Как сделать прогноз методом экстраполяции

Обновлено: 02.07.2024

Суть прогнозной экстраполяции заключается в нахождении закономерностей, присущих развитию объекта в прошлом, и использовании этих закономерностей для построения прогноза.

Как уже было отмечено, инновационные процессы характеризуются нелинейностью и переломом сложившейся тенденции. По этой причине экстраполяционные методы непосредственно не могут быть использованы для прогнозирования инноваций. В то же время без них практически невозможно обойтись при планировании и прогнозировании поведения сложных систем. Прогноз значений отдельных параметров внешней среды, оперативный мониторинг – вот основные задачи, решаемые с помощью данной группы методов.

Методы прогнозной экстраполяции применимы к объектам, чьи характеристики имеют форму временных (динамических) рядов.

В каждый момент времени на исследуемую характеристику воздействует большое количество факторов. Их совместное влияние формирует конкретное значение данного члена динамического ряда. Экстраполяционные методы используют в том случае, когда нет возможности выявить существенные факторы и раздельно учесть влияние каждого из них. В общем случае значение характеристики процесса в момент времени t можно представить выражением

где – фактическое значение характеристики; – закономерная (неслучайная) составляющая характеристики; – случайная составляющая.

Напомним, что существует ряд простых показателей, характеризующих динамический ряд. Они могут быть трех видов: цепные, базисные и средние.

При расчете цепных показателей каждый член ряда сравнивается с предыдущим, а при расчете базисных показателей члены ряда сравниваются с одним и тем же предшествующим уровнем, принятым за базу сравнения. Среднее значение является как бы "типичным представителем" ряда и может быть вычислено как на основе цепных, так и на основе базисных показателей. Средние значения могут быть использованы для приблизительного (оценочного) прогнозирования исследуемой характеристики. К ним относятся: средний уровень ряда, средний абсолютный прирост и средний цепной темп роста.

Процессы, характеризуемые постоянными темпами роста и прироста, могут быть описаны экспоненциальной функцией

где b – мгновенный темп прироста.

Прогноз на k шагов вперед может быть рассчитан по формуле

Средний цепной темп роста можно использовать при краткосрочном прогнозировании для получения приближенной точечной оценки характеристики процесса. Разумеется, такая оценка, строго говоря, не может считаться прогнозом. Но тем не менее этот метод благодаря своей простоте и наглядности часто используется именно с этой целью. Его применение может давать хорошие результаты при условии, если процесс развивается по экспоненте и период упреждения небольшой (один или два шага).

О достоверности (надежности) прогноза здесь говорить не приходится, поскольку нет возможности рассчитать доверительный интервал (прогноз точечный).

В экстраполяционном прогнозировании широкое применение находят различные методы сглаживания динамических рядов. Сглаживание используется, во-первых, для выявления общих тенденций развития процессов. Во-вторых, эти процедуры лежат в основе многих методов краткосрочного прогнозирования как для условно-стационарных рядов, так и для нестационарных рядов.

Суть методов сглаживания заключается в замене фактических членов динамического ряда расчетными значениями, представляющими собой взвешенную сумму членов исходного ряда, т.е.

где– сглаженное значение члена ряда с номером t; фактическое значение i-го члена ряда;– вес значимости i-го члена ряда, причем ; п – общее число членов исходного ряда.

Веса значимостихарактеризуют вклад каждого члена ряда в формирование нового (сглаженного) значения.

В результате этой процедуры мы получим новый динамический ряд. Этот ряд отличается от исходного меньшим уровнем вариации, что говорит об уменьшении роли случайной составляющей в формировании значений ряда.

Рассмотрим наиболее распространенный метод сглаживания – сглаживание по экспоненциальной средней.

Особенности данного метода:

• в сглаживании участвуют все члены исходного ряда;
• более позднее наблюдение имеет вес больший, чем у любого из предыдущих.

Прежде всего необходимо выбрать параметр сглаживания а, который задает вес текущего наблюдения ().

Чем больше а, тем активнее текущее наблюдение влияет на результат сглаживания. На практике наиболее часто выбирают. Сглаженное значение ряда ut вычисляют по формуле

Нетрудно заметить, что весас ростом i убывают по экспоненциальному закону, что и дало название этому методу. Сумма весов стремится к 1.

Путем несложных подстановок можно получить итеративную формулу для расчета экспоненциальной средней:

В качествеможно выбрать, например, или среднее значение нескольких первых членов ряда. С увеличением длины ряда вес будет быстро убывать, и этот член перестанет играть сколько-нибудь существенное значение в расчетах.

При краткосрочном прогнозировании характеристик, представленных условно-стационарными рядами значений, в качестве прогноза берут последнее сглаженное значение ряда. В этом случае формулу для расчета можно преобразовать следующим образом:

где– ошибка прогноза.

На основе этой формулы предложен способ подбора параметра а, легко реализуемый с помощью ЭВМ. При этом способе рекомендуется брать такое значение,, которое минимизирует сумму квадратов ошибок

Метод экспоненциального сглаживания используется в прогнозировании не только для стационарных рядов, но и для рядов, чье среднее значение растет, уменьшается или подвержено сезонным колебаниям. Метод используют в моделировании, интерпретируякак вероятность или как вес значимости какого-либо события, явления.

Принцип сглаживания случайных колебаний лежит в основе различных методов адаптивного краткосрочного прогнозирования, используемых для оперативного мониторинга процессов и разработки быстрых прогнозов.

При изучении социально-экономических процессов иногда бывает сложно выявить отдельные факторы, влияющие на изменение соответствующих показателей, или описать количественно характер этого влияния.

В то же время в ходе развития процесса во времени могут наблюдаться устойчивые закономерности (тенденции), например тенденция к росту, уменьшению или стабилизации значений показателя. В этом случае можно попытаться построить модель развития процесса в форме тренда.

Тренд – это плавная кривая, описывающая в среднем изменение исследуемой характеристики во времени.

Для аналитического описания формы тренда используют ряд простейших типовых функций, которые еще называют прогностическими. К ним относятся, например, линейная функция, экспонента, гипербола, логарифмическая функция, S-образная кривая и др.

Эти функции отражают характер реальных процессов. Линейная функция описывает процессы, характеризующиеся равномерным развитием во времени; экспонента характеризует процессы с ускоренным ростом или плавным затуханием соответствующего показателя при постоянном темпе его роста (спада); гипербола соответствует процессам с насыщением, которые (в зависимости от параметров) характеризуются неравномерным ростом или спадом значений показателя и т.д.

Тренд в общем случае может быть описан комбинацией нескольких прогностических функций или одной из них –

Построение трендовой модели осуществляется в следующей последовательности:

1) выбор формы кривой;
2) оценка параметров;
3) анализ качества модели.

Выбор формы кривой тренда. Аналитическая форма кривой должна выбираться на основе качественного анализа исследуемого процесса. Однако на этом этапе может существовать некоторая неопределенность, не позволяющая сделать окончательный выбор. Тогда рекомендуется использовать ряд формальных приемов для более четкого выявления закономерностей развития процесса. К ним относятся методы сглаживания динамических рядов и исключение нетипичных точек, появление которых явно связано либо с ошибками измерения, либо с маловероятным стечением обстоятельств. Если же этого недостаточно для решения вопроса о форме кривой, то можно использовать формальные методы, например метод наименьших квадратов.

Оценка параметров кривой тренда. После того как проблема выбора формы тренда решена, необходимо найти (оценить) значения параметров уравнения кривой па основе статистических данных, которые представлены в виде динамического ряда исследуемой характеристики у. Для этих целей используют метод наименьших квадратов. Этот метод заключается в подборе таких значений параметров, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений динамического ряда от соответствующих значений, рассчитанных по уравнению кривой, была бы минимальной.

В том случае, если трендовая модель имеет форму нелинейной функции времени, система уравнений для нахождения параметров может получиться достаточно сложной. Метод наименьших квадратов в этом случае называют нелинейным методом наименьших квадратов, а при решении системы нелинейных уравнений используют довольно трудоемкие математические методы.

Более простой приближенный способ получения оценок параметров нелинейной модели заключается в приведении ее к линейному виду посредством ряда несложных преобразований. Этот способ называется методом линеаризации модели. Для получения оценок параметров линеаризованного уравнения применяют обычный метод наименьших квадратов, а затем осуществляют обратные преобразования. Следует отметить, что линеаризация уравнения зачастую дает несколько смещенные оценки параметров (например, при логарифмировании). При высоких требованиях к точности следует пользоваться нелинейным методом наименьших квадратов.

Анализ качества трендовой модели. После того как модель построена, необходимо оценить ее качество. Качество модели определяет ее пригодность для практического использования, т.е. степень адекватности реальному процессу. Оценка качества модели включает оценку значимости модели и анализ случайной составляющей.

Значимость трендовой модели определяется значимостью всех коэффициентов уравнения. Коэффициент считается значимым, если он существенно отличается от нуля. Значимость коэффициента проверяется с помощью ^-критерия Стьюдента. Расчеты, как правило, производятся с помощью компьютерных программ (например, SPSS, Statistica, STADIA, STATGRAPIIICS и др.), поэтому мы не будем приводить здесь формулы для расчета критериев и параметров уравнений модели.

Расчетное значение ^-критерия Стьюдента (tp) сравнивается со значением ta, которое выбирается из соответствующей таблицы в зависимости от доверительной вероятности Рдов (или уровня значимости а = 1 – Рдов) и числа степеней свободы v = п – т, где п – число наблюдений, т – число параметров уравнения.

Если tp > ta, то коэффициент можно считать значимым с вероятностью Рдов.

Пример. Имеем динамический ряд из 44 значений показателя у. Допустим, что для данного показателя построена модель в форме линейного тренда у = а Ы. Коэффициенты а и b рассчитаны по методу наименьших квадратов: а = 117,79; b = -0,2.

Тогда уравнение тренда: у = 117,79 – 0,2/.

Расчетные значения t-критерия равны: t„ = 194,48; th = 3,04.

Для доверительной вероятности Рдов = 0,95 (или уровня значимости 0,05) выбираем из таблицы значение критерия ta для числа степеней свободы 42 (v = п – т = 44 – 2 = 42): ta = 2,02.

Поскольку t„ > ta и tb > t„, то оба коэффициента являются значимыми. Следовательно, значима и сама линейная модель.

Для того чтобы модель была пригодна для прогнозирования, значимости коэффициентов недостаточно. Необходимо также исследовать случайную составляющую модели. Сначала необходимо уяснить характер случайной составляющей процесса – закон распределения и основные статистические показатели. При исследовании социально-экономических процессов, как правило, принимается следующая гипотеза: случайная составляющая подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием, равным нулю, постоянной дисперсией и независимостью любых двух последовательных значений друг от друга.

Напомним, что случайная составляющая оценивается остатками: = у, -/(/)>.

Рассмотрим по порядку все перечисленные требования к случайной составляющей.

1. Нормальный закон распределения.

Существует ряд критериев (критерий Пирсона, критерий Колмогорова), с помощью которых может быть проверена гипотеза о принадлежности выборки значений случайной величины из генеральной совокупности какому-либо закону распределения вероятностей. Описание этих критериев и способов их применения можно найти в учебниках по теории вероятностей и математической статистике. Самый простой способ оценки вида функции распределения вероятностей – визуальный, с помощью гистограммы.

2. Равенство нулю математического ожидания.

Это требование выполняется всегда, если для оценки параметров модели используется метод наименьших квадратов.

3. Постоянство дисперсии.

Постоянство дисперсии можно проверить с помощью критерия Фишера (/'-критерия). Критерием Фишера исследуют гипотезу о равенстве двух дисперсий 5, и S2.

Если в качестве взять дисперсию первых п/2 членов ряда, а в качестве S2 – дисперсию последних п/2 членов ряда, то с помощью /•'-критерия можно сделать вывод о равенстве или неравенстве этих дисперсий.

Если Ер > 4 – d/, то имеет место автокорреляция остатков. Для прочих значений d-критерия нельзя вынести определенного суждения по этому вопросу.

Рис. 2.5. Область допустимых значений критерия Дарбина – Уотсона

Если с помощью критерия Дарбина – Уотсона мы обнаружили существенную автокорреляцию остатков, то следует пересмотреть решение о форме кривой тренда.

Невыполнение хотя бы одного из рассмотренных выше требований к случайной составляющей говорит о непригодности построенной модели для практического использования.

Если мы смогли построить несколько моделей, оценка качества которых оказалась удовлетворительной, то дальнейшие исследования должны быть направлены на выбор наилучшей модели.

Формальный подход к решению этой проблемы состоит в следующем: наилучшей следует считать такую модель, для которой сумма квадратов остатков минимальна по сравнению с другими моделями. Часто используют и другие критерии: коэффициент корреляции и критерий Фишера. Однако следует заметить, что наилучшая модель, выбранная по критерию минимальной суммы квадратов остатков, окажется наилучшей и по другим упомянутым критериям.

Прогноз по трендовой модели строится в форме доверительного интервала. Среднее значение определяется но уравнению модели, а ширина доверительного интервала зависит от дисперсии случайной составляющей, периода упреждения и выбранной доверительной вероятности.

Например, доверительный интервал прогноза для линейного тренда на момент времени tp может быть рассчитан по формуле

где 5 – среднеквадратическое отклонение остатков; ур – значение, рассчитанное по уравнению тренда для момента времени tp ta – значение ^критерия Стьюдента, выбранное из таблицы для доверительной вероятности Рдов = 1 – а и числа степеней свободы v = п – 2; п – количество наблюдений.

Из этого выражения видно, что чем дальше момент прогнозирования от середины ретроспективного периода, тем шире доверительный интервал прогноза (рис. 2.6).

При работе с вычислениям в программе Excel иногда требуется узнать результат функции, значения которой находятся за рамками известной области (например для прогнозирования). Рассмотрим как это сделать с помощью нескольких способов.

Метод экстраполяции позволяет найти результат функции, значения которой могут находится за пределами конкретных рамок. Зачастую это используется в прогнозировании различных экономических процессов. В этом методе можно работать как с значениями в таблицах так и в работе с данными в графиках.

Пример работы с табличными данными

Имеется таблица с конкретным диапазоном аргументов от 5 до 50, которые относятся к функции (f(x)). В данном примере надо вычислить результат для числа, которое находится за рамкой изветсных аргументов. В данном случае это число 55. Чтобы это сделать надо работать с функцией ПРЕДСКАЗ.

Выбираем ту ячейку, которая в конечном итоге будет показывать результат. После этого нужно нажать на кнопку в строке формул, которая отвечает за вставку функций.

В конечном итоге в нужной ячейке появится результат, который относится к числу 55.

Пример работы с данными в графиках линией тренда

Далее будет отображен график по выбранными ранее данным. Важное примечание : нужно удалить в нём линию обозначающую аргумент (указана стрелкой на изображении).

Появится новое окно, в нём кликаем соответствующую кнопку для изменения данных.

Чтобы сделать корректное отображение линии тренда, вновь нужно перейти с соответствующий пункт как на изображении выше, но в списке нажать на последний вариант, который позволит задать дополнительные параметры в линии тренда.

Далее будет открыто новое окно, в котором можно задать параметры линии тренда. Ищем в окне настройки прогноза, и задаем число 1 (период), так как пять единиц значений = одному периоду, это было сделано так как значение за пределами 50 возьмем вновь 55.

Результатом будет удлинение длины графика соответственно к параметрам линии тренда.

Применение интерполяции в Microsoft Excel

Бывает ситуация, когда в массиве известных значений нужно найти промежуточные результаты. В математике это называется интерполяцией. В Excel данный метод можно применять как для табличных данных, так и для построения графиков. Разберем каждый из этих способов.

Использование интерполяции

Главное условие, при котором можно применять интерполяцию – это то, что искомое значение должно быть внутри массива данных, а не выходить за его предел. Например, если мы имеем набор аргументов 15, 21 и 29, то при нахождении функции для аргумента 25 мы можем использовать интерполяцию. А для поиска соответствующего значения для аргумента 30 – уже нет. В этом и является главное отличие этой процедуры от экстраполяции.

Способ 1: интерполяция для табличных данных

Прежде всего, рассмотрим применения интерполяции для данных, которые расположены в таблице. Для примера возьмем массив аргументов и соответствующих им значений функции, соотношение которых можно описать линейным уравнением. Эти данные размещены в таблице ниже. Нам нужно найти соответствующую функцию для аргумента 28. Сделать это проще всего с помощью оператора ПРЕДСКАЗ.

В первое поле нам просто нужно вручную с клавиатуры вбить значения аргумента, функцию которого следует отыскать. В нашем случае это 28.

Способ 2: интерполяция графика с помощью его настроек

Процедуру интерполяции можно применять и при построении графиков функции. Актуальна она в том случае, если в таблице, на основе которой построен график, к одному из аргументов не указано соответствующее значение функции, как на изображении ниже.

Для начала выделяем сплошную синюю линию, которую нужно удалить и жмем на кнопку Delete на клавиатуре.

Как видим, график скорректирован, а разрыв с помощью интерполяции удален.

Способ 3: интерполяция графика с помощью функции

Произвести интерполяцию графика можно также с помощью специальной функции НД. Она возвращает неопределенные значения в указанную ячейку.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Опишите, что у вас не получилось. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Экстраполяция в excel как сделать

Существуют случаи, когда требуется узнать результаты вычисления функции за пределами известной области. Особенно актуален данный вопрос для процедуры прогнозирования. В Экселе есть несколько способов, с помощью которых можно совершить данную операцию. Давайте рассмотрим их на конкретных примерах.

Использование экстраполяции

В отличие от интерполяции, задачей которой является нахождения значения функции между двумя известными аргументами, экстраполяция подразумевает поиск решения за пределами известной области. Именно поэтому данный метод столь востребован для прогнозирования.

В Экселе можно применять экстраполяцию, как для табличных значений, так и для графиков.

Способ 1: экстраполяция для табличных данных

Прежде всего, применим метод экстраполяции к содержимому табличного диапазона. Для примера возьмем таблицу, в которой имеется ряд аргументов (X) от 5 до 50 и ряд соответствующих им значений функции (f(x)). Нам нужно найти значение функции для аргумента 55, который находится за пределом указанного массива данных. Для этих целей используем функцию ПРЕДСКАЗ.

Урок: Мастер функций в Excel

Способ 2: экстраполяция для графика

Выполнить процедуру экстраполяции для графика можно путем построения линии тренда.

Урок: Как построить линию тренда в Excel

Итак, мы рассмотрели простейшие примеры экстраполяции для таблиц и для графиков. В первом случае используется функция ПРЕДСКАЗ, а во втором – линия тренда. Но на основе этих примеров можно решать и гораздо более сложные задачи прогнозирования.

Мы рады, что смогли помочь Вам в решении проблемы.

Задайте свой вопрос в комментариях, подробно расписав суть проблемы. Наши специалисты постараются ответить максимально быстро.

Помогла ли вам эта статья?

Пример работы с табличными даннымиИмеется таблица с конкретным диапазоном аргументов от 5 до 50, которые относятся к функции (f(x)). В данном примере надо вычислить результат для числа, которое находится за рамкой изветсных аргументов. В данном случае это число 55. Чтобы это сделать надо работать с функцией ПРЕДСКАЗ.

В конечном итоге в нужной ячейке появится результат, который относится к числу 55.

Появится новое окно, в нём кликаем соответствующую кнопку для изменения данных.

Результатом будет удлинение длины графика соответственно к параметрам линии тренда.

Табличный процессор Excel позволяет не только быстро производить различные вычисления, но и решать достаточно сложные задачи. Например, с его помощью можно осуществлять математическое моделирование на основе набора дискретных значений той или иной функции, в том числе находить промежуточное значение функций методом интерполяции. В Excel для этого предусмотрены различные инструменты, пользоваться которыми научит эта статья.

Метод интерполяции: что это такое?

В вычислительной математике так называют способ нахождения промежуточных неизвестных значений функции Y(X) по дискретному набору уже известных.

Интерполяция функции Y(X) может осуществляться только для тех ее аргументов, которые находятся внутри интервала , такого, что известны значения Y(X0) и Y(Xn).

Если X не принадлежит , то можно использовать метод экстраполяции.

В классической постановке интерполяционной задачи требуется найти приближенную аналитическую функцию φ(X), у которой значения в узловых точках Xi совпадают со значениями Y(Xi) исходной таблицы, т. е. соблюдается условие φ (Xi)=Yi (i = 0,1,2,…,n).

Линейная интерполяция в Excel

Рассмотрим данные, размещенные в в таблице, представленной ниже.

Интерполяция графика и табличных данных в Excel

Как построить график с интерполяцией в Excel

При работе в Excel приходится сталкиваться с интерполяцией графиков различной сложности. Но для первого знакомства с ней рассмотрим сначала самый простой пример.

Если в таблице еще нет всех значений показателей, но уже нужно сформировать по ним отчет и построить графическое представление данных. Тогда на графике мы наблюдаем обрывы в местах, где отсутствуют значения показателей.

Заполните таблицу как показано на рисунке:

Чтобы устранить обрывы на графике, то есть выполнить интерполяцию в Excel, можем использовать 2 решения для данной задачи:

Оба эти способа рассмотрим далее на конкретных примерах.

Методы интерполяции табличных данных в Excel

Теперь выполним интерполяцию данных в таблице с помощью функции: =НД(). Для этого нужно предварительно сбросить выше описанные настройки графика, чтобы увидеть как работает данный способ.

Способ 2 . В ячейку B3 введите функцию =НД(). Это автоматически приведет к интерполяции графика как показано на рисунке:

MATCH

In this course:

MATCH function

Tip: Try using the new XMATCH function, an improved version of MATCH that works in any direction and returns exact matches by default, making it easier and more convenient to use than its predecessor.

The MATCH function searches for a specified item in a range of cells, and then returns the relative position of that item in the range. For example, if the range A1:A3 contains the values 5, 25, and 38, then the formula =MATCH(25,A1:A3,0) returns the number 2, because 25 is the second item in the range.

Tip: Use MATCH instead of one of the LOOKUP functions when you need the position of an item in a range instead of the item itself. For example, you might use the MATCH function to provide a value for the row_num argument of the INDEX function.

Syntax

MATCH(lookup_value, lookup_array, [match_type])

The MATCH function syntax has the following arguments:

lookup_value Required. The value that you want to match in lookup_array. For example, when you look up someone’s number in a telephone book, you are using the person’s name as the lookup value, but the telephone number is the value you want.

The lookup_value argument can be a value (number, text, or logical value) or a cell reference to a number, text, or logical value.

lookup_array Required. The range of cells being searched.

match_type Optional. The number -1, 0, or 1. The match_type argument specifies how Excel matches lookup_value with values in lookup_array. The default value for this argument is 1.

The following table describes how the function finds values based on the setting of the match_type argument.

MATCH finds the largest value that is less than or equal to lookup_value. The values in the lookup_array argument must be placed in ascending order, for example: . -2, -1, 0, 1, 2, . A-Z, FALSE, TRUE.

MATCH finds the first value that is exactly equal to lookup_value. The values in the lookup_array argument can be in any order.

MATCH finds the smallest value that is greater than or equal to lookup_value. The values in the lookup_array argument must be placed in descending order, for example: TRUE, FALSE, Z-A, . 2, 1, 0, -1, -2, . and so on.

MATCH does not distinguish between uppercase and lowercase letters when matching text values.

If match_type is 0 and lookup_value is a text string, you can use the wildcard characters — the question mark ( ?) and asterisk ( *) — in the lookup_value argument. A question mark matches any single character; an asterisk matches any sequence of characters. If you want to find an actual question mark or asterisk, type a tilde (

) before the character.

Example

Copy the example data in the following table, and paste it in cell A1 of a new Excel worksheet. For formulas to show results, select them, press F2, and then press Enter. If you need to, you can adjust the column widths to see all the data.

Экстраполяция — метод прогнозирования, основанный на анализе динамики объекта прогнозирования в ретроспективном периоде. Метод экстраполяции позволяет описать функцию, характеризующую движение исследуемой характеристики.

В процессе экстраполяции определяют временной ряд, тренд и случайную компоненту.

Ниже приведена формула временного ряда:

Тренд (эволюаторная составляющая, вековая тенденция) — средняя линия движения прогнозируемой характеристики (yt).

Случайная компонента характеризует случайные отклонения фактических показателей динамики объекта от средней линии (et).

Применяя данный метод, следует избегать формальной экстраполяции.

Формальная экстраполяция, основываясь исключительно на выявленных количественных зависимостях, предполагает сохранение в будущем тенденции развития объекта, выявленной в прошлом. Метод формальной экстраполяции не дает точных результатов, а при долгосрочном и дальнесрочном прогнозировании может привести к ошибочным и абсурдным результатам. Прогнозная экстраполяция увязывает данные о динамике объекта прогнозирования с анализом логики его развития.

Следует иметь в виду, что результативности и достоверности этой методики присущи определенные ограничения, связанные как с природой изучаемых переменных, так и с вероятностной сущностью само- м) понятия экономического прогнозирования. Намереваясь использо- 1ыть данный метод, исследователь должен помнить, что экстраполяция может дать достоверный прогноз только в стабильных условиях, при устойчивой основной тенденции развития изучаемой характеристики.

Рассмотрим достоинства, недостатки и границы применения метода прогнозной экстраполяции.

простота сбора информации и расчетов; ?

возможность осуществить адаптивный прогноз, учитывающий новую информацию.

при большом периоде упреждения — недостоверность прогнозных данных; ?

не учитываются уже происшедшие изменения условий прогнозного фона; ?

нет возможности предсказать результат при нестабильности, изменчивости условий в будущем.

Экстраполяция может быть эффективно применена: ?

если причинно следственное описание объекта является неадекватным в силу сложности, а статическое описание дает относительно мысокую точность прогноза; ?

если в процессе нет управления, т.е.

если главная тенденция процесса настолько устойчива, что управление носит характер временных возмущений, лишь слегка отклоняющих процесс от его основной траектории; ?

если разрабатывается предупредительный, профилактический прогноз, цель которого — показать последствия инерционного развития.

Экстраполяция не может быть применена: ?

если отсутствует предыстория развития объекта; ?

если для развития объекта в прошлом характерны качественные изменения; ?

если назрела необходимость в качественных переменах объекта прогнозирования и прогнозного фона; ?

если информация о прошлом недостоверна.

Основные этапы прогнозной экстраполяции.

Этап 1. Сбор исходной информации о значении исследуемой характеристики в ретроспективном периоде и построение временного ряда;

Этап 2. Предварительная обработка исходной информации с целью приближения временного ряда к тренду; сглаживание временного ряда; построение графика сглаженного временного ряда.

Этап 3. Исследование логики протекания процесса в целом, в том числе гипотезы его протекания в будущем.

Этап 4. Визуальный анализ графика сглаженного ряда для приблизительного определения вида соответствующего ему тренда из простых функций.

Этап 5. Расчет параметров выбранной функции экстраполяции, Построение точечного прогноза.

Этап 6. Расчет границ доверительного интервала прогноза; построение интервального прогноза; содержательная интерпретация полученных прогнозных результатов.

Познакомимся подробнее с содержанием работ на перечисленных этапах прогнозной экстраполяции.

Для описания динамики многих экономических явлений и процессов используют процедуры, приближающие фактические значения временного ряда к тренду. Для решения этой задачи используется сглаживание, близкое по технике расчетов к расчетам скользящей средней.

Сглаживание представляет собой усреднение значений временного ряда.

Оно может быть выполнено по разным методикам: как средние арифметические или средние геометрические, по четному или нечетному количеству точек. Ниже приводятся формулы сглаживания по трем или пяти точкам по средней арифметической.

Формулы сглаживания по трем точкам: (5.15)

Формулы (5.14) и (5.15) применяются только по краям интервала. Формулы сглаживания по пяти точкам:

У-1 = + З У-і + 2у0 + у+1); (5.17)

У+і = (У-і + 2Уо + 3Уі + 4у2); (5.18)

У+2 = + Уо + 2 у, + 3 у2). (5.20)

Процедура сглаживания может быть простой или реконкурент- мой. При реконкурентном сглаживании первоначально рассчитывается значение в первой точке временного ряда по простой средней, а при расчете значений в последующих точках в формулу подставляется сглаженное значение в предыдущей.

Следует учесть также, что чем короче исходный временной ряд, гем меньшее количество усреднений следует использовать. Процедура сглаживания повторяется от одного до трех раз. Степень сглаживания проверяется визуально или рассчитывается в соответствии с принятым критерием. Объективным критерием оценки целесообразности сглажи- иания может быть величина абсолютного отклонения сглаженных значений от фактических:

где є — положительное число, выбираемое из соображений точности представления данных и точности последующих алгоритмов обработки.

Сглаженные значения, рассчитанные по разным методикам, как правило, не совпадают, но это не мешает решить основные задачи данного этапа — оценить возможность применения метода прогнозной экстраполяции и выбрать вид функции, способный описать рассматриваемый процесс.

Для окончательного выбора вида функции нужно исследовать логику протекания процесса в целом, в том числе гипотезы его протекания в перспективе. Игнорирование этого этапа приводит к ошибочным, а иногда к парадоксальным выводам. Вы должны ответить на следующие вопросы: —

является ли исследуемый показатель величиной монотонно возрастающей, монотонно убывающей, стабильной или периодической; —

ограничен ли сверху или снизу исследуемый показатель каким-либо пределом; —

имеет ли функция, определяющая процесс, точку перегиба; —

обладает ли функция, описывающая процесс, свойством симметричности; —

имеет ли процесс четкое ограничение развития во времени?

Если в ходе предварительной обработки информации и содержательного анализа выявлено отсутствие инерционности в развитии объекта, то использование прогнозной экстраполяции недопустимо!

Выбор функции, применяемой для описания явления, зависит от типа динамики процесса.

Прогнозирование с использованием показателей средних характеристик ряда динамики

Одним из наиболее распространенных методов краткосрочного прогнозирования социально-экономических явлений и процессов является экстраполяция, т. е. распространение прошлых и настоящих закономерностей, связей, соотношений на будущее. Наиболее простым методом экстраполяции одномерных рядов динамики является использование средних характеристик: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При использовании среднего уровня ряда динамики в прогнозировании социально-экономических явлений прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней ряда в прошлом:

Прогноз вычисляется на моментов времени вперед (период упреждения), т. е. до момента (горизонт прогнозирования). Получается прогностическая точечная оценка, которая, вообще говоря, не совпадает с фактическими данными. Поэтому для средней указывается доверительный интервал прогноза

где табличное значение -критерия Стьюдента с степенями свободы и уровнем доверия — средняя квадратичная ошибка средней:

Применение доверительного интервала для прогнозирования увеличивает степень надежности прогноза, но, тем не менее, прогнозируемый показатель равен среднему уровню. Чтобы учесть вариацию показателя вокруг средней в прошлом и будущем, для прогностической величины вычисляют доверительный интервал:

так как общая дисперсия, связанная с колебаемостью выборочной средней и варьированием уровней ряда вокруг средней, будет равна , где

Если общая тенденция развития динамического ряда является линейной или выполняется неравенство:

где — остаточная дисперсия, не объясненная экстраполяцией по среднему абсолютному приросту; — общий прирост показателя от начального уровня до конечного, то выполняется экстраполяция по среднему абсолютному приросту. Прогнозное значение уровня определяют по формуле:

где — уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции; -средний абсолютный прирост; — период упреждения.

Если развитие ряда динамики списывается геометрической прогрессией или показательной кривой, то экстраполяция выполняется по среднему темпу роста. Прогнозируемый уровень ряда определяется по следующей формуле:

где — средний темп роста; — уровень ряда динамики, принятый за базу экстраполяции.

В качестве базового уровня для экстраполяции берется последний уровень ряда уп, так как будущее развитие начинается именно с этого уровня. В некоторых случаях в качестве базового уровня лучше брать расчетный уровень, соответствующий тренду, описывающему динамический ряд. Для этого определяют экспоненциальную кривую и на ее основе находят базовый уровень. Для выбора базового уровня можно прибегнуть к усреднению нескольких последних уровней, т. е. вычислить экспоненциальную или геометрическую среднюю нескольких последних уровней.

Отметим, что если уровни ряда динамики непрерывно возрастают за рассматриваемый период, то средний темп роста вычисляют по формуле

где — число цепных темпов роста; — произведение уровней динамического ряда; — цепной темп роста; — сумма порядковых номеров уровней динамического ряда; ух — начальный уровень ряда.

Если же уровни ряда динамики в одни годы растут, а в другие снижаются, то для вычисления среднего темпа роста можно воспользоваться следующей формулой:

Доверительный интервал прогноза по среднему темпу роста может быть построен в случае, когда средний темп роста определяется по экспоненциальной функции.

Указанные способы экстраполяции тренда динамического ряда являются весьма приближенными.

Пример 9.1.

Выпуск цемента за период с 1975 по 1990 г. характеризуется динамическим рядом, представленным в табл. 9.1.

Проиллюстрируем построение прогнозов с использованием средних характеристик данного ряда динамики: среднего уровня, среднего абсолютного прироста и среднего темпа роста.

При экстраполяции на основе среднего уровня ряда используется принцип, при котором прогнозируемый уровень принимается равным среднему значению уровней в прошлом:

Доверительный интервал прогноза для средней вычислим по формуле (9.1):

Табличное значение -статистики Стьюдента с степенями свободы при уровне доверия равно . Среднее квадратичное отклонение, связанное с выборочной средней и варьированием уровней ряда вокруг средней,равно:

Подставив найденные значения в формулу (9.1), получим доверительный интервал (116,1639; 143,9561), который с доверительной вероятностью 0,95 включает прогнозируемое значение производства цемента равно: млн.т.

Считая, что общая тенденция производства цемента является линейной, прогноз производства цемента на 1991г. вычислим по среднему абсолютному приросту: . За базу экстраполяции примем среднее арифметическое трех последних уровней исходного динамического ряда:

Средний абсолютный прирост

Тогда прогнозное значение уровня на 1991г.

Экстраполяция по среднему темпу роста осуществляется по формуле

За базу экстраполяции примем среднее арифметическое трех последних уровней, т. е. . В этом случае прогнозируемый уровень ряда равен:

Доверительные интервалы прогноза по среднему абсолютному приросту и среднему темпу роста могут быть получены в том случае, когда общая тенденция развития является линейной или когда средний темп роста определяется с помощью статистического оценивания параметров экспоненциальной кривой.

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Читайте также: