Как сделать проверку интеграла

Обновлено: 04.07.2024

Проверка правильности нахождения неопределенного интеграла основана на первом свойстве неопределенного интеграла, в соответствии с которым производная найденного неопределенного интеграла должна быть равна подынтегральной функции.

Следовательно, для проверки результата интегрирования достаточно найти производную этого результата и сравнить с подынтегральной функцией. В случае равенства производной и подынтегральной функции делается вывод о правильности нахождения неопределенного интеграла.

Пример. Вычислить следующий неопределенный интеграл и сделать проверку:

вытекает, что функция F (x) = sin 2x является первообразной функции f (x) = 2 cos 2x .

Замечание . Функция F (x) = sin 2x не является единственной первообразной функции f (x) = 2 cos 2x , поскольку функция F (x) = sin 2x + 10 , или функция F (x) = sin 2x – 3 , или функции вида F (x) = sin 2x + c , где c – любое число, также являются первообразными функции f (x) = 2 cos 2x .

Справедлива следующая теорема, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики.

Теорема 1 . Если функция F (x) является первообразной функции f (x) на интервале (a, b) , то любая другая первообразная функции f (x) на интервале (a, b) имеет вид

где c – некоторое число.

Неопределенный интеграл

Определение 2 . Множество всех первообразных функции f (x) называют неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначают

Если F (x) является первообразной f (x) , то в силу теоремы 1 смысл формулы (1) заключается в следующем:

Однако для упрощения формулу (2) принято записывать в виде

подразумевая, но не указывая специально, что c – любое число.

В формуле (3) функцию f (x) называют подынтегральной функцией, выражение f (x) dx нызывают подынтегральным выражением, а число c называют постоянной интегрирования.

Операцию вычисления (взятия) интеграла по известной подынтегральной функции называют интегрированием функции.

Правила интегрирования. Замена переменной в неопределенном интеграле

Вычисление интегралов (интегрирование) основано на применении следующих правил, которые непосредственно вытекают из правил вычисления производных.

Правило 1 (интеграл от произведения числа на функцию) . Справедливо равенство

где k – любое число.

Другими словами, интеграл от произведения числа на функцию равен произведению этого числа на интеграл от функции.

Правило 2 (интеграл от суммы функций) . Интеграл от суммы функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций.

Правило 3 (интеграл от разности функций) . Интеграл от разности функций вычисляется по формуле

то есть интеграл от разности функций равен разности интегралов от этих функций.

Правило 4 (интегрирование при помощи замены переменной) . Из справедливости формулы

Доказательство правила 4. Воспользовавшись формулой для производной сложной функции, вычислим производную от правой части формулы (4):

Мы получили подынтегральную функцию из левой части формулы (4), что и требовалось.

Замечание. Рассмотрим частный случай формулы (4), когда функция φ (x) является линейной функцией, то есть

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл. Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Интегрирование было популярно ещё в давние времена. Хотя это не использовалась в текущем варианте, но всё же. В ту эпоху математики написали книги на эту тему. Ньютон и Лейбниц отличались своими особенностями, но смысл вообще не поменялся.

Прежде чем выяснить такое определение, вам всё еще необходимо базовое понимание принципов математического изучения.

Неопределённый интеграл

Предположим, мы используем данную функцию наподобие символов f (x).

Непонятный интеграл f (x) – это формула с двумя буквами F (x), производная которой равна формула с двумя буквами f (x).

Так или иначе, называется обратной производной или обратным интегралом. Кстати, рекомендуем прочесть статью про то, как их рассчитать.

Он имеется для всех постоянных функций. Кроме того, нередко добавляется символ константы, поскольку производные различных функций константы подобны. Действие интегрального поиска – вот потому и является интеграцией.

Чтобы регулярно не пересчитывать примитивные простых функций, их пригодно объединить в таблицу и использовать готовую значительность.

Определенный интеграл

Это определение называется постоянной малой степенью, способная определить площадь фигуры, массу неоднородного тела, путь, по которому находится переменное движение и прочее. Стоит знать, что это сумма постоянно множества безмерно небольших слагаемых.

Для поиска площади фигуры по узкому графику функции необходимо использовать интеграл! Неровную трапецию, узкую по координатным осям и графику функции разделим на безмерно небольшие части. Это разделит фигуру на тонкие столбцы. Сумма величины столбцов является величиной трапеции. Однако не стоит забывать, что подобный расчёт придаст приблизительный итог. Но чем менее и уже сегменты, тем вернее станет расчётом. При их сокращении величина приблизится к нулевой отметки. Тогда сумма площадей сегментов устремится к площади фигуры.

Расстояние a и b являются пределами интегрирования. Для примера можно составить подобный график.

Правила вычисления для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Перед тем как решать, проанализируем самые подходящие особенности, пригодные для решения элементарных примеров.

Прежде всего, мы подчеркнём, что данное равенство относительное. Его следует понимать как равенство правой и левой частей с определённостью до любого постоянного слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до любого постоянного слагаемого.

Собственно, пусть F (x) – это будет интеграл для функции f (x), то бишь F’ (x) = f (x) Значит AF (x) – это для функции, Af (x), поскольку [AF (x)]’ = AF’ (x) = Af (x).

Данное равенство (также и в предыдущем свойстве) следует понимать как равенство правого и левого элементов с определённостью до свободного одинакового слагаемого, поскольку каждый из них вычислен с определённостью до свободного одинакового слагаемого.

Собственно, пусть F(x) и G(x) – используются для таких математических символов: f (x) и g (x), то бишь F’(x) = f(x), G’(x) = g(x). Значит F(x) + G(x) – это интеграл для математических символов, f (x) = g (x), поскольку [F(x) = G(x)’] = F’(x) + G’(x) = f(x) = g(x).

Подчеркнём, что это свойство объективно для любого конечного числа слагаемых функции.

Свойства определенного интеграла

Как его рассчитать? Для этого нужна формула Ньютона-Лейбница.

Мы уже узнали, что предельная сумма – это конкретный интеграл.

Допустим, формула y = f(x) обусловлена в интервале [a, b], a

1) сперва мы разделим [a, b] точками a = x0

2) в каждом из фрагментарных отрезков [xi-1, xi], i = 1, 2, . n, мы выбираем случайную точку и вычисляем в ней значимость функции: f (zi);

3) находим действия f (zi) · Δxi, где – длина неполного разреза [xi-1, xi], i = 1, 2, . n;

4) создадим совокупную сумму y = f(x) на отрезке [a, b]

С учётом геометрии такая совокупность составляет необходимую сумму площадей прямоугольников, подтверждениями которых являются выборочные отрезки [x0, x1], [x1, x2], …, [xi-1, x1], …, [xn-1, xn], но высоты одинаковы f (z1), f (z2), . f (zn) сообразно.

Когда имеется последний предел объединенной суммы, и он не связан с особенностью деления на выборочные отрезки или выбора точек zi внутри них, то – это конкретный интеграл функции y = f (x) на отрезке [a, b].

Примеры решения интегралов

Интеграл функции является основным понятием интегрального исчисления. Интеграл широко используется при решении целого ряда задач по математике, физике и в других науках. Именно поэтому мы собрали на сайте более 100 примеров решения интегралов и постоянно добавляем новые! Список тем находится в правом меню.

Перед изучением примеров вычисления интегралов советуем вам прочитать теоретический материал по теме: определения, свойства и таблицу интегралов, методы их вычисления и другой материал по интегралам.