Как сделать равносторонний ромб
Обновлено: 04.07.2024
• Продолжать знакомить учеников о такой геометрической фигуре, как ромб;
• Закрепить знания о таких понятиях, как ромб и квадрат, а также научиться определять их разницу;
• Освежить знания школьников о свойствах и признаках ромба;
• Продолжать совершенствовать знания учащихся о геометрических фигурах в процессе решения задач.
• Вызвать заинтересованность к урокам геометрии.
Задачи урока
• Повторить, обобщить и закрепить полученные знания о такой геометрической фигуре, как ромб;
• Продолжать формировать умения и навыки построения геометрических фигур;
• Усовершенствовать навыки построения ромба с помощью чертежных инструментов;
• Продолжать закреплять знания школьников с использованием практических заданий;
• Продолжать развивать внимание, усидчивость и стремление к познавательному процессу.
План урока
Определение ромба, как геометрической фигуры
Ромб - это такой параллелограмм, у которого все стороны равны. Если же ромб имеет прямые углы, то он называется квадратом.
Сам термин "Ромб" в переводе с греческого языка, обозначает "бубен". Конечно же в нашем понимании бубен, как музыкальный инструмент, имеет круглую форму. Но это сейчас бубны делают круглыми, а в древние времена он как раз и имел квадратную форму или форму ромба.
Давайте остановимся на основных определениях ромба и попробуем понять, что же являет собой эта геометрическая фигура.
Ромб – это такой равносторонний параллелограмм, у которого равные стороны, но неравные углы.
Ромбом можно считать и равносторонний четырехугольник, который имеет два противоположных угла острых и два тупых.
В отличие от квадрата, ромб – это равносторонний косоугольник.
Свойства ромба
1. Первым свойством ромба принято считать то, что ромб является параллелепипедом, так как его противолежащие стороны попарно параллельны, AB//CD, AD//BC.
2. Вторым его свойством является то, что все диагонали ромба пересекаются под прямым углом. В точке пересечения диагонали ромба делятся пополам.
3. Биссектрисами углов ромба являются его диагонали.
4. Чтобы найти сумму квадратов диагоналей ромба, необходимо квадрат его стороны умножить на четыре.
5. Противолежащие стороны ромба равны;
6. Сумма углов ромба, которые прилежат к одной его стороне, равна 180 градусов.
Признаки ромба
Параллелограмм является ромбом в том случае, если он соответствует следующим условиям:
1. Во-первых, у него все стороны равны между собой;
2. Во-вторых, диагонали ромба пересекаются под прямым углом.
3. В-третьих, если диагонали его углов являются биссектрисами.
4. В-четвертых, если его две смежные стороны равны между собой.
5. В-пятых, если хотя бы одна из диагоналей является биссектрисой параллелограмма.
Теоремы и их доказательство
Теперь давайте более подробно рассмотрим свойства и признаки ромба, доказав теоремы:
Из этого следует, что:
1. У ромба две оси симметрии – диагонали AC и BD.
2. Его диагонали взаимно перпендикулярны.
3. А также являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба
Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Но так как ромб, по сути, это параллелограмм, то его площадь можно узнать, умножив его стороны на высоту.
Формулы площади ромба:
Где: a – является стороной ромба
D – обозначается его большая диагональ
d – имеет обозначение меньшая диагональ
α – это острый угол
β – является тупым углом
Площадь любой геометрической фигуры является частью поверхности, которая ограничивается замкнутым контуром данной фигуры. А величина площади ромба выражается числом заключающихся в него квадратных единиц.
Как нарисовать ромб
Чтобы нарисовать ромб воспользуемся свойствами диагоналей ромба. Нам уже известно, что диагонали нашей геометрической фигуры взаимно перпендикулярны и делятся пополам в точке пересечения. Поэтому построение ромба проще всего начать с построения его диагоналей.
Первый способ
И так, в первую очередь выбираем точку, от которой откладываем влево и право отрезки одной длины, в вверх и вниз одинаковые отрезки другой длины.
Теперь нам остается только соединить концы этих отрезков, и в результате мы получим ромб.
Второй способ
Ромб можно еще начертить без использования диагоналей. В этом случае нужно определить лишь концы диагоналей и потом соединить точки отрезками.
Третий способ
И наконец, третий способ, черчения ромба можно выполнить при помощи линейки. Так как мы с вами знаем, что ромб имеет равные стороны, то вначале нужно нарисовать его нижнюю часть. Затем необходимо отложить от нее равный отрезок. А так как третья сторона параллельна первой, то соединив концы первого и третьего отрезков, мы получим ромб.
Повторение
Вы уже познакомились с такой геометрической фигурой, как ромб и понимаете, что квадрат является его частным случаем.
1. Поэтому давайте вспомним определение, что такое квадрат? Дайте самостоятельно определение квадрата.
2. Какими свойствами обладает квадрат? Назовите их.
3. В чем все-таки разница между ромбом и квадратом, если квадрат является его частным случаем?
4. Какую фигуру называют четырехугольником, и относится ли ромб к этой геометрической фигуре?
5. Какие виды четырехугольников вы уже изучали? Назовите их.
6. Какие между ними существуют отличия?
Это интересно знать
Известно ли вам, что если взять прямоугольник и соединить отрезками середины его сторон, то в итоге мы получим ромб.
А если, наоборот, мы с вами возьмем ромб и попробуем соединить его середины сторон отрезками, то мы получим такую геометрическую фигуру, как прямоугольник.
Если вы возьмете параллелограмм с равными высотами, то такой параллелограмм является ромбом.
Интересные факты
А знаете ли вы, что названием карточной масти бубны, имеющего ромбическую форму, появилось еще в те времена, когда бубен имел далеко не круглую форму, а вид ромба или квадрата.
Впервые слово "ромб" в своем лексиконе был использован Герроном и Паппой Александрийским.
Домашнее задание
1. Как вы думаете, является ли ромбом параллелограмм, который имеет хотя бы один прямой угол?
2. Верно ли утверждение, что каждый параллелограмм является ромбом?
3. Если диагонали параллелограмма равны 5 см и 7см, может ли быть ромбом этот параллелограмм?
4. Если диагонали параллелограмма равны, то может ли он быть ромбом?
5. Назовите особое свойство ромба, которым обладают его диагонали, помимо того, что они точкой пересечения делятся пополам?
6. Подумайте, где в повседневной жизни применяется такая геометрическая фигура, как ромб?
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны.
Если у ромба – прямые углы, то он называется квадратом.
Свойства ромба
1. Поскольку ромб – это параллелограмм, то все свойства параллелограмма верны для ромба.
Помимо этого:
2. Диагонали ромба перпендикулярны.
3. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.
4. Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4.
Признаки ромба
Чтобы параллелограмм оказался ромбом, необходимо выполнение одного из следующих условий:
1. Все стороны параллелограмма равны между собой ().
2. Диагонали пересекаются под прямым углом ().
3. Диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов.
Площадь ромба
Сумма внутренних углов любого четырехугольника равна \(360^\circ\) .
Свойства ромба:
\(\blacktriangleright\) Те же, что и у параллелограмма:
\(\sim\) Противоположные стороны попарно равны;
\(\sim\) Диагонали точкой пересечения делятся пополам;
\(\sim\) Противоположные углы попарно равны, а сумма соседних равна \(180^\circ\) ;
\(\blacktriangleright\) Диагонали взаимно перпендикулярны и являются биссектрисами углов ромба.
Признаки ромба.
Если для выпуклого четырехугольника выполнено одно из следующих условий, то это – ромб:
\(\blacktriangleright\) все стороны равны;
\(\blacktriangleright\) диагонали взаимно перпендикулярны и он является параллелограммом;
\(\blacktriangleright\) диагонали являются биссектрисами углов и он является параллелограммом.
Площадь ромба
1. Т.к. ромб является параллелограммом, то для него верна та же формула площади. Таким образом, площадь ромба равна произведению высоты на основание, к которому эта высота проведена.
2. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
В ромбе \(ABCD\) : \(\angle ACD = 26^\) . Найдите \(\angle ABD\) . Ответ дайте в градусах.
В ромбе диагонали перпендикулярны, тогда \(\angle CDB = 90^ - \angle ACD = 64^\) .
\(BC = CD\) , тогда \(\angle CBD = \angle CDB = 64^\) .
Так как диагонали ромба делят его углы пополам, то \(\angle ABD = \angle CBD = 64^\) .
Найдите большую диагональ ромба \(ABCD\) , если \(AB = 2\sqrt\) , а острый угол равен половине тупого.
Так как сумма односторонних углов при параллельных прямых и секущей равна \(180^\) , то сумма острого и тупого углов ромба равна \(180^\) .
Так как в данном ромбе острый угол равен половине тупого, то острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^\) .
Треугольник \(ABD\) – равнобедренный, один из углов которого равен \(60^\) , тогда треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 2\sqrt\) .
Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей ромба, тогда \(OD = 0,5 BD = \sqrt\) , следовательно, по теореме Пифагора находим: \(AO^2 + OD^2 = AD^2\) , тогда \(AO^2 + 3 = 12\) , откуда находим \(AO = 3\) . В ромбе, как и в любом другом параллелограмме, диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, \(AC = 6\) .
Острый угол ромба \(ABCD\) равен \(60^\) , одна из его сторон равна 10. Найдите меньшую из диагоналей этого ромба.
Пусть \(\angle A = 60^\) . В ромбе все стороны равны, тогда треугольник \(ABD\) – равнобедренный, у которого один из углов равен \(60^\) , следовательно, треугольник \(ABD\) – равносторонний и \(BD = 10\) .
Треугольник \(ABC\) – тупоугольный. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона, тогда \(AC > AB = BD\) , значит, \(BD\) – меньшая из диагоналей.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно \(3\) , а острый угол ромба равен \(60^\circ\) . Найдите большую диагональ ромба.
Пусть в ромбе \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\) , \(\angle DAB = 60^\circ\) , тогда \(\angle OAB = 30^\circ\) . Получаем, что \(OH\) – катет лежащий напротив угла в \(30^\circ\) , значит \(AO = 2\cdot OH = 6\) . Т.к. \(AC\) и есть большая диагональ, то \(AC = 2\cdot AO = 12\) .
Сторона ромба равна \(4\) . Расстояние от точки пересечения его диагоналей до одной из сторон равно \(1\) . Найдите площадь ромба.
Пусть в ромбе \(ABCD\) : \(O\) – точка пересечения диагоналей, \(OH\) – расстояние до стороны \(AB\) , тогда \(S_ = \frac\cdot 1 \cdot 4 = 2\) . Диагонали ромба делят его на \(4\) равных прямоугольных треугольника \(\Rightarrow\) \(S_ = 4\cdot 2 = 8\) .
Периметр ромба равен \(40\) , а диагонали относятся, как \(3:4\) . Найдите площадь ромба.
Половины диагоналей находятся в таком же отношении, как и диагонали, то есть в отношении \(3:4\) . Зная периметр, найдем сторону ромба: \(40 : 4 = 10\) . Сторона и половинки диагоналей образуют прямоугольный треугольник \(AOB\) .
Пусть \(AO=4x\) , \(BO=3x\) .
Тогда по теореме Пифагора: \((3x)^2 + (4x)^2 = 10^2\) \(\Rightarrow\) \(25x^2 = 100\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 4\) \(\Rightarrow\) \(x = 2\) . Диагонали равны \(BD=2BO=12\) и \(AC=2AO=16\) \(\Rightarrow\) \(S_ = \frac\cdot12\cdot16 = 96\) .
Во сколько раз отличаются площади ромбов, имеющие по равному углу, у которых стороны относятся как \(3:1\) ?
Пусть \(\angle B\) и \(\angle B_1\) – равные углы ромбов. Так как стороны ромбов относятся как \(3:1\) , то можно обозначить их за \(3x\) и \(x\) соответственно.
Тогда и \(\angle D=\angle D_1\) (так как у ромба противоположные углы равны). Следовательно, \(\triangle ABC\sim \triangle A_1B_1C_1\) и \(\triangle ADC\sim\triangle A_1D_1C_1\) по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, причем коэффициент подобия этих треугольников равен \(3\) . Следовательно, их площади относятся как \(9:1\) . А так как \(S_+S_=S_\) и \(S_+S_=S_\) , то \(S_1:S_2=9:1\) .
Наш проект живет и развивается для тех, кто ищет ответы на свои вопросы и стремится не потеряться в бушующем море зачастую бесполезной информации. На этой странице мы рассказали (а точнее - показали :) вам Как нарисовать равносторонний ромб . Кроме этого, мы нашли и добавили для вас тысячи других видеороликов, способных ответить, кажется, на любой ваш вопрос. Однако, если на сайте все же не оказалось интересующей информации - напишите нам, мы подготовим ее для вас и добавим на наш сайт!
Если вам не сложно - оставьте, пожалуйста, свой отзыв, насколько полной и полезной была размещенная на нашем сайте информация о том, Как нарисовать равносторонний ромб .
На рисунке выше ( ABCD ) – ромб, ( AC = DB = CD = AD ) . Так как ромб – это параллелограмм, то он обладает всеми свойствами параллелограмма, но так же есть свойства присущие только ромбу.
В любой ромб можно вписать окружность. Центр окружности, вписанной в ромб, является точкой пересечения его диагоналей. Радиус окружности равен половине высоты ромба:
Формула вычисления площади
1. По длине стороны и высоте:
Площадь ромба (S) равняется произведению длины его стороны и высоты, проведенной к ней:
S = a*h
2. По длине стороны и углу
Площадь ромба равняется произведению квадрата длины его стороны и синуса угла между сторонами:
S = a 2 *sin α
3. По длинам диагоналей
Площадь ромба равна одной второй произведения его диагоналей.
Основные свойства ромба
∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC
AC 2 + BD 2 = 4AB 2
Примеры задач
Задание 1
Найдите площадь ромба, если длина его стороны равна 10 см, а высота, проведенная к ней – 8 см.
Решение:
Используем первую формулу, рассмотренную выше: S = 10 см * 8 см = 80 см 2 .
Задание 2
Найдите площадь ромба, сторона которого равняется 6 см, а острый угол – 30°.
Решение:
Применим вторую формулу, в которой используются известные по условиям задания величины: S = (6 см) 2 * sin 30° = 36 см 2 * 1/2 = 18 см 2 .
Задание 3
Найдите площадь ромба, если его диагоналей равны 4 и 8 см, соответственно.
Решение:
Воспользуемся третьей формулой, в которой используются длины диагоналей: S = 1/2 * 4 см * 8 см = 16 см 2 .
Через основание и высоту
 |  |
Площади фигур
Площадь ромба по углу и противолежащей диагонали
Площадь ромба по углу и диагонали проведенной из этого угла
Способ расчета площади ромба
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – стороны, h – высота
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где d1, d2 – диагонали
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где a – сторона, α – угол между сторонами
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба:
где r – радиус вписанной окружности, α – угол между сторонами
Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. Ромб у которого все углы прямые называется квадратом.
Формула площади ромба: ,
где r – радиус вписанной окружности, a – сторона
Формула площади ромба через две стороны и угол между ними
a — сторона ромба;
— любой угол ромба.
Найти площадь ромба, если каждая из его сторон равна 10 см, а угол между двумя смежными сторонами равен 30 градусам.
Решение
По формуле получаем:
S = a 2 ⋅ sin ( α ) = 1 0 0 ⋅ sin ( 3 0 ∘ ) = 5 0 (см. кв.)
Ответ: 50 см. кв.
Формула площади ромба через угол и радиус вписанной окружности
Формула площади ромба через сторону и угол
Таблица с формулами площади ромба
В зависимости от известных исходных данных, площадь ромба можно вычислить по различным формулам.
| исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору) | эскиз | формула |
| 1 | сторона и высота |  |
| 2 | диагонали |  |
| 3 | диагональ и угол между сторонами | |
| 4 | диагональ и угол между сторонами | |
| 5 | сторона и угол между сторонами |  |
| 6 | радиус вписанной окружности и угол между сторонами |  |
| 7 | сторона и радиус вписанной окружности |  |
Периметр ромба
Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.
Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.
Читайте также: