Как сделать противоположное суждение

Добавил пользователь Дмитрий К.
Обновлено: 05.10.2024

Отрицание суждения в логике – это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противоположную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два понятия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осуществления отрицания необходимо такую черту удалить.

Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (а – b) = (а V b). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот.

Необходимо упомянуть о законах де Моргана. Они применяются в процессе отрицания сложных суждений и имеют формульное выражение. Таких законов и, соответственно, формул всего четыре:

Формула, образованная при помощи законов де Моргана, выглядит следующим образом:

(а ^ b) V (с ^ е) = (а V b) ^ (с V е).

Необходимо сказать, что суждения, отрицающие друг друга, не могут быть одновременно истинными или ложными. Ситуация противоречия или отрицания характеризуется тем, что одно из противоречащих понятий всегда истинно, а другое при этом ложно. Другого положения в этом случае быть не может.

После разговора о противоположностях в диалектике понял, что надо уточнить понимание противоположностей в логике. Здесь пойдет речь о классической двузначной формальной логике (ФЛ). Не сомневаюсь, что многие из участников сообщества в основном это знают, однако, думаю, что освежить память будет полезно.
А начнем с длинного эпиграфа:)

И так, противоположности в ФЛ бывают разные. Их возможные взаимодействия иллюстрируются Логическим квадратом, который также иногда так прямо и называют Квадрат противоположностей. Противоположности бывают контрадикторными (противоречащими) и контрарными (собственно противоположными, противными).

Контрадикторные противоположные суждения подчиняются закону противоречия, поэтому они не могут быть оба истинными, и принципу исключенного третьего, поэтому одно из них истинно. Таким образом, из двух контрадикторных суждений одно и только одно истинно, из истинности одного следует ложность другого и из ложности одного – истинность другого. Контрадикторное - отрицающее высказывание (например: холодно - нехолодно, высоко - невысоко, случайно - неслучайно, человеческий - нечеловеческий и т. п.).

Контрарные противоположные суждения не могут быть оба истинными, но могут быть оба ложными. Наличие контрарного отношения между двумя суждениями является основанием для умозаключения от истинности одного из них к ложности другого. Но опровержение данного суждения с помощью контрарного ему суждения вообще говоря невозможно, т.к. при ложности опровергаемого суждения ложным может оказаться и опровергающее. Примеры - холодно - тепло, холодно - жарко, высоко - низко, случайно - закономерно.

Таким образом, в ФЛ надо четко понимать, о каких противоположностях идет речь, а иначе возможны ошибки. Не всякая противоположность входит в законы противоречия и исключения третьего, а только контрадикторная. Причем контрадикторная противоположность так и формулируется через отрицание. Если посмотреть книжки по логике, то в них такие примеры и приводятся. Собственно противоположность (контрарная), в отличие от противоречия, формулируется парами противоположных характеристик. Но такие противоположности не подчиняются законам противоречия и исключения третьего. В противном случае можно придти к ошибочному утверждению, что, например, положительный = не-отрицательный. Хотя из математики хорошо известно, что это вещи отнюдь не равные, и математика отличает положительный от не-отрицательного. Последний включает в себя помимо положительных чисел еще и ноль. Отмечу, что в сюжете, который вынесен в эпиграф, попугай и слоненок очень хорошо знают логику и не путают типы противоположностей:)

Таким образом, смысл и понимание противоположностей в ФЛ получается из того, как эти противоположности соотносятся друг с другом. Такая же ситуация и диалектики, в которой смысл противоположностей также выясняется через их взаимодействие. Ни там, ни там ничего полезного о противоположностях сказать нельзя, не указав на способ их взаимодействия.

Но еще раз, логика есть правила вывода, по словам Андрей Шумана, формализация в логике Это придумывание однозначных способов того, как из одних абстрактных объектов механически получать другие абстрактные объекты. Но сами эти абстрактные объекты ФЛ установить не может. Т.е. для того, что бы применять законы (правила) ФЛ сначала надо извне для логики установить эти абстрактные объекты. А это уже не есть задача логики, она эти задачи не решает. Причем для ФЛ все равно, где и как провести разделение на противоположности, оно задается аксиоматически. Также как все равно математики, количество чего выражается теми или иными числами. И в математике, и в логике при их использовании надо быть осторожными и внимательными, дабы не наделать ошибок. Две капли воды и две капли воды совсем не обязательно будет четыре капли, вполне может получиться двадцать капель. А не-высокий вполне может оказаться не низким, а средним, или чуть выше среднего.

Диалектик прямо так и скажет, что шесть орехов и есть единство кучи и не-кучи. И закон исключения третьего тут совершенно не причем. Не надо также забывать, что диалектика противостоит не ФЛ, а метафизики. Поэтому диалектическое единство противоположного понимает противоположности иначе, чем закон противоречия ФЛ. И ничего тут страшного нет, ведь одно и тоже слово, один и тот же термин вполне могут использоваться в разных сферах деятельности в отличающихся, вплоть до противоположности, смыслах.

Получившуюся круговую схему можно прочитать четырьмя разными способами:
1. Все планеты не являются звёздами(исходное суждение).
2. Все звёзды не являются планетами(обращение).
3. Все планеты являются не звёздами(превращение).
4. Некоторые не звёзды являются планетами(противопоставление предикату).

Проверьте себя:

1. Каким образом осуществляется операция обращения? Возьмите три каких-нибудь суждения и произведите с каждым из них обращение. Как происходит обращение во всех видах простых суждений и во всех случаях отношений между их субъектом и предикатом? Какие суждения не поддаются обращению?
2. Что такое превращение? Возьмите три любых суждения и совершите с каждым из них операцию превращения.
3. Что представляет собой операция противопоставления предикату? Возьмите три каких-нибудь суждения и преобразуйте каждое из них путём противопоставления предикату.
4. Каким образом знания о распределённости терминов в простых суждениях и умение её устанавливать с помощью круговых схем может помочь в проведении операций преобразования суждений?
5. Возьмите какое-нибудь суждение вида Aи совершите с ним все операции преобразования с помощью круговых схем и установления распределённости терминов. Сделайте то же самое с каким-нибудь суждением вида E.

2.5. Логический квадрат

Проверьте себя:

1. Какие суждения называются сравнимыми и какие – несравнимыми?
2. Что такое совместимые и несовместимые суждения? Приведите по три примера совместимых и несовместимых суждений.
3. В каких отношениях могут быть совместимые суждения? Приведите по два примера для отношений равнозначности, подчинения и частичного совпадения.
4. В каких отношениях могут быть несовместимые суждения?
Приведите по три примера для отношений противоположности и противоречия. Почему противоположные суждения могут быть одновременно ложными, а противоречащие не могут?
5. Что представляет собой логический квадрат? Каким образом он изображает отношения между суждениями? Почему логический квадрат не изображает отношение равнозначности? Как с помощью логического квадрата определять отношение между двумя простыми сравнимыми суждениями?
6. Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида Aи сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений видов E, I, O. Возьмите какое-нибудь истинное или ложное суждения вида Eи сделайте из него выводы об истинности сравнимых с ним суждений A, I, O.

2.6. Сложное суждение

Как видим, конъюнкция истинна только тогда, когда истинны оба входящих в неё простых суждения. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в неё суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция, наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в неё простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в неё простые суждения. Строгая дизъюнкция истинна только тогда, когда одно входящее в неё простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего числа простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в неё простых суждений, а все остальные ложны. Импликация ложна только в одном случае – когда её основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция истинна тогда, когда два составляющих её простых суждения истинны или когда оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение истинно, его отрицание ложно; когда утверждение ложно, его отрицание истинно.

Проверьте себя:

2.7. Логические формулы

1. Понятие сложных суждений

Понятие сложных суждений неразрывно связано с конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией, эквиваленцией и отрицанием.

Это так называемые логические связки. Они используются в качестве объединяющего звена, привязывающего одно простое суждение к другому. Именно так образуются сложные суждения. То есть сложные суждения — это суждения, созданные из двух простых.

Прежде чем рассматривать конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию и отрицание, имеет смысл дать им краткую характеристику. Данные логические связки называют логическими постоянными.

Рассмотрим сказанное выше подробнее.

Эквивалентнция характеризуется тем, что образованное сложное суждение истинно только в тех случаях, когда истинны оба простых суждения, входящих в его состав, и ложно при ложности обоих этих суждений. В буквенном выражении эквивалентность выглядит как а = b.

При отрицании суждения, отображающееся как а, истинно тогда, когда ложно отрицаемое понятие. Это связано с тем, что отрицание и отрицаемое простое суждение не только противоречат, но и исключают (отрицают) друг друга. Таким образом, получается, что, когда истинно понятие а, ложно понятие а. И наоборот, если ложно а, то отрицающее его а является истинным.

2. Выражение высказываний

Последним видом символов, при помощи которых выражаются высказывания, являются круглые скобки.

Символы, обозначающие логические термины, типы связки, характеризуются разной силой. Так, связка ^ считается самой сильной, т. е. она связывает сильнее всех остальных. Связка V сильнее, чем —, что важно только в некоторых случаях. Так, определение силы связок становится немаловажным в случае записи формул без использования скобок. Если мы имеем высказывание, выраженное формулой (a^b)V c, можно не писать скобки, а прямо указывать, что a^b V c. То же правило действует и при использовании символа — ›. Однако данное правило справедливо не во всех случаях. То есть во многих случаях недопустимо опускать скобки. Например, когда конъюнктивная связка понятия а осуществляется с двумя другими понятиями, связанными отношением импликации и отделенными круглыми скобками, опускать последние недопустимо (a^(b — c)). Это очевидно, так как в противном случае пришлось бы вначале осуществлять связку конъюнкции и только затем импликацию. Из школьного курса математики мы знаем, что опускать скобки в подобном случае нельзя. Иллюстрацией подобной ситуации может быть следующий пример: 2 X (2 + 3) = 10 и 2 X 2 + 3 = 7. Результат очевиден.

В связи со сказанным выше можно отметить, что далеко не каждое символьное выражение высказываний является формулой. Для этого необходимо наличие определенных признаков. Например, формула должна быть построена правильно. Примерами такого построения могут быть: (a^b), (a V b), (a — b), (a = b). Это построение отмечается как ППФ, т. е. правильно построенная формула. Примерами неправильно построенных формул могут быть: a^b, a V b, V b, a — b, (a^b) и др. В первых трех случаях неправильность формулы заключается в том, что понятия, объединенные связками, должны быть заключены в скобки. Последняя формула имеет незакрытую скобку, третий же пример характеризуется тем, что одно простое понятие не объединено с другим, несмотря на то что имеется символ дизъюнкции.

В своей повседневной жизни мы часто, иногда не замечая этого, пользуемся не только простыми, но и сложными суждениями. Такие суждения, как уже было сказано выше, образуются из двух или нескольких простых суждений при помощи логических связок, которые носят название дизъюнкции, конъюнкции, импликации и отрицания, а также эквиваленции. Данные связки выражаются при помощи знаков: ^ для конъюнкции, V для дизъюнкции, — > для импликации. Знаком = отображают эквивалентность, а знак a означает отрицание. Есть два варианта отображения дизъюнкции. Первый — это простая галочка, направленная вниз — для простой дизъюнкции. При сложной используется такая же галочка, но с точкой сверху. Графическое изображение формул сложных суждений очень важно, так как позволяет более ясно понять их структуру, природу и смысл.

Логика абстрагируется от времени и оценивает суждение только с точки зрения его правильного построения, а также истинности либо ложности. В связи с этим приведенные выше высказывания являются эквивалентными, так как в каждом отдельно взятом случае истинны обе их части.

Несмотря на то что выше были указаны предлоги, при помощи которых образуется конъюнкция, нельзя говорить о том, что при отсутствии в суждении этих предлогов конъюнкция невозможна. Это не так. Зачастую в предложениях, представляющих собой сложные суждения, в качестве связок используются разные знаки препинания. Например, это может быть запятая или тире, а иногда и точка.

Дизъюнкция (напомним, что ее символьное обозначение V, а также аналогичная галочка, но с точкой наверху) бывает строгой и нестрогой. Различия этих двух видов, как уже говорилось, заключаются в том, что члены нестрогой дизъюнкции исключают друг друга, в то время как члены строгой — нет.

Кроме логических связок, выражаемых в русском языке при посредстве союзов, которые используются при образовании общих и частных суждений, существуют кванторы. Это квантор существования и квантор общности.

Некоторые суждения, построенные при помощи импликации, выражены в сослагательном наклонении. Они имеют такую же формулу, как и другие импликации (a — › b), но их принято называть контрафактическими. Сослагательное наклонение дает нам понять, что основание и следствие таких суждений ложны. Однако эта ложность не универсальна, т. е. при определенных обстоятельствах возможна истинность подобных высказываний. Другими словами, такие суждения могут правильно и объективно отражать предмет.

Истинность возможна, если отношения между основанием и следствием подразумевают, что истинность следствия вытекает из истинности основания. В противном случае мы можем констатировать ложность такого суждения.

Контрафактические высказывания имеют большое значение для истории, философии, в определенной степени математики и некоторых других наук. Они используются при построении гипотез, рассмотрении исторических и иных вопросов и определении возможных направлений протекания тех или иных процессов. Например, до сих пор не умолкают дискуссии на тему Великой Отечественной войны. В рамках этой дискуссии рассматривается вопрос о возможностях ее альтернативного хода и результатах, которые могли бы быть при другом стечении обстоятельств. Также в рамках химии, физики, астрономии зачастую используются контрафактические суждения. Например, практическая физика иногда приходит к выводу, что теоретически определить точное течение какого-либо процесса не представляется возможным. В этом случае для достижения необходимого результата приходится использовать метод интеллектуального перебора и подтверждать результаты практикой.

Однако следует помнить о том, что контрафактические суждения состоят из ложных основания и следствия. Поэтому при использовании подобных конструкций в науке необходимо соблюдать известную осторожность.

3. Отрицание сложных суждений

Отрицание суждения в логике — это замена существующей связки внутри сложного высказывания на другую, противоположную последней. Если мы говорим о формуле, в которой можно выразить отрицание сложных суждений, то нужно отметить, что отрицание графически выражается как горизонтальная черта над отрицаемым суждением. Таким образом, мы получим два понятия, объединенных логической связкой, над которыми проведена горизонтальная черта. Если такая черта уже есть, то для осуществления отрицания необходимо такую черту удалить.

Все сказанное выше относится к операциям, производимым с применением конъюнкции и дизъюнкции. Однако сказанное выше не означает, что отрицание сложных суждений возможно, только если они содержат исключительно связки конъюнкцию и дизъюнкцию. В случае, если необходимо осуществить операцию отрицания по отношению к суждению, содержащему импликацию, необходимо заменить это суждение так, чтобы при отсутствии каких-либо его изменений отбросить импликацию. Это означает, что необходимо подобрать суждение, эквивалентное данному, которое при этом не содержало бы импликации. Когда мы говорим о суждении, эквивалентном содержащему импликацию, но не содержащему ее, подразумевается замена этой связки на конъюнкцию или дизъюнкцию. Графически это выглядит как (a — b) = (a V b). Затем производится описанная выше операция, при которой знак конъюнкции меняется на дизъюнкцию, и наоборот.

1) _________

a ^ b = a V b;

2) _____

a ^b = a V b;

3) _________

a V b = a ^b;

4) _____

a V b = a ^b.

Формула, образованная при помощи законов де Моргана, выглядит следующим образом:

(a ^b) V (c ^e) = (a V b) ^(c V e).

Читайте также: