Как сделать пример с ответом бесконечность
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 05.10.2024
Задачи настоящей статьи ограничиваются указанием на различные подходы к Б. в математике, освещаемые подробнее в других статьях.
где Р ( х ) и Q ( x ) ‒ многочлены, в тех точках, где Q ( x ) имеет нуль более высокого порядка, чем Р ( х ) , естественно положить f ( x ) = ¥ . Для несобственного элемента ¥ устанавливаются такие правила действий:
¥ + а = ¥, если а конечно;
¥ + ¥ не имеет смысла;
¥ · 0 не имеет смысла.
Неравенства с участием ¥ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше ¥, чем конечное а.
б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами +¥ и -¥. Тогда можно положить, что -¥ а а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для +¥ и -¥ устанавливаются такие правила действий:
(+¥) ` а = - ¥, если а a > 0;
(-¥) ` а = +¥, если а у бесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости от какого-либо другого переменного х; например, говорят, что у бесконечно мало при х ® а, если при любом e > 0 существует такое d > 0, что из | х - a | y = f ( x ) определена для бесконечного множества значений х (например, для всех действительных х, достаточно близких к а ). О бесконечных множествах в математике подробнее см. Множеств теория .
Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия . 1969—1978 .
\u0417\u043d\u0430\u043a \u0432\u043e\u0437\u043b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e, \u043f\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a\u0443 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430:
\u2264,\u2265 - \u043d\u0435\u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043a\u0440\u0430\u0448\u0435\u043d\u0430, \u0438 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f,\u00a0
<,> - \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0437\u0430\u043a\u0440\u0430\u0448\u0435\u043d\u0430, \u0438 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0430 \u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0430\u044f.
Возле знака бесконечности ВСЕГДА круглая скобка.
Знак возле числа определяется, как правило, по знаку неравенства:
≤,≥ - нестрогое неравенство, точка на числовой прямой закрашена, и скобка квадратная,
- строгое неравенство, точка на числовой прямой незакрашена, и скобка круглая.
Меня научили запоминать всё это так:
НЕСТРОГОЕ неравенство РАЗРЕШАЕТ тратить чернила: у него дорисован знак равенства, точка - закрашивается, и на квадратную скобку чернил уйдёт больше, а
СТРОГОЕ неравенство НЕ РАЗРЕШАЕТ тратить чернила: у него сухие знаки больше-меньше, точечка - пустая, и скобка круглая, то есть берегущая чернила.
Рассмотрим пример:
2х-5≤2
2х≤7
х≤3,5, НЕРАВЕНСТВО НЕСТРОГОЕ, следовательно, на числовой прямой икс будет лежать ЛЕВЕЕ, чем 3,5, кружочек с 3,5 будет ЗАКРАШЕН. Запись корней неравенства начинаем С САМОГО ЛЕВОГО, то есть от минус бесконечности, и завершаем числом 3,5 ВКЛЮЧИТЕЛЬНО.
Ответ: х∈(-∞;3,5].
Новые вопросы в Математика
Определи значение х. Ответ запиши в виде десятичной дроби. EUM Land .60 -147 51 : 17 :10 х Ответ: х =
В кармане у Вани 7 монет по 5 рублей и 11 монет по 2 рубля. Ваня не глядя достал 4 монеты по 5 рублей и 2 по два рубля. Сколькими способами он мог выб … рать эти монеты? ПОМОГИТЕ ПЖ СРОЧНО
Вариант 1 14 При проведении опыта вещество равномерно охлаждали в течение 10 минут. При этом каждую минуту температура вещества уменьшалась на 7 °С. Н … айдите температуру вещества (в градусах Цельсия) через 6 минут после начала проведения опыта, если его начальная температура составляла -8°C. Ответ:
Найдите целые решения системы неравенств. 12 2,8 ,3 xx−− 17 16> ,60≤ ,37 x,1 −x4 + ,5 19 , ,8. [5] ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНГ ПОМОГИТЕ
Правило Лопиталя и раскрытие неопределённостей
Производная от функции недалеко падает, а в случае правил Лопиталя она падает точно туда же, куда падает исходная функция. Это обстоятельство помогает в раскрытии неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ и некоторых других неопределённостей, возникающих при вычислении предела отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций. Вычисление значительно упрощается с помощью этого правила (на самом деле двух правил и замечаний к ним):
Как показывает формула выше, при вычислении предела отношений двух бесконечно малых или бесконечно больших функций предел отношения двух функций можно заменить пределом отношения их производных и, таким образом, получить определённный результат.
Перейдём к более точным формулировкам правил Лопиталя.
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно малых величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю ( g'(x)≠0 ) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны нулю:
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
Правило Лопиталя для случая предела двух бесконечно больших величин. Пусть функции f(x) и g(x) имеют производные (то есть дифференцируемы) в некоторой окрестности точки a. А в самой точке a они могут и не иметь производных. При этом в окрестности точки a производная функции g(x) не равна нулю ( g'(x)≠0 ) и пределы этих функций при стремлении икса к значению функции в точке a равны между собой и равны бесконечности:
Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:
Иными словами, для неопределённостей вида 0/0 или ∞/∞ предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если последний существует (конечный, то есть равный определённому числу, или бесконечный, то есть равный бесконечности).
Замечания.
1. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a.
2. Если при вычисления предела отношения производных функций f(x) и g(x) снова приходим к неопределённости вида 0/0 или ∞/∞, то правила Лопиталя следует применять многократно (минимум дважды).
3. Правила Лопиталя применимы и тогда, когда аргумент функций (икс) стремится не к конечному числу a, а к бесконечности (x → ∞).
К неопределённостям видов 0/0 и ∞/∞ могут быть сведены и неопределённости других видов.
Раскрытие неопределённостей видов "ноль делить на ноль" и "бесконечность делить на бесконечность"
Пример 1. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=2 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому производную каждой функции и получаем
В числителе вычисляли производную многочлена (применяя для этого формулы 1, 2 и 3 из таблицы производных), а в знаменателе - производную сложной логарифмической функции. Перед последним знаком равенства вычисляли обычный предел, подставляя вместо икса двойку.
Пример 2. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 3. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Решение. Подстановка в заданную функцию значения x=0 приводит к неопределённости вида 0/0. Поэтому вычисляем производные функций в числителе и знаменателе и получаем:
Пример 4. Вычислить
Решение. Подстановка в заданную функцию значения икса, равного плюс бесконечности, приводит к неопределённости вида ∞/∞. Поэтому применим правило Лопиталя:
Замечание. Переходим к примерам, в которых правило Лопиталя приходится применять дважды, то есть приходить к пределу отношений вторых производных, так как предел отношения первых производных представляет собой неопределённость вида 0/0 или ∞/∞.
Пример 5. Вычислить предел отношения двух функций, пользуясь правилом Лопиталя:
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида ∞/∞.
Пример 6. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных дают неопределённость вида 0/0.
Пример 7. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида - ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Пример 8. Вычислить
Здесь правило Лопиталя применено дважды, поскольку и предел отношения функций, и предел отношения производных сначала дают неопределённость вида ∞/∞, а затем неопределённость вида 0/0.
Применить правило Лопиталя самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 9. Вычислить
Подсказка. Здесь придётся попыхтеть несколько больше обычного над преобразованием выражений под знаком предела.
Пример 10. Вычислить
Подсказка. Здесь правило Лопиталя придётся применять трижды.
Раскрытие неопределённостей вида "ноль умножить на бесконечность"
Пример 11. Вычислить
(здесь неопределённость вида 0∙∞ мы преобразовали к виду ∞/∞, так как
а затем применили правила Лопиталя).
Пример 12. Вычислить
В этом примере использовано тригонометрическое тождество .
Раскрытие неопределённостей видов "ноль в степени ноль", "бесконечность в степени ноль" и "один в степени бесконечность"
Неопределённости вида , или обычно приводятся к виду 0/0 или ∞/∞ с помощью логарифмирования функции вида
Чтобы вычислить предел выражения , следует использовать логарифмическое тождество , частным случаем которого является и свойство логарифма .
Используя логарифмическое тождество и свойство непрерывности функции (для перехода за знак предела), предел следует вычислять следующим образом:
Отдельно следует находить предел выражения в показателе степени и возводить e в найденную степень.
Пример 13. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Вычисляем предел выражения в показателе степени
Пример 14. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Вычисляем предел выражения в показателе степени
Пример 15. Вычислить, пользуясь правилом Лопиталя
Вычисляем предел выражения в показателе степени
Раскрытие неопределённостей вида "бесконечность минус бесконечность"
Это случаи, когда вычисление предела разности функций приводит к неопределённости "бесконечность минус бесконечность": .
Вычисление такого предела по правилу Лопиталя в общем виде выглядит следующим образом:
В результате таких преобразований часто получаются сложные выражения, поэтому целесообразно использовать такие преобразования разности функций, как приведение к общему знаменателю, умножение и деление на одно и то же число, использование тригонометрических тождеств и т.д.
В математике принципиально важным является понятие бесконечности, обозначаемое символом ∞ . Его следует понимать как бесконечно большое (+∞) или бесконечно малое (–∞) число. Когда мы говорим о бесконечности, часто мы имеем ввиду сразу оба этих её смысла, однако запись вида +∞ или –∞ не стоит заменять просто на ∞ .
Запись читается >. Чаще всего – именно х , хотя вместо > на практике встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ∞ ).
3) Функции под знаком предела, например:
то есть выражение > следует понимать так – > последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются к единице и практически с ней совпадают.
В нижней части мы пишем основной аргумент х , а с помощью стрелочки указываем, к какому именно значению х 0 он будет стремиться. Если значение х 0 является конкретным действительным числом, то мы имеем дело с пределом функции в точке. Если же значение х 0 стремится к бесконечности (не важно, +∞ или –∞ ), то следует говорить о пределе функции на бесконечности.
если последовательность её значений будет сходиться к А для любой бесконечно большой последовательности аргументов (отрицательной или положительной).
Запись предела функции выглядит так:
предел функции f ( x ) является бесконечным, если последовательность значений для любой бесконечно большой последовательности аргументов будет также бесконечно большой (отрицательной или положительной).
Если нельзя определить ни конечное, ни бесконечное значение, это значит, что такого предела не существует. Примером этого случая может быть предел от синуса на бесконечности.
РЕШЕНИЕ:
Подставляем вместо х бесконечность. Получаем, что последовательность значений функции является бесконечно малой величиной и поэтому имеет предел, равный нулю.
Для наглядности и убедительности можно подставить вместо х супербольшое число. При делении получите супермалое число.
Если две функции f ( x ) и g ( x ) равны в некоторой окрестности точки х 0 , за исключением, может быть самой точки х 0 , то либо они имеют один и тот же предел при
Формула справедлива для любого конечного числа функций.
– предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, то есть
Формула справедлива для любого конечного числа функций.
– предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, то есть
Непосредственное применение теоремы о пределах, однако, не всегда приводит к цели. Например, нельзя применить теорему о пределе частного, если предел делителя равен нулю. В таких случаях необходимо предварительно тождественно преобразовать функцию.
Теорема о пределе частного здесь неприменима, так как
где х 1 = 2, х 2 = –0,5 – корни квадратного трёхчлена. Теперь сократим дробь и вычислим предел данной функции:
Подставим бесконечность в функцию. Что получается вверху ? Бесконечность. А внизу ? Тоже бесконечность. Таким образом получилась так называемая неопределённость вида
и ответ готов, но в общем случае это вовсе не так, и нужно применить некоторый приём решения, который и рассмотрим .
Необходимо разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени.
Разделим числитель и знаменатель на х 2 .
Рассмотрим группу пределов, когда х стремится к конечному числу, а функция представляет собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены.
Для этого чаще всего нужно решить квадратное уравнение и (или) использовать формулы сокращённого умножения.
Решаем предел дальше. Разложим числитель и знаменатель на множители. Для того чтобы разложить числитель на множители, нужно решить квадратное уравнение:
Если корень не извлекается нацело (получается дробное число с запятой), очень вероятно, что дискриминант вычислен неверно, либо в задании опечатка.
Если в пределе (практически любого типа) можно вынести число за скобку, то всегда это надо делать. Более того, такие числа целесообразно выносить за значок предела.
встречается очень часто. Сокращать такую дробь нельзя. Сначала нужно поменять знак у числителя или у знаменателя (вынести –1 за скобки).
Следующий тип пределов похож на предыдущий тип. Единственное что, помимо многочленов, у нас добавятся корни.
Сначала подставляем 3 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.
которую нужно устранять.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределённости
Можно сказать что ( a – b ) в числителе уже есть. теперь для применения формулы осталось организовать ( a + b ) (которое и называется сопряжённым выражением).
Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение :
не пропала, корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, её можно превратить в постоянное число, подставив тройку под корни
Число надо вынести за значок предела.
Разложим числитель и знаменатель на множители и сократим дробь.
Сначала подставляем –2 в выражение под знаком предела. Это первое, что нужно выполнять для любого предела.
В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.
Выделяют следующие основные виды неопределенностей:
- Деление 0 на 0 0 0 ;
- Деление одной бесконечности на другую ∞ ∞ ;
0 , возведенный в нулевую степень 0 0 ;
Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.
Раскрытие неопределенностей
Раскрыть неопределенность можно:
-
С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );
С помощью замечательных пределов;
С помощью правила Лопиталя;
Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).
Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.
| Неопределенность | Метод раскрытия неопределенности |
| 1. Деление 0 на 0 | Преобразование и последующее упрощение выражения. Если выражение имеет вид sin ( k x ) k x или k x sin ( k x ) то нужно использовать первый замечательный предел. Если такое решение не подходит, пользуемся правилом Лопиталя или таблицей эквивалентных бесконечно малых выражений |
| 2. Деление бесконечности на бесконечность | Преобразование и упрощение выражения либо использование правила Лопиталя |
| 3. Умножение нуля на бесконечность или нахождение разности между двумя бесконечностями | Преобразование в 0 0 или ∞ ∞ с последующим применением правила Лопиталя |
| 4. Единица в степени бесконечности | Использование второго замечательного предела |
| 5. Возведение нуля или бесконечности в нулевую степень | Логарифмирование выражения с применением равенства lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) = ln lim x → x 0 f ( x ) |
Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.
Вычислите предел lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 .
Решение
Выполняем подстановку значений и получаем ответ.
lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 1 3 + 3 · 1 - 1 1 5 + 3 = 3 4 = 3 2
Ответ: lim x → 1 x 3 + 3 x - 1 x 5 + 3 = 3 2 .
Вычислите предел lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 .
Решение
У нас есть показательно степенная функция, в основание которой нужно подставить x = 0 .
( x 2 + 2 , 5 ) x = 0 = 0 2 + 2 , 5 = 2 , 5
Значит, мы можем преобразовать предел в следующее выражение:
lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2
Теперь разберемся с показателем – степенной функцией 1 x 2 = x - 2 . Заглянем в таблицу пределов для степенных функций с показателем меньше нуля и получим следующее: lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞ и lim x → 0 + 0 1 x 2 = lim x → 0 + 0 x - 2 = + ∞
Таким образом, можно записать, что lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ .
Теперь берем таблицу пределов показательных функций с основаниями, большими 0 , и получаем:
lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = lim x → 0 2 , 5 1 x 2 = 2 , 5 + ∞ = + ∞
Ответ: lim x → 0 ( x 2 + 2 , 5 ) 1 x 2 = + ∞ .
Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.
Вычислите предел lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 .
Решение
Выполняем подстановку значений.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 1 2 - 1 1 - 1 = 0 0
В итоге у нас получилась неопределенность. Используем таблицу выше, чтобы выбрать метод решения. Там указано, что нужно выполнить упрощение выражения.
lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0 0 = lim x → 1 ( x - 1 ) · ( x + 1 ) x - 1 = = lim x → 1 ( x - 1 ) · ( x + 1 ) · ( x + 1 ) x - 1 = lim x → 1 ( x + 1 ) · x - 1 = = 1 + 1 · 1 - 1 = 2 · 0 = 0
Как мы видим, упрощение привело к раскрытию неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 - 1 x - 1 = 0
Вычислите предел lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x .
Решение
Подставляем значение и получаем запись следующего вида.
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 3 - 3 12 - 3 - 6 + 3 = 0 9 - 9 = 0 0
Мы пришли к необходимости делить нуль на нуль, что является неопределенностью. Посмотрим нужный метод решения в таблице – это упрощение и преобразование выражения. Выполним дополнительное умножение числителя и знаменателя на сопряженное знаменателю выражение 12 - x + 6 + x :
lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = 0 0 = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x
Домножение знаменателя выполняется для того, чтобы потом можно было воспользоваться формулой сокращенного умножения (разность квадратов) и выполнить сокращение.
lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x - 6 + x 12 - x + 6 + x = lim x → 3 x - 3 12 - x + 6 + x 12 - x 2 - 6 + x 2 = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x 12 - x - ( 6 + x ) = = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x 6 - 2 x = lim x → 3 ( x - 3 ) 12 - x + 6 + x - 2 ( x - 3 ) = = lim x → 3 12 - x + 6 + x - 2 = 12 - 3 + 6 + 3 - 2 = 9 + 9 - 2 = - 9 = - 3
Как мы видим, в результате этих действий нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 3 x - 3 12 - x - 6 + x = - 3 .
Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.
Вычислите предел lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 .
Решение
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 1 2 + 2 · 1 - 3 3 · 1 2 - 5 · 1 + 2 = 0 0
В итоге у нас вышла неопределенность. Рекомендуемый способ решения задачи в таком случае – упрощение выражения. Поскольку при значении x , равном единице, числитель и знаменатель обращаются в 0 , то мы можем разложить их на множители и потом сократить на х - 1 ,и тогда неопределенность исчезнет.
Выполняем разложение числителя на множители:
x 2 + 2 x - 3 = 0 D = 2 2 - 4 · 1 · ( - 3 ) = 16 ⇒ x 1 = - 2 - 16 2 = - 3 x 2 = - 2 + 16 2 = 1 ⇒ x 2 + 2 x - 3 = x + 3 x - 1
Теперь делаем то же самое со знаменателем:
3 x 2 - 5 x + 2 = 0 D = - 5 2 - 4 · 3 · 2 = 1 ⇒ x 1 = 5 - 1 2 · 3 = 2 3 x 2 = 5 + 1 2 · 3 = 1 ⇒ 3 x 2 - 5 x + 3 = 3 x - 2 3 x - 1
Мы получили предел следующего вида:
lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 0 0 = lim x → 1 x + 3 · x - 1 3 · x - 2 3 · x - 1 = = lim x → 1 x + 3 3 · x - 2 3 = 1 + 3 3 · 1 - 2 3 = 4
Как мы видим, в ходе преобразования нам удалось избавиться от неопределенности.
Ответ: lim x → 1 x 2 + 2 x - 3 3 x 2 - 5 x + 2 = 4 .
Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0 , то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.
Например, lim x → ∞ ( x 4 + 2 x 3 - 6 ) = lim x → ∞ x 4 = ∞ или lim x → ∞ x 4 + 4 x 3 + 21 x 2 - 11 5 = lim x → ∞ x 4 5 = ∞ .
Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x → ∞ у нас возникает неопределенность вида ∞ ∞ . Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на x m a x ( m , n ) . Приведем пример решения подобной задачи.
Вычислите предел lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 .
Решение
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = ∞ ∞
Степени числителя и знаменателя равны 7 . Делим их на x 7 и получаем:
lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 x 7 3 x 7 + 12 x 7 = = lim x → ∞ 1 + 2 x 2 - 4 x 7 3 + 12 x 7 = 1 + 2 ∞ 2 - 4 ∞ 7 3 + 12 ∞ 7 = 1 + 0 - 0 3 + 0 = 1 3
Ответ: lim x → ∞ x 7 + 2 x 5 - 4 3 x 7 + 12 = 1 3 .
Вычислите предел lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 .
Решение
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞
Числитель имеет степень 8 3 , а знаменатель 2 . Выполним деление числителя и знаменателя на x 8 3 :
lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 8 3 x 2 + x + 1 x 8 3 = = lim x → ∞ 1 + 11 x 8 3 1 x 2 3 + 1 x 5 3 + 1 x 8 3 = 1 + 11 ∞ 3 1 ∞ + 1 ∞ + 1 ∞ = 1 + 0 3 0 + 0 + 0 = 1 0 = ∞
Ответ: lim x → ∞ x 8 + 11 3 x 2 + x + 1 = ∞ .
Вычислите предел lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 .
Решение
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞
У нас есть числитель в степени 3 и знаменатель в степени 10 3 . Значит, нам нужно разделить числитель и знаменатель на x 10 3 :
lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = ∞ ∞ = lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 3 x 10 + 56 x 7 + 12 3 x 10 3 = = lim x → ∞ 1 x 1 3 + 2 x 4 3 - 1 x 10 3 1 + 56 x 3 + 12 x 10 3 = 1 ∞ + 2 ∞ - 1 ∞ 1 + 56 ∞ + 12 ∞ 3 = 0 + 0 - 0 1 + 0 + 0 3 = 0
Ответ: lim x → ∞ x 3 + 2 x 2 - 1 x 10 + 56 x 7 + 12 3 = 0 .
Выводы
В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:
Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.
Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.
Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.
Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.
Читайте также: