Как сделать проекцию вектора на вектор

Обновлено: 07.07.2024

Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Инструкция . Для нахождения проекции вектора Пp_ab в онлайн режиме необходимо указать координаты векторов a и b . При этом вектор может быть задан на плоскости (две координаты) и в пространстве (три координаты). Полученное решение сохраняется в файле Word . Если векторы заданы через координаты точек, то необходимо использовать этот калькулятор.

Классификация проекций вектора

Виды проекций по определению проекция вектора

Геометрическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется вектор A'B' , начало которого A’ есть проекция начала A на ось (вектор), а конец B’ – проекция конца B на ту же ось.
Алгебраическая проекция вектора AB на ось (вектор) называется длина вектора A'B' , взятая со знаком + или - , в зависимости от того, имеет ли вектор A'B' то же направление, что и ось (вектор).

Виды проекций по системе координат

проекции на плоскости (система координат OX,OY). Пример: a (2;-3), a =2i-3j

Свойства проекции вектора

Геометрическая проекция вектора есть вектор (имеет направление).
Алгебраическая проекция вектора есть число.

Теоремы о проекциях вектора

Теорема 1 . Проекция суммы векторов на какую-либо ось равна проекции слагаемых векторов на ту же ось.

Теорема 2 . Алгебраическая проекция вектора на какую-либо ось равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и вектором:

Виды проекций вектора

проекция на ось OX.
проекция на ось OY.
проекция на вектор.

Проекция на ось OX	Проекция на ось OY	Проекция на вектор
Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.	Если направление вектора A’B’ совпадает с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет положительный знак.
Если направление вектора противоположно с направлением оси OX, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением оси OY, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.	Если направление вектора A’B’ противоположно с направлением вектора NM, то проекция вектора A’B’ имеет отрицательный знак.
Если вектор AB параллелен оси OX, то проекция вектора A’B’ равна модулю вектора AB.

1. Вопрос: Может ли проекция вектора иметь отрицательный знак. Ответ: Да, проекций вектора может быть отрицательной величиной. В этом случае, вектор имеет противоположное направление (см. как направлены ось OX и вектор AB)
2. Вопрос: Может ли проекция вектора совпадать с модулем вектора. Ответ: Да, может. В этом случае, векторы параллельны (или лежат на одной прямой).
3. Вопрос: Может ли проекция вектора быть равна нулю (нуль-вектор). Ответ: Да, может. В этом случае вектор перпендикулярен соответствующей оси (вектору).

Пример 1 . Вектор (рис. 1) образует с осью OX (она задана вектором a) угол 60 о . Если OE есть единица масштаба, то |b|=4, так что .

Действительно, длина вектора (геометрической проекции b) равна 2, а направление совпадает с направлением оси OX.

Пример 2 . Вектор (рис. 2) образует с осью OX (с вектором a) угол (a,b) = 120 o . Длина |b| вектора b равна 4, поэтому пр_ab=4·cos120 o = -2.

Действительно, длина вектора равна 2, а направление противоположно направлению оси.

Пример 3 . Пусть вектор b задан через координаты точек M(1;1), N(4;5).

Координаты вектора: MN(4-1;5-1) = MN(3;4)
Тогда модуль вектора MN равен:

Направляющий вектор для оси OX равен вектору M’N’, где координаты точек M’(1;0) N’(4;0). Следовательно, вектор M’N’ имеет координаты: x = 4-1, y = 0-0 = 0.
M’N’(3;0)

Пример 4 . Найти проекцию вектора c на вектор d;
с = АС = (-2;-1;3), d = CB(-5;-3;3)

Найдем проекцию вектора AC на вектор BC

Пример 5 . Найти проекцию пр_b(-2a+4b)
где a=2m+3n и b=4m-n, |m|=k, |n|=l, угол между ∠(m,n)= π
Тогда -2a+4b = -4m+6n + 16m-4n = 12m+2n

Найдем модуль вектора 4m-n.
а) Рассмотрим треугольник со сторонами a,b,c. По теореме косинусов:
a 2 = b 2 + c 2 – 2bc∙cos(b,c), откуда

б) Рассмотрим второй вариант решения.
Поскольку угол между векторами π, т.е. 180 о , то векторы лежат на одной оси.

Этот калькулятор онлайн вычисляет проекцию вектора на вектор. Вектора могут быть заданы в 2-х и 3-х мерном пространстве.

Онлайн калькулятор для вычисления проекции вектора на вектор не просто даёт ответ задачи, он приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Числа можно вводить целые или дробные.
Причём, дробные числа можно вводить не только в виде десятичной, но и в виде обыкновенной дроби.

Правила ввода десятичных дробей.
В десятичных дробях дробная часть от целой может отделяться как точкой так и запятой.
Например, можно вводить десятичные дроби так: 2.5 или так 1,3

Правила ввода обыкновенных дробей.
В качестве числителя, знаменателя и целой части дроби может выступать только целое число.

Знаменатель не может быть отрицательным.

При вводе числовой дроби числитель отделяется от знаменателя знаком деления: /
Ввод: -2/3
Результат: \( -\frac \)

Целая часть отделяется от дроби знаком амперсанд: &
Ввод: -1&5/7
Результат: \( -1\frac \)

Вычислить проекцию вектора a на вектор b

Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.

Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.

Скалярные и векторные величины

Многие физические величины полностью определяются заданием некоторого числа. Это, например, объем, масса, плотность, температура тела и др. Такие величины называются скалярными. В связи с этим числа иногда называют скалярами. Но есть и такие величины, которые определяются заданием не только числа, но и некоторого направления. Например, при движении тела следует указать не только скорость, с которой движется тело, но и направление движения. Точно так же, изучая действие какой-либо силы, необходимо указать не только значение этой силы, но и направление ее действия. Такие величины называются векторными. Для их описания было введено понятие вектора, оказавшееся полезным для математики.

Определение вектора

Любая упорядоченная пара точек А к В пространства определяет направленный отрезок, т.е. отрезок вместе с заданным на нем направлением. Если точка А первая, то ее называют началом направленного отрезка, а точку В — его концом. Направлением отрезка считают направление от начала к концу.

Определение
Направленный отрезок называется вектором.

Будем обозначать вектор символом \( \overrightarrow \), причем первая буква означает начало вектора, а вторая — его конец.

Вектор, у которого начало и конец совпадают, называется нулевым и обозначается \( \vec \) или просто 0.

Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной и обозначается \( |\overrightarrow| \) или \( |\vec| \).

Нулевой вектор будем считать направленным одинаково с любым вектором; длина его равна нулю, т.е. \( |\vec| = 0 \).

Теперь можно сформулировать важное понятие равенства двух векторов.

Определение
Векторы \( \vec \) и \( \vec \) называются равными (\( \vec = \vec \)), если они коллинеарны, одинаково направлены и их длины равны.

Проекция вектора на ось

Пусть в пространстве заданы ось \( u \) и некоторый вектор \( \overrightarrow \). Проведем через точки А и В плоскости, перпендикулярные оси \( u \). Обозначим через А' и В' точки пересечения этих плоскостей с осью (см. рисунок 2).

Проекцией вектора \( \overrightarrow \) на ось \( u \) называется величина А'В' направленного отрезка А'В' на оси \( u \). Напомним, что
\( A'B' = |\overrightarrow| \) , если направление \( \overrightarrow \) совпадает c направлением оси \( u \),
\( A'B' = -|\overrightarrow| \) , если направление \( \overrightarrow \) противоположно направлению оси \( u \),
Обозначается проекция вектора \( \overrightarrow \) на ось \( u \) так: \( Пр_u \overrightarrow \).

Теорема
Проекция вектора \( \overrightarrow \) на ось \( u \) равна длине вектора \( \overrightarrow \) , умноженной на косинус угла между вектором \( \overrightarrow \) и осью \( u \) , т.е. \( Пр_u \overrightarrow = |\overrightarrow|\cos \varphi \) где \( \varphi \) — угол между вектором \( \overrightarrow \) и осью \( u \).

Замечание
Пусть \( \overrightarrow=\overrightarrow \) и задана какая-то ось \( u \). Применяя к каждому из этих векторов формулу теоремы, получаем
\( Пр_u \overrightarrow = Пр_u \overrightarrow \)
т.е. равные векторы имеют равные проекции на одну и ту же ось.

Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве заданы прямоугольная система координат Oxyz и произвольный вектор \( \overrightarrow \). Пусть, далее, \( X = Пр_u \overrightarrow, \;\; Y = Пр_u \overrightarrow, \;\; Z = Пр_u \overrightarrow \). Проекции X, Y, Z вектора \( \overrightarrow \) на оси координат называют его координатами. При этом пишут
\( \overrightarrow = (X;Y;Z) \)

Теорема
Каковы бы ни были две точки A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂), координаты вектора \( \overrightarrow \) определяются следующими формулами:

Замечание
Если вектор \( \overrightarrow \) выходит из начала координат, т.е. x₂ = x, y₂ = y, z₂ = z, то координаты X, Y, Z вектора \( \overrightarrow \) равны координатам его конца:
X = x, Y = y, Z = z.

Направляющие косинусы вектора

Пусть дан произвольный вектор \( \vec = (X;Y;Z) \); будем считать, что \( \vec \) выходит из начала координат и не лежит ни в одной координатной плоскости. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям. Вместе с координатными плоскостями они образуют прямоугольный параллелепипед, диагональю которого служит отрезок ОА (см. рисунок).

Возводя в квадрат левую и правую части каждого из предыдущих равенств и суммируя полученные результаты, имеем
\( \cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1 \)
т.е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна единице.

Линейные операции над векторами и их основные свойства

Линейными операциями над векторами называются операции сложения и вычитания векторов и умножения векторов на числа.

Сложение двух векторов

Замечание
Определив сумму двух векторов, можно найти сумму любого числа данных векторов. Пусть, например, даны три вектора \( \vec,\;\; \vec, \;\; \vec \). Сложив \( \vec \) и \( \vec \), получим вектор \( \vec + \vec \). Прибавив теперь к нему вектор \( \vec \), получим вектор \( \vec + \vec + \vec \)

Произведение вектора на число

Основные свойства линейных операций

1. Переместительное свойство сложения
\( \vec + \vec = \vec + \vec \)

3. Сочетательное свойство умножения
\( \lambda (\mu \vec) = (\lambda \mu) \vec \)

4. Распределительное свойство относительно суммы чисел
\( (\lambda +\mu) \vec = \lambda \vec + \mu \vec \)

5. Распределительное свойство относительно суммы векторов
\( \lambda ( \vec+\vec) = \lambda \vec + \lambda \vec \)

Теоремы о проекциях векторов

Теорема
Проекция суммы двух векторов на ось равна сумме их проекций на эту ось, т.е.
\( Пр_u (\vec + \vec) = Пр_u \vec + Пр_u \vec \)

Теорему можно обобщить на случай любого числа слагаемых.

Разложение вектора по базису

Пусть векторы \( \vec, \; \vec, \; \vec \) — единичные векторы осей координат, т.e. \( |\vec| = |\vec| = |\vec| = 1 \), и каждый из них одинаково направлен с соответствующей осью координат (см. рисунок). Тройка векторов \( \vec, \; \vec, \; \vec \) называется базисом.
Имеет место следующая теорема.

Теорема
Любой вектор \( \vec \) может быть единственным образом разложен по базису \( \vec, \; \vec, \; \vec\; \), т.е. представлен в виде
\( \vec = \lambda \vec + \mu \vec + \nu \vec \)
где \( \lambda, \;\; \mu, \;\; \nu \) — некоторые числа.

Вектор - это отрезок, который имеет направление. Конец вектора совпадает со стрелкой, начало - точка. Модуль вектора (абсолютная величина) - длина этого направленного отрезка.

Если начало вектора совпадает с его концом, получим нулевой вектор.

Два вектора являются равными, если их длина одинаковая и они имеют одинаковое направление. Они совмещаются при переносе.

На рисунке только вектор a равен вектору b. Вектор c им не равен, так как направлен в противоположную сторону

Вектор -c - это вектор c, но противоположного направления. Тогда

Проекция вектора

Проекция вектора на ось имеет положительное значение в том случае, когда направление вектора совпадает с направлением оси. Отрицательное значение - в противоположном случае.

Спроецируем вектор перемещения на ось Ox и на ось Oy. Для того, чтобы получить проекцию необходимо из координаты конца вектора отнять координату начала. На ось ОХ: s_x=x-x₀, на ось ОУ: s_y=y-y₀.

Частные случаи, когда проекция на ось Ox или Oy нулевая.

Сумма составляющих вектора по осям равна данному вектору, т.е.

Сложение векторов

Правило параллелограмма: диагональ параллелограмма - сумма двух векторов с общим началом.

Правило треугольника: от конца первого вектора отложить второй вектор, тогда их суммой будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец с концом второго вектора.

Рассмотрим правила на примерах.

Вычитание векторов

Вычитание векторов - это сумма положительного и отрицательного вектора.

Упражнения

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть численно равной одному из составляющих векторов?

Может ли при сложении двух векторов по правилу параллелограмма равнодействующая быть меньше меньшего из составляющих векторов?

Проектирование различных линий и поверхностей на плоскость позволяет построить наглядное изображение предметов в виде чертежа. Будем рассматривать прямоугольное проектирование, при котором проектирующие лучи перпендикулярны плоскости проекции. ПРОЕКЦИЕЙ ВЕКТОРА НА ПЛОСКОСТЬ считают вектор = (рис. 3.22), заключенный между перпендикулярами, опущенными из его начала и конца.

Рис. 3.22. Векторная проекция вектора на плоскость.

Рис. 3.23. Векторная проекция вектора на ось.

В векторной алгебре часто приходится проектировать вектор на ОСЬ, то есть на прямую, имеющую определенную ориентацию. Такое проектирование выполняется легко, если вектор и ось L лежат в одной плоскости (рис. 3.23). Однако задача усложняется, когда это условие не выполнено. Построим проекцию вектора на ось, когда вектор и ось не лежат в одной плоскости (рис. 3.24).

Рис. 3.24. Проектирование вектора на ось
в общем случае.

Докажите, что при параллельном переносе векторов их векторная проекция не изменится.

Через концы вектора проводим плоскости, перпендикулярные прямой L. В пересечении с этой прямой данные плоскости определяют две точки А1 и B1 – вектор , который будем называть векторной проекцией данного вектора. Задача нахождения векторной проекции может быть решена проще, если вектор приведен в одну плоскость с осью, что возможно осуществить, так как в векторной алгебре рассматриваются свободные векторы.

Наряду с векторной проекцией, существует и СКАЛЯРНАЯ ПРОЕКЦИЯ, которая равна модулю векторной проекции, если векторная проекция совпадает с ориентацией оси L, и равна величине, ей противоположной, если векторная проекция и ось L имеют противоположную ориентацию. Скалярную проекцию будем обозначать:

Докажем теорему, позволяющую вычислять скалярную проекцию заданного вектора.

ТЕОРЕМА 5. Проекция вектора на ось L равна произведению его модуля на косинус угла между вектором и осью, то есть

(3.5)

Рис. 3.25. Нахождение векторной и скалярной
Проекций вектора на ось L
( и ось L одинаково ориентированы).

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Выполним предварительно построения, позволяющие найти угол G Между вектором и осью L. Для этого построим прямую MN, параллельную оси L и проходящую через точку О – начало вектора (рис. 3.25). Угол и будет искомым углом. Проведем через точки А и О две плоскости, перпендикулярные оси L. Получим:

Так как ось L и прямая MN параллельны.

Выделим два случая взаимного расположения вектора и оси L.

1. Пусть векторная проекция и ось L одинаково ориентированны (рис. 3.25). Тогда соответствующая скалярная проекция .

2. Пусть и L ориентированы в разные стороны (рис. 3.26).

Рис. 3.26. Нахождение векторной и скалярной проекций вектора на ось L ( и ось L ориентированы в противоположные стороны).

Таким образом, в обоих случаях справедливо утверждение теоремы.

ТЕОРЕМА 6. Если начало вектора приведено к некоторой точке оси L, и эта ось расположена в плоскости s, вектор образует с векторной проекцией на плоскость s угол , а с векторной проекцией на ось L – угол , кроме того сами векторные проекции образуют между собой угол , то

. (3.6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Треугольники ОАВ, ОВС и ОАС – прямоугольные, поэтому

Рис. 3.27. Вектор и его векторные проекции на плоскость S и ось L, лежащую в этой плоскости
(И ось L одинаково ориентированы).

Сформулируйте и докажите эту теорему, когда не все углы A, B Обязательно острые (рис 3.28).

Доказанная теорема важна не только в векторной алгебре, но актуальна и при решении многих стереометрических задач.

Рис. 3.28. Вектор и его векторные проекции
На плоскость S и ось L, лежащую в этой плоскости
(И ось L противоположно ориентированы).

Читайте также: