Как сделать пятиугольник

Обновлено: 07.07.2024

Строительство правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля является одним из первых нетривиальных конструкций (после равностороннего треугольника и квадрата ) , которые могут быть реализованы благодаря аксиомам Евклида .

Точное построение правильного пятиугольника связано с золотым сечением и особенно с его геометрическим аналогом: золотым треугольником . Евклид предлагает построить правильный пятиугольник, вписанный в данный круг.

Но существуют и другие более быстрые методы построения, некоторые из которых обсуждаются ниже.

Другие математики или геодезисты также предлагают приблизительные построения, которые могут быть получены с помощью одного шага компаса. Это тот случай , например, Абу - л-Вафа в своей книге о непременных ремесленников на самом деле строительство ( X - го века) или Mathias Roriczer в его Geometria Дойч (1486), построенный над Альбрехта Дюрера (1525).

Резюме

Строительство по Евклиду

Евклид строит правильный пятиугольник ( равносторонний и equiangle ) , вписанный в круг. Его основным элементом является золотой треугольник : равнобедренный треугольник, углы которого с основанием в два раза больше угла наверху (таким образом, угол вверху равен 5- му плоскому углу, 180/5 = 36).

Построение золотого треугольника

На прилагаемом рисунке I - это средняя точка [AC], AC = AB, IB = ID, AD = AE = BF. Евклид демонстрирует, что треугольник ABF является золотым треугольником, используя довольно длинные свойства:

AE² = BA × BE
Степень точки относительно окружности, описанной в AEF
Угловая теорема вписана в этот же круг.

В настоящее время демонстрация проще, потому что если мы отметим AC = 1, мы получим

Таким образом, размеры треугольника ABF равны 1, 1 и . Это действительно золотой треугольник. 1 φ >>

Строительство Пентагона

Евклид доказывает, что может построить золотой треугольник, вписанный в круг.

Из золотого треугольника OA'C постройте золотой треугольник CDA, используя дугу окружности с центром A 'и радиусом A'C.
Продолжая биссектрисы углов C и D до окружности, он получает две недостающие вершины B и E.

Современные конструкции

Комментарии к анимации

В анимации используется следующее свойство: в пятиугольнике ABCDE выше, вписанном в круг радиуса 1, мы можем продемонстрировать, используя теорему Пифагора, что стороны AC и AB имеют соответствующие длины:

Действительно, AC - сторона прямого угла в прямоугольном треугольнике AA'C, два других измерения которого равны 2 и . 5 - 1 2 > - 1> >>

Что касается DC, то наличие прямых углов в четырехугольнике ACA'D позволяет утверждать, что AA '× DC = 2 × AC × A'C

На представленной анимации последние два построенных круга имеют радиусы AM и AN (см. Рисунок напротив). Однако AM - гипотенуза прямоугольного треугольника MOA, два других измерения которого равны 1 и . Таким образом, теорема Пифагора позволяет доказать, что AM действительно соответствует длине AB. 5 - 1 2 > - 1> >>

Что касается AN, это гипотенуза прямоугольного треугольника ONA, другие размеры которого равны 1, и поэтому AN хорошо соответствует длине AC. 5 + 1 2 > + 1> >>

Пентагон вписан в круг

Мы можем значительно упростить построение Евклида, придерживаясь того же принципа: строить треугольники из золота или серебра.

Нарисуйте окружность Γ с центром O и радиусом R (любую единицу).
Нарисуйте два перпендикулярных диаметра, [AC] и [BD].
Постройте середину I [OA].
Нарисуйте окружность Γ 'с центром I и проходящую через точку O (радиус R' = R / 2).
- Следовательно, Γ 'также переходит в A.
Проведите линию (d), проходящую через B и I.
- (d) пересекает Γ 'в точках E и F (E находится ближе всего к B).
Нарисуйте две окружности (дуги) Γ1 и Γ2 с центром B и радиусами BE и BF соответственно.
- Γ1 и Γ2 пересекают Γ в четырех точках (D1, D2, D3, D4).

D, D1, D2, D3, D4 образуют правильный пятиугольник.

Действительно, мы проверяем, что BOD2 - золотой треугольник, а BOD1 - серебряный треугольник (их основания - соответственно R / φ и φR, а их стороны - R ).

Другое строительство

Мы используем ортонормированную систему координат (OIJ) (конструируемая, поскольку мы знаем, как построить прямой угол и передать длину!)
Помещаем точку A (-1/2; 0) и рисуем синий круг с центром A, проходящим через J. Этот круг пересекает ось абсцисс в двух точках, пусть B будет положительной точкой абсциссы.
Рисуем зеленый круг с центром O, проходящим через J
Пусть C - середина [OB]. Параллель оси Y, проходящая через C, пересекает зеленый кружок в точке D.
С помощью компаса идентификатор длины последовательно переносится на зеленый кружок.
Таким образом, мы получаем красный пятиугольник

Демонстрация :

Теорема Пифагора в треугольнике AOJ дает AJ 2 = (1/2) 2 + 1 2 .

Или AB = AJ (лучи синего круга) и OB = AB - AO. Следовательно, OB = AJ - (1/2) или OB = , отсюда и результат, поскольку OC = 1/2 OB. ( 1 / 2 ) 2 + 1 - 1 / 2 +1>> - 1/2>

Пентагон вписан в круг, вписанный в квадрат.

Нарисуйте квадрат ABCD. Поместите E в середину [CD].
Нарисуйте окружность с центром O и радиусом OE, вписанную в этот квадрат. Γ
Поместите T в точку полупрямой [DC) так, чтобы: ET = EB.
Поместите I в середину [DT].
Нарисуйте равнобедренный треугольник OHE в H так, чтобы: OH = DI. Линия (ОН) пересекает круг в точке М. Γ
Расстояние EM - это длина сторон вписанного пятиугольника . Γ

Доказательство: Если мы называем г радиус вписанной окружности, мы можем доказать , благодаря теореме Пифагора этого . Откуда это взялось, где золотое сечение. Треугольник OEH тогда является золотым треугольником, и поэтому угол EOM составляет 72 ° (угол в центре правильного пятиугольника). E B знак равно E Т знак равно р 5 >> О ЧАС знак равно D я знак равно р 1 + 5 2 знак равно φ р >> > = \ varphi r> φ

Пентагон подошел

Метод Дюрера

В своей книге инструкции для измерения, с помощью линейки и циркуля, линий, плоскостей и твердых тел , Альбрехт Дюрер предлагает эту конструкцию , которую он считает , чтобы быть точными. Интерес к этой конструкции проистекает из реализованной экономии средств: все нарисованные окружности имеют одинаковый радиус.

Однако начерченный пятиугольник действительно равносторонний, но не равносторонний : углы основания составляют примерно 108,35 ° вместо ожидаемых 108 °, а угол вверху немного больше 109 °. Это доказательство предоставили геодезисты Джованни Баттиста Бенедетти и Клавиус .

Нарисуйте отрезок [AB]
Нарисуйте окружности радиуса AB с центрами A и B. Они пересекаются в точках I и J.
Проведите линию (d), проходящую через I и J
Нарисуйте круг с центром I и радиусом AB. Он разрезает предыдущие круги в K и L и линию (d) в M., прямые (KM) и (LM) пересекают окружности в C и E.
D таково, что CD = ED = AB

С сегментной резкой

Вдохновленные конструкцией эннеагона, мы можем нарисовать приблизительную конструкцию правильного пятиугольника с линейкой и циркулем в соответствии с методом, идентичным методу, описанному для семиугольника .

Нарисуйте окружность с центром O радиуса OX и углом AÔB = 120 °. Нарисуйте дугу окружности с радиусом XY и центром X Нарисуйте дугу окружности с радиусом YX и центром Y Эти дуги пересекаются в U Нарисуйте линии (UA) и (UB). Они вырезают диаметр (XY) в C и D От точки C на любой прямой используйте циркуль с пятью равными отрезками CE = EF = FG = GH = HI. Проведите линию (ID) и проведите ей параллель, проходящую через G (с помощью линейки и циркуля). Он разрезает (XY) в G '. Проведите линию (UG '), которая пересекает круг в точке G' '. Обращаемся к циркулю по всей окружности длиной AG '', затем находим пять вершин правильного пятиугольника, вписанного в окружность.

Примечание: чтобы сделать пятиугольник, включающий точку B, нужно было бы взять точку F '.

Согласно этой конструкции угол в центре AOG 'составляет около 72,14 градуса вместо ожидаемых 72, или относительная ошибка 1,92 на тысячу.

Этот метод позволяет сделать любой правильный многоугольник. Достаточно разделить сегмент CD на столько одинаковых секторов, сколько желаемых сторон многоугольника. Затем мы берем третью точку, начинающуюся с C (G '), мы рисуем отрезок, который соединяет его с U, и получаем G' 'на пересечении между окружностью и этим отрезком (в полуплоскости ниже XY). Погрешность центрального угла для этого метода составляет от 1,92 на тысячу до 11,7 на тысячу в зависимости от количества сторон.

\u0420\u0438\u0441\u0443\u0435\u043c \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (\u0437\u0435\u043b\u0451\u043d\u0430\u044f) , \u0442\u0430\u043a\u0443\u044e \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b \u043f\u044f\u0442\u0438\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430 \u0431\u044b\u043b\u0430 ~2,5 \u0441\u043c. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0430, \u043e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0430\u0435\u043c \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u0438\u043d\u0443 (\u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 C) \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441\u043e\u0432 (OB), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u043e\u043c \u043d\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 (\u0440\u043e\u0437\u043e\u0432\u0430\u044f) \u0441 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441\u043e\u043c AC. \u041d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f (D) \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0434\u0438\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u043c. \u0421\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (\u0441\u0438\u043d\u044e\u044e) \u0441 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u043e\u043c \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 A \u0438 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441\u043e\u043c AD. \u0422\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u0437\u0435\u043b\u0451\u043d\u043e\u0439 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0438 \u043f\u044f\u0442\u0438\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430. \u0418\u0437 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (E \u0438 F) \u043e\u043f\u044f\u0442\u044c \u043e\u0442\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 (G \u0438 H), \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 ( A E G H F). ">]" data-testid="answer_box_list">

Рисуем окружность (зелёная) , такую чтобы длина стороны пятиугольника была ~2,5 см. Затем проводим два перпендикулярных диаметра, отмечаем середину (точка C) одного из радиусов (OB), которая будет является центром новой окружности (розовая) с радиусом AC. Находим точку пересечения (D) этой окружности с диаметром. Строим новую окружность (синюю) с центром в точке A и радиусом AD. Точки пересечения с зелёной окружностью и будут углами пятиугольника. Из полученных точек (E и F) опять откладываем радиус и получаем точки (G и H), осталось только объединить полученные точки ( A E G H F).

Новые вопросы в Геометрия

50 БАЛЛОВ подобные треугольники найти: РО ОМ пожалуйста со всеми решениями и причинами, заранее благодарна

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений. Урок 3 Решу неравенство: (15 - x)2 >

СРОЧНО даю 30 балов. У рівнобедреному трикутнику АВС з основою АС АВ : АС = 2:1 , а периметр трикутника дорівнює 30см. Знайти сторони трикутника. …

Реши задачу. Чему равна сторона B G BG четырёхугольника B S T G BSTG, если B S = 3 , 7 BS=3,7, S T = 3 , 6 ST=3,6, T G = 7 , 77 TG=7,77 … , а его диагональ B T = 5 , 4 BT=5,4?

1)Площадь параллелограмм равна 90м2 две его высоты равны 9м и 15м Найдите сторона этого параллелограмм2) Сторона параллелограмм равны 18см и 9см высот … а проведения к большой стороне равна 6см Найдите длину высоте приведеной к меньшой стороне

Правильный пятиугольник (греч. πενταγωνον ) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Содержание

Свойства

К сожалению, в вашем браузере отключён JavaScript, или не имеется требуемого проигрывателя.
Вы можете загрузить ролик или загрузить проигрыватель для воспроизведения ролика в браузере.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Построение

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью, как точку B.
Постройте точку C посередине между O и B.
Проведите окружность с центром в C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

В природе

Исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. [1]

Интересные факты

Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника.

См. также

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Полезное

Смотреть что такое "Правильный пятиугольник" в других словарях:

Пятиугольник — Правильный пятиугольник (пентагон) Пятиугольник многоугольник с пятью углами. Также пятиугольником называют всякий предмет такой формы. Сумма внут … Википедия

пятиугольник — ПЯТИУГОЛЬНИК1, а, м Предмет, имеющий форму геометрической фигуры, ограниченной пятью пересекающимися прямыми, образующими пять внутренних углов. Корпус здания был выстроен пятиугольником. Профессор играючи начертил мелом на доске правильный… … Толковый словарь русских существительных

Правильный многоугольник — Правильный семиугольник Правильный многоугольник это выпуклый многоугольник, у которого все стороны и углы равны . Определение правильного многоугольника может зависеть от определения … Википедия

Правильный семиугольник — Правильный семиугольник это правильный многоугольник с семью сторонами. Содержание … Википедия

Правильный шестиугольник — (гексагон) это правильный многоугольник с шестью сторонами … Википедия

Правильный треугольник — Правильный треугольник. Правильный (или равносторонний) треугольник это правильный многоугольник с тремя сторонами, первый из правильных многоугольников. Все стороны … Википедия

Правильный девятиугольник — это правильный многоугольник с девятью сторонами. Свойства Правиль … Википедия

Правильный 17-угольник — Правильный семнадцатиугольник геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание 1… … Википедия

Правильный семнадцатиугольник — геометрическая фигура, принадлежащая к группе правильных многоугольников. Он имеет семнадцать сторон и семнадцать углов, все его углы и стороны равны между собой, все вершины лежат на одной окружности. Содержание … Википедия

Правильный восьмиугольник — (октагон) геометрическая фигура из группы правильных многоугольников. У него восемь сторон и восемь углов и все углы и стороны равны между собой … Википедия

Здравствуйте коллеги.
Сегодня построим правильный пятиугольник в окружности, попробуем начертить циркулем и линейкой фигуру.

Рисунки художников очень тесно связаны с черчением и геометрией. Если мы задумали какую-то композицию, а в ней есть геометрические фигуры, то нам необходимо знать, как изобразить предмет, что бы он не выглядел смешно, и что бы вы не выглядели дилетантом и смогли нарисовать пятиконечную звезду циркулем или в фотошопе. От этого зависит ваш авторитет художника, а значит и заказы.

Построение правильного пятиугольника не так часто встречается в рисунке, но все же есть моменты, когда нам это необходимо.

Например, нам нужно нарисовать пятиконечную звезду (пентаграмму) для картины о Советском прошлом или о настоящем Китая. Правда для этого нужно уметь создать рисунок звезды в перспективе. Это посмотрите в другом уроке.

Мы попробуем нарисовать звезду в фотошопе фронтально. Точно так же вы сможете нарисовать фигуру карандашом на бумаге. Всего лишь с помощью таких инструментов:

Как правильно нарисовать звезду, что бы она выглядела ровно и красиво, сразу не ответишь. Количество углов не четное, поэтому просто разделить окружность на равные части циркулем или линейкой не получится.

Что бы вписанный пятиугольник в окружность был пропорциональный, нам необходимо точно вычислить одну из сторон, а затем отложить этот отрезок пять раз на теле овала.

Как выглядит пятиугольник и звезда

Внизу на фото разберем, как нарисовать звезду поэтапно.
Для начала рисуем окружность с центром О.

Дальше отложим отрезок OA равный радиусу и разделим его пополам точкой B, как показано на фото внизу.

Теперь от точки В до точки С проведем прямую.

Отложим расстояние отрезка ВС на диаметральной линии окружности. Для этого можно воспользоваться циркулем. Таким образом у нас появилась точка D.

И отрезок DB. Картинка внизу.

Дальше, проведя линию от точки D к точке С, Мы получи длину равную стороне пятиугольника.

Дальше этот отрезок можно отложить на окружности. У нас появилась точка Е. Смотрим фото ниже.

Итак, одна из сторон пятиугольника у нас есть, это линия ЕС.

Такие же отрезки наносим на всей части круга. Смотрим картинку.

На этом построение правильного пятиугольника можно закончить. Что бы нарисовать звезду нужно просто соединить углы через один.

Нарисовать пятиконечную звезду циркулем можно так же, как и на нашем уроке в программе Photoshop, весь процесс такой же, только вместо программы графического редактора используем инструменты для черчения.

Так же можно посмотреть уроки построения шестиугольника, разделение на восемь частей, деление круга на семь частей, десять равных частей.

Читайте также: