Как сделать проверку уравнения
Обновлено: 08.07.2024
- Организационный момент.
- Ребята, поздоровайтесь с гостями. Повернитесь друг к другу, протяните ладошки друг другу, вот вам и моя рука, улыбнитесь и пожелайте успехов на уроке (Удачной работы). Садитесь.
- Актуализация знаний.
- Ребята, вы любите сказки? В некотором царстве, в Тридевятом государстве жили – были Иван Царевич и Василиса Прекрасная.
- Слайд №1. Однажды случилась беда. Василиса исчезла. Иван Царевич потужил, погоревал и отправился на поиски. Но куда идти, где искать? Кто похитил Василису?
Мы узнаем это, выполнив первое задание. Вы готовы помочь Царевичу?
(Выполняется задание на натуральном ряду чисел) (Карточка №1.)
- Возьмите карточку №1и простой карандаш.
- Послушайте задачу, посчитайте и обведите ответ на натуральном ряду чисел.
Скоро 10 лет Серёже,
Диме, нет ещё шести.
Дима всё никак не может
До Серёжи дорасти
А на сколько лет моложе,
Мальчик Дима, чем Серёжа? (4)
Пять синиц на ветку сели,
К ним две галки прилетели,
Сосчитайте быстро, детки,
Сколько птиц сидит на ветке ?(7)
На коньках катались дети,
Всех их вместе было десять.
Девять мальчиков из них.
А девчонок? Сколько их? (1)
2.Работа с числами.
- Найдите закономерность и продолжите ряд ещё на одно число.
3. Покорение гор. ( Слайд №5.)
Признаки предметов, составление равенств. ( СЛАД №6),
( Карточка №2. Работа в паре.)
Отправился Иван Царевич в путь. На его пути встретились горы, перевалы. Но с нашей помощью он надеется их легко покорить. На какие части можно разбить эти препятствия? ( по цвету, по форме, по размеру) Разбейте на части по форме и составьте 4 равенства, запишите. (Карточка №2.)Как обозначить части? Целое? Обозначьте. Расскажите, как найти целое? А часть?
Карточка № 3.Работа в паре.
- Возьмите карточку №3.
- Давайте разберёмся, что надо сделать в каждом выражении.
(Выполняете это задание - в парах)
- Кто выполнит, поднимаете руки .
а +к к + а а +в а - в 9 –х 4с – к с + к а - 9 а – 8 у+5 7
-Назовите равенства. Неравенства. Уравнения.
- Что значит решить уравнение? ( Решить уравнение – это значит найти неизвестное число.)
Проверка по( Слайду №9)
IV. Подготовка к изучению нового материала.
Пошёл Иван Царевич дальше. Но его уже поджидал Змей Горыныч, посланный Кощеем. ( Слайд №10 ) Как сразиться со Змеем? Нужно победить все три головы Змея Горыныча. Для этого мы должны разобраться с его головоломками.
Приготовил Змей Горыныч вот такое задание:
- Отметьте в уравнениях и на схемах целое и части.
- Как заполнить схему к каждому уравнению?
(Мы не можем. У нас нет уравнений.)
- Давайте обратимся к нашим учебникам – волшебным книгам, в которых, может быть, найдём заклинание: как победить Змея Горыныча.
(Слайд №11) . Дети заполняют схемы и защищают их у доски.
(Работа по учебнику стр. 64, №2. Защита схем по рядам и парами).
Решение уравнений по составленному плану.
С.64, задание № 2, прочитайте задание нашей книги. Составляем план действия.
- Чтение задания.
- Определение целого и частей в уравнении.
- Обозначение на схеме.
- Проговаривание правила.
- Решение уравнения.
- Решение первого уравнения. ( На доске).
- Х – 8= 2;
( Слайд № 12.) Проверка правильности решения.
V.Открытие нового знания и формулирование темы урока.
А вы уверены, что мы решили правильно? Вдруг решения найдены не верно. Ведь мы могли ошибаться в вычислениях и тогда Иван Царевич никогда не встретиться с Василисой Прекрасной: Как вы думаете, что нам сделать, чтобы избежать ошибок? (надо сделать проверку). Как нам выполнить проверку ? ПРОБЛЕМА.
Определение темы урока. Дети формулируют тему урока.
Чем мы с вами будем заниматься на уроке? (Выполнять проверку решения уравнения)
Поиск решения проблемы.
Давайте позовём на помощь знакомого нам мальчика Петю. Посмотрите, как он это делал. Слайд № 13.
- Он взял число, которое получил при решении уравнения и подставил его вместо буквы.
- Что он делает потом? (Находит значение выражения, которое у него получилось?
_ Почему в проверке записано такое равенство: 2=2?
- Что нового узнали?
- Полезно это знание для нас?
Работа по учебнику. Стр.64 №3.
Карточка № 5. (Алгоритм проверки)
9 – х = 3 1.Пишу уравнение.
Х = 9 – 3 2.Отмечаю целое и части. Неизвестна часть;
Х = 6 3.Чтобы найти неизвестную часть…
Проверка: 5. Пишу: х =6
- – 6 = 3 6. Делаю проверку: подставляю вместо х в
уравнение найденное число, 9-6 равно 3.
3 = 3 7. 9-х =3 и 9-6 = 3, значит х =6
СТР.64,№ 2, с проверкой, используя алгоритм проверки.
Решение уравнений по алгоритму. Проверка по слайду №14.
Все задания Змея Горыныча мы с вами выполнили и победили его. И путь в царство Кощея свободен. Осталось через речку перебраться. В виде какой геометрической фигуры можно изобразить речку? ( Кривая Линия).
1 .Отметьте у себя в тетради простым карандашом точку. Нарисуйте карандашом замкнутую кривую линию, так чтобы точка была внутри неё. А синим цветом проведите через эту точку прямую линию. Как сделать из прямой линии отрезок? Вот и получился у нас мостик.
Поможем Ивану Царевичу пройти по мосту.
Топнем правою ногой, топнем левою ногой, Снова – правою ногой, снова – левою ногой, после – правою ногой, после – левою ногой.
Мы работали отлично,
Отдохнуть не прочь сейчас,
Ведь зарядка так привычно
Расслабляет сразу нас.
Выше руки, выше ноги,
Я попрыгаю как зайка
Станет легче и бодрей.
2.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону. Используются памятки. Работа по рядам. Стр. 64 №4. (Слайд 17)
Я _____знаю, запомнил, смог.
* Как же выполнить проверку уравнения?
*Сравним проверку по эталону.
* У кого всё правильно?
* У кого есть ошибки?
VII. Тренировочные упражнения. Слайд №18.
А) Купили 8 тарелок. За обедом 2 тарелки съели. Сколько тарелок осталось? (нереальное условие)
Б) на дереве сидели 7 ворон. 4 вороны улетели. (нет вопроса)
В) Леший нашёл рыжики и подберёзовики. Сколько всего грибов он нашёл? (неполное условие)
Давайте дополним последнюю задачу и решим её устно.
Что нужно найти?
Как это сделать?
На карточках записаны числа, необходимо найти два числа в каждом ряду, чтобы получить число 10.
Карточка № 4. Работа в малых группах.
Работаем в малых группах, помогая друг другу.
VIII. Итог урока.
Молодцы ребята! Сколько добрых дел мы с вами сделали, спасая Василису. Стали они жить долго и счастливо. Слайд №22 .Что нового вы узнали на уроке?
Что повторили из того, что уже знали?
Когда вам могут пригодиться знания сегодняшнего урока?
Каждый из вас сегодня сделал много добрых дел, помогая Ивану Царевичу. Но работали по – разному. Я предлагаю каждому из вас подвести итог своей работы.
- Если вам было тяжело с нами, и вы не знали и не справлялись с заданиями – возьмите красный кружочек.
- Если у вас немножко не получилось - возьмите жёлтый кружочек.
- Ну, а если у вас было очень хорошее настроение и вы справились со всеми испытаниями быстро – возьмите зелёный кружочек. Покажите нам. А теперь давайте поблагодарим наших гостей за внимание и скажем им до свидания.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Презентация к уроку Уравнение. Проверка решения уравнения
Урок - сказка.Уравнение. Проверка решения уравнения.Цель урока: Обучающая:сформировать умение выполнять проверку решения уравнения;закрепить умение решать и оформлять решение уравнения;закрепить .
Математика. 1 класс. Урок 71. Уравнение. Проверка решения уравнения - Презентация
Урок-сказка по теме: "Уравнение. Проверка решения уравнения"
Открытый урок по математике в 1-м классе по ОС "Школа 2100".
Презентация к уроку-сказке по теме: "Уравнение. Проверка решения уравнения"
Презентация к открытому уроку по математике в 1 классе по ОС "Школа 2100".
Презентация к уроку математики "Уравнение.Проверка решения уравнения"
Презентация к уроку математики "Уравнение.Проверка решения уравнения", 1 класс, УМК "Школа 2100".
Математика, 4 класс Система Л. Занкова .Тема урока: Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений. Закрепление пройденного материала.
Урок математики в 4 классе по теме "Решение уравнений. Решение задач с помощью уравнений. Закрепление пройденного материала." Система Л.В.Занкова.
Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.
Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.
Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении.
Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.
Обязательная и дополнительная литература по теме урока:
3. Петерсон Л. Г. математика 3 класс. Часть 2. Ювента, 2015.-96с.: ил. С.77-78
Теоретический материал для самостоятельного изучения:
376 + 282; (х - у) : 3
Являются ли эти записи уравнениями?
Уравнение – это равенство с неизвестным числом. Неизвестное число обозначают латинской буквой.
Рассмотрите другие записи:
24 + х = 49; 24 + х = 79 - 30
Это уравнения, так как это равенства, содержащие переменную.
Попробуем их решить.
Что значит решить уравнение?
Решить уравнение – это значит найти значение неизвестного, при котором равенство будет верным.
Вспомните алгоритм решения уравнений.
- Вспомнить компоненты действия данного уравнения.
- Определить неизвестный компонент.
- Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.
- Применить правило и найти неизвестный компонент.
- Записать ответ.
- Сделать проверку
Используя алгоритм, решите первое уравнение
Значение неизвестного х = 25. Это корень уравнения.
Корень уравнения – это значение неизвестного, обозначенного латинской буквой в уравнении. В данном случае – это х.
Можно ли решить второе уравнение, используя этот же алгоритм?
Такие уравнения не рассматривались. Какова же цель нашего урока?
Цель урока: научиться решать уравнения, в которых в ответе не число, а числовое выражение.
Чтобы решить это уравнение, нужно упростить правую часть.
24 + х = 79 - 30, после чего получаем уравнение известного вам вида
Ответ: корень уравнения 25
Составим алгоритм решения составных уравнений.
Алгоритм решения составных уравнений
1. Найти значение числового выражения.
2. Вспомнить компоненты действия данного уравнения.
3. Определить неизвестный компонент.
4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.
5. Применить правило и найти неизвестный компонент.
6. Записать ответ.
7. Сделать проверку.
Решим еще одно уравнение:
Применяем алгоритм решения составных уравнений:
- Найти значение числового выражения: 75 - х = 9 ∙ 7
- Вспомнить компоненты действия данного уравнения: 75 - х = 63
3. Определить неизвестный компонент.
4. Вспомнить правило нахождения неизвестного компонента.
5. Применить правило и найти неизвестный компонент.
6. Записать ответ.
7. Сделать проверку.
Ответ: корень уравнения 12
Вывод: чтобы решить составное уравнение, в которых в ответе не число, а числовое выражение, необходимо упростить правую часть ( т.е решить выражение), после чего получаем уравнение известного вам вида и решаем его, используя алгоритм решения уравнений.
Решим задачу, составив уравнение:
Сумма неизвестного числа и числа 390 равна произведению чисел 70 и 6. Найди это число.
1. Сумма неизвестного числа и числа 390 – обозначим неизвестное число переменной х, тогда получим х + 390
Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.
Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной \(х\) не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:
Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:
Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение \(х\). Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.
И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:
И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.
Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.
Простейшие показательные уравнения
Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:
Пример 1 $$ 2^x=8;$$
Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо \(х\) даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:
Значит, если \(х=3\), то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.
Решим что-нибудь посложнее.
Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:
Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:
Теперь наше уравнение будет выглядеть так:
Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны \(3\), только вот степени разные – слева степень \((4х-1)\), а справа \((-2)\). Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:
Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.
Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.
Пример 3 $$125^x=25;$$
Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что \(125=5*5*5=5^3\), а \(25=5*5=5^2\), подставим:
Воспользуемся одним из свойств степеней \((a^n)^m=a^\):
И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:
И еще один пример:
Пример 4 $$2^x=-4;$$
Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить \(2\) в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.
Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.
Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.
Общий метод решения показательных уравнений
Пусть у нас есть вот такой пример:
Где \(a,b\) какие-то положительные числа. (\(a>0, \; b>0\).
Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.
Слева у нас уже стоит \(a^x\), с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число \(b\), которое нужно попытаться представить в виде \(b=a^m\). Тогда уравнение принимает вид:
Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:
Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:
Замечаем, что \(16=2*2*2*2=2^4\) это степень двойки:
Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:
$$x=4.$$
Пример 6 $$5^=125 \Rightarrow 5^=5*5*5 \Rightarrow 5^=5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^=81 \Rightarrow (3*3)^=3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^=3^4 \Rightarrow 3^=3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac.$$
Здесь мы заметили, что \(9=3^2\) и \(81=3^4\) являются степенями \(3\).
Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:
Пример 8 $$ 3^x=2;$$
\(3\) и \(2\) привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число \(b>0\), тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице \(a>0, \; a \neq 1\):
Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим \(2\) в виде \(3\) в какой-то степени, где \(a=3\), а \(b=2\):
Подставим данное преобразование в наш пример:
Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:
Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.
Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.
Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.
Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:
Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.
И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\).
Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа \(a^x=b\), где \(a>0; \; b>0\). Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:
Решение показательных уравнений при помощи замены
Пример 10 $$ 9^x-5*3^x+6=0;$$
Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.
Здесь это сделать легко, замечаем, что \(9=3^2\), тогда \(9^x=(3^2)^x=3^=(3^x)^2\). Здесь мы воспользовались свойством степеней: \((a^n)^m=a^\). Подставим:
Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:
Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:
И второй корень:
И еще один пример на замену:
Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание \(3\). Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член \(3=2+1\) и вынести общий множитель \(2\):
Подставим в исходное уравнение:
Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:
Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:
И второе значение \(t\):
Тут у нас две показательные функции с основаниями \(7\) и \(3\), и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на \(3^x\):
Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:
Разберем каждое слагаемое:
Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:
Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену \(t=(\frac)^x\):
Сделаем обратную замену:
И последний пример на замену:
Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:
Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:
Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны - отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!
И последнее слагаемое со степенью:
Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:
Теперь можно сделать замену \(t=2^x\) или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель \(2^x\)):
Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.
И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут
Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании \(2\), \(5\) и \(10\). Очевидно, что \(10=2*5\). Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:
Воспользуемся формулой \((a*b)^n=a^n*b^n\):
И перекинем все показательные функции с основанием \(2\) влево, а с основанием \(5\) вправо:
Сокращаем и воспользуемся формулами \(a^n*a^m=a^\) и \(\frac=a^\):
Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.
Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!
Частые ошибки, необходимая краткая теория, статистика прошлых лет во 2й части ЕГЭ по математике профильного уровня.
Подробный разбор метода координат в стереометрии. Формулы расстояния и угла между скрещивающимися прямыми. Уравнение плоскости. Координаты вектора. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями. Выбор системы координат.
Урок по теме логарифмы и их свойства. Разбираемся, что такое логарифм и какие у него свойства. Научимся считать выражения, содержащие логарифмы. И рассмотри несколько возможных заданий №9 из ЕГЭ по профильной математике.
Разбираем, как вычислить степень с рациональным (дробным) показателем. Свойства степени с рациональным показателем. Примеры решения задания №9 из ЕГЭ по математике профильного уровня.
Что такое корень n-й степени. Познакомимся со свойствами коня n-й степени и методами оценки значения корня. Разберем какая у него областью определения.
Знакомимся с понятием степени с натуральным показателем и ее свойствами. Разбор преобразования сложные степенных выражений на примерах.
Цикл уроков про степени и логарифмы и их свойства. Учимся решать показательные и логарифмические уравнения и неравенства. Задания №9 и №15 ЕГЭ по профильной математике.
Индивидуальные занятия с репетитором для учеников 6-11 классов. Для каждого ученика я составляю индивидуальную программу обучения. Стараюсь заинтересовать ребенка предметом, чтобы он с удовольствием занимался математикой и физикой.
Часто приходится описывать реальную ситуацию, процесс, явление с помощью математического языка.
Математический язык- универсальный язык, с помощью него можно однозначно и кратко описать многие закономерности, процессы, задачи и т.д.
Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.
Описывая реальность с помощью математического языка, люди создают математические модели, превращающие слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.
Математическая модель дает возможность решать огромное количество практических (природных, технических, научных, экономических, социальных и других) задач.
Математические модели делят на:
- Словесные.
- Графические (схемы, графики, чертежи, рисунки и т.д.).
- Аналитические (алгебраические: числовые равенства, неравенства, уравнения, формулы и т.д.).
На данном уроке подробно рассмотрим одну из аналитических математических моделей- уравнение.
Выясним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения.
Рассмотрим простейшие виды уравнений.
Разберем способы и приемы решения уравнений с одним неизвестным.
Рассмотрим алгоритм и примеры решения задач с помощью уравнений.
Уравнения
Часто при решении задач приходится составлять равенства.
В математике различают два вида равенств: тождества и уравнения.
Тождества- это числовые равенства, а также равенства, которые выполняются при всех допустимых значениях переменных, входящих в него.
Уравнение- это равенство, содержащее неизвестные числа, обозначенные буквами, значение которых можно определить.
Чаще всего в математике неизвестные величины обозначают маленькими буквами латинского алфавита x, y, z.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Долгое время в математических выкладках не использовали буквенные обозначения и записывали выражения и уравнения словами.
В 1591 году французский ученый философ Франсуа Виет ввел буквенные обозначения. Он предложил использовать гласные буквы латинского алфавита для названия величин, а согласные для неизвестных.
Позже другой французский ученый, философ Рене Декарт предложил иную систему обозначений, связанную с латинскими буквами (которую используют по сегодняшний день).
Для неизвестных было предложено использовать последние буквы латинского алфавита (х, у, z), а для известных величин первые буквы латинского алфавита (а, b, c)
Пример 1:
4 + х = 18 является уравнением с неизвестной х.
12у - 5 = 19 является уравнением с неизвестной у.
(2 + z) - (3 - 1) = 2 является уравнением с неизвестной z.
Все три записи являются равенствами, в каждом из них есть неизвестное число, обозначенное буквой.
Пример 2:
4х - 18 не является уравнением, так как не является равенством.
24 - 5 = 19 не является уравнением, так как не содержит неизвестную.
у + 2 > 12 не является уравнением, так как не является равенством.
Решить уравнение- это значит найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство.
Уравнение считается решенным, если все его решения найдены или доказано, что уравнение решения не имеет.
Значение неизвестного, обращающее уравнение в верное равенство, называют корнем уравнения.
Следовательно, если в уравнение вместо неизвестной подставить ее численное значение и получится верное числовое равенство, то это значение неизвестной будет решением этого уравнения.
Дано уравнение 12 - х + 3 = 10.
1) Пусть х равно 6, получаем
12 - 6 + 3 = 10
9 ≠ 10 (девять не равно десяти)
При подстановке вместо неизвестного число 6, получаем неверное числовое равенство 9 ≠ 10, т.е. число 6 не является корнем уравнения.
2) Пусть х равно 5, получаем
12 - 5 + 3 = 10
10 = 10
При подстановке вместо неизвестного число 5, получаем верное числовое равенство 10 = 10, т.е. число 5 является корнем уравнения.
Уравнение может иметь разное количество корней: существуют уравнения, имеющие один единственный корень, уравнения, имеющие два, три корня.
Встречаются уравнения, вообще не имеющие верного решения, и даже такие уравнения, решением которых являются бесконечное множество решений.
7 - х = 4 уравнение имеет один корень, х = 3, любое другое значение х будет давать неверное равенство.
х = х - 15 уравнение не имеет решения, так как любое значение неизвестного х будет данное равенство обращать в неверное, не существует таких чисел, которые были бы меньше самого себя.
0 ⋅ y = 0 уравнение имеет бесконечное множество верных решений, так как при умножении любого числа на 0, получается 0.
Уравнение, содержащее одну неизвестную, называют уравнением с одной неизвестной.
Уравнения с большим количеством неизвестным называют соответственно уравнением с двумя, тремя и т.д. неизвестными.
Такие уравнения и их решение будете рассматривать в старших классах.
Например, 26 - 2х = 23 - х- это уравнение с одной неизвестной х.
53 - х = 19у- это уравнение с двумя неизвестными х и у.
Любое уравнение имеет левую и правую часть.
Выражение, стоящее слева от знака равно, называют левой частью уравнения, а выражение, которое стоит справа, правой частью уравнения.
Каждый компонент, из которых состоит уравнение, называют членами этого уравнения.
Обычно все члены уравнения, содержащие неизвестное, следует группировать в левой части уравнения, а известные - в правой.
Чаще всего уравнение записывают в левой части страницы, справа делают письменные вычисления (вычислительные операции).
При решении уравнения каждое новое равенство записывается с новой строки (т.е. решение оформляется в виде столбика равенств).
Таким образом, знак равенства при решении уравнения используют только один раз в каждой строке.
Читайте также: