольников вы знаете?

ь Что такое четырёхугольник?

ь Какие виды четырёхугольников вы знаете?

ь Что такое четырёхугольник? Квадрат?

ь Что такое периметр многоугольника?

ь Чему равен периметр треугольника? Прямоугольника? Квадрата?

3. Изучение нового материала

Ввожу определение правильных фигур.

Правильные фигуры - это фигуры, у которых все стороны и углы равны.

Вопрос к ученикам. Какие фигуры изображены на экране? Ученики называют фигура №1 - шестиугольник, фигура №2 - квадрат, фигура №3 - треугольник, фигура №4 - пятиугольник.

Уточняем названия: Правильный шестиугольник, Правильный треугольник и Правильный пятиугольник. Причем правильный треугольник - это треугольник, у которого все стороны равны, а углы по 60 0 .

Далее вводится понятие равной фигуры.

Равные фигуры - это фигуры, которые при наложении друг на друга совпадают.

Вопрос к ученикам. Какие фигуры, изображённые на рисунке - равны? Ученики называют фигуры №1 и №4 и фигуры №2 и №3

Хотелось бы отметить, что правильные фигуры не обязательно равны. Вопрос к ученикам. Какие треугольники, изображённые на рисунке - равны, а какие - не равны? (Треугольники №1, №2 и №3 - равны, но они не равны треугольнику №4)

Как вы правильно заметили - правильный четырёхугольник - это квадрат. Вопрос к ученикам. Что вы можете рассказать о квадрате? Какие из изображённых квадратов равны, а какие не равны? Почему? (квадраты №1 и №2 равны, так как они совпадают при наложении, а квадраты №3 и №4 не равны ни между собой, ни квадратам №1 и №2).

Заметьте, что равными могут быть любые фигуры и многоугольники. Например … (см. слайд) А также и объёмные фигуры. Объёмные фигуры называются - правильными, если их составляющие - правильные геометрические фигуры. Примеры, объёмных правильных фигур: куб, или гексаэдр, октаэдр, объёмная фигура, состоящая из восьми правильных треугольников, тетраэдр, объёмная фигура, состоящая из четырёх правильных треугольников, додекаэдр, объёмная фигура, состоящая из десяти правильных пятиугольников.

Вспомним что такое периметр. Периметром плоской геометрической фигуры называется сумма длин всех его сторон. Если плоская геометрическая фигура правильная, то Р = nЧa, где n - количество одинаковых сторон, а - длина стороны

4. Закрепление изученного материала на практике

Для закрепления нового материала предлагается решить несколько задач.

Работа с учебником. Решите из учебника №360 и №320(1 - 3) письменно.

5. Подведение итогов урока

Итак, что же мы узнали нового сегодня на уроке?

Какие фигуры называются правильными?

Какие фигуры называются равными?

Все ли правильные фигуры равны?

Все ли равные фигуры правильные?

Объёмные фигуры могут быть равными?

Объёмные фигуры могут быть правильными?

О каких объёмных правильных фигурах вы знали с начальной школы?

О каких объёмных фигурах вы сегодня узнали?

Что вам понравилось больше всего на уроке?

Что было самым сложным?

6. Задание на дом

Читать §9 (стр.74 - 77), письменно в тетрадях выполнить №318 и №320 (4 - 7), определения выучить.

Одним из основных понятий в геометрии является фигура. Под этим термином подразумевается множество точек на плоскости, ограниченное конечным числом линий. Некоторые фигуры могут рассматриваться как равные, что тесно связано с понятием движения.

Содержание статьи

Какие фигуры называются равными
Какие треугольники называются равными
Что такое вершины и стороны угла

Геометрия изучает инвариантные свойства фигур, т.е. те, которые остаются неизменными при тех или иных геометрических преобразованиях. Такое преобразование пространства, при котором остается неизменным расстояние между точками, составляющими ту или иную фигуру, называется движением.

Движение может выступать в разных вариантах: параллельный перенос, тождественное преобразование, поворот вокруг оси, симметрия относительно прямой или плоскости, центральная, поворотная, переносная симметрия.

Движение и равные фигуры

Если возможно такое движение, которое приведет к совмещению одной фигуры с другой, такие фигуры называют равными (конгруэнтными). Две фигуры, равные третьей, равны и между собою – такое утверждение было сформулировано еще Евклидом, основоположником геометрии.

Понятие конгруэнтных фигур может быть объяснено и более простым языком: равными называются такие фигуры, которые полностью совпадут при наложении их друг на друга.

Это достаточно легко определить, если фигуры даны в виде неких предметов, которыми можно манипулировать – например, вырезаны из бумаги, поэтому в школе на уроках нередко прибегают к такому способу объяснения данного понятия. Но две фигуры, начерченные на плоскости, нельзя физически наложить друг на друга. В данном случае доказательством равенства фигур выступает доказательство равенства всех элементов, составляющих эти фигуры: длина отрезков, размер углов, диаметр и радиус, если речь идет об окружности.

Равновеликие и равносоставленные фигуры

С равными фигурами не следует смешивать равновеликие и равносоставленные фигуры – при всей близости данных понятий.
Равновеликими называются такие фигуры, которые имеют равную площадь, если это фигуры на плоскости, или равный объем, если речь идет о трехмерны телах. Совпадение всех элементов, составляющих данные фигуры, не является обязательным. Равные фигуры будут равновеликими всегда, но не всякие равновеликие фигуры можно назвать равными.

Понятие равносоставленности чаще всего применяют к многоугольникам. Оно подразумевает, что многоугольники можно разбить на одинаковое количество соответственно равных фигур. Равносоставленные многоугольники всегда являются равновеликими.

На рисунках 102 и 103 изображены три фигуры, каждая из которых ограничена замкнутой ломаной, состоящей из четырех звеньев AB, BC, CD, DA.

Чем отличаются границы фигур на рисунке 102 от границы фигуры на рисунке 103 ? На рисунке 102 звенья ломаных не пересекаются.

Фигуры, изображенные на рисунке 102, называют четырехугольниками.

На рисунке 104 изображены треугольники, на рисунке 105 − пятиугольники, на рисунке 106 − шестиугольники.

Все эти фигуры являются примерами многоугольников. Фигура, изображенная на рисунке 103, многоугольником не является.

Каждый многоугольник имеет вершины и стороны. Так, на рисунке 102, a точки A, B, C, D − вершины четырехугольника, отрезки AB, BC, CD, DA − его стороны, а углы A, B, C, D − углы четырехугольника.

Многоугольник называют и обозначают по его вершинам. Для этого надо последовательно записать или назвать все его вершины, начиная с любой.

Изображенные на рисунке 102 четырехугольники можно назвать, например, так : ABCD, или BCDA, или DCBA и т.п.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют его периметром.

Два многоугольника называют равными, если они совпадают при наложении.

На рисунке 107 изображены два равных семиугольника.

Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении.

На рисункее 108 изображены фигуры, совпадающие при наложении. Эти фигуры равны.

Цель урока: Создать условия для формирования умения находить равные фигуры разными способами.

Планируемые результаты :

Предметные УУД : сформировать представление о равных фигурах как фигурах совпадающих при наложении, научить находить равные фигуры способом подсчета клеток внутри фигуры, способом наложения кальки на фигуры.

Регулятивные УУД : с помощью учителя ставят цель; осуществляют контроль; оценивают; проводят коррекцию знаний;

Познавательные УУД : самостоятельно пользуются предложенной информацией, представленной в различных видах; на её основе осуществляют выбор оптимального решения;

Коммуникативные УУД : сотрудничают с одноклассником и учителем.

Личностные УУД : проявляют учебную и коммуникативную активность

Планируемый результат:

· умение находить равные геометрические фигуры, разные способы

· умение выдвигать гипотезы;

Методы и приемы организации учебной деятельности учащихся: объяснение нового материала по вопросам и заданиям учебника.

Читайте также: