Как сделать преобразование буквенных выражений
Добавил пользователь Евгений Кузнецов Обновлено: 04.10.2024
С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
- умножает многочлены
- суммирует одночлены (приводит подобные)
- раскрывает скобки
- возводит многочлен в степень
Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.
Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.
Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.
Обнаружено что не загрузились некоторые скрипты, необходимые для решения этой задачи, и программа может не работать.
Возможно у вас включен AdBlock.
В этом случае отключите его и обновите страницу.
Т.к. желающих решить задачу очень много, ваш запрос поставлен в очередь.
Через несколько секунд решение появится ниже.
Пожалуйста подождите сек.
Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена
Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\( 5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8 \)
\( xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2 \)
Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.
Например, многочлен
\( 8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.
Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)
Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.
За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b - 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.
Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\( 5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1 \)
Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.
Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:
Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена
С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.
Этот результат обычно формулируют в виде правила.
Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.
Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.
Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов
Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.
Обычно пользуются следующим правилом.
Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.
Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов
С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a - b)^2 \) и \( a^2 - b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.
Выражения \( (a + b)^2, \; (a - b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)
Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.
\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.
\( (a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.
\( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - разность квадратов равна произведению разности на сумму.
Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.
Выражения называются тождественно равными, если они равны при любых допустимых значениях входящих в нее переменных.
Преобразование выражений можно выполнять с помощью следующих законов:
- $a+b=b+a$
- $ab=ba$
- $\left(a+b\right)+c=a+(b+c)$
- $\left(ab\right)c=a(bc)$
- $a\left(b+c\right)=ab+ac$
Далее рассмотрим основные тождественные преобразования.
Раскрытие скобок
Если выражение в себе содержит скобки, то мы можем его привести к тождественно равному выражению с меньшем количеством скобок или к выражению, которое не будет содержать их совсем.
Преобразовать выражение: $5\left(x+1\right)+\left(3+y\right)(4+z)$
Для преобразования данного выражения будем пользоваться 5 законом:
\[5\left(x+1\right)+\left(3+y\right)\left(4+z\right)=5x+5+\left(3+x\right)\cdot 4+\left(3+x\right)\cdot z=\] \[=5x+5+12+4x+3z+xz\]
В результате получили тождественно равное выражение, не содержащее скобок.
Вынесение общего множителя за скобки
Наряду с раскрытием скобок можно применять обратную операцию -- выносить общий множитель за скобки.
Разложить на множители $5x+z+xz+5$.
Вынесем общие множители за скобки:
Приведение подобных слагаемых
Если выражение содержит одинаковые слагаемые или слагаемыми, у которых отличается только числовой коэффициент, то их можно преобразовывать в одно слагаемое. Тоже самое можно делать и с самими числами, входящими в выражение. Вернемся к предыдущему примеру.
Замена чисел и выражений тождественно равными выражениями
Одними из основных тождеств являются свойства степеней, корней, логарифмов, а также тригонометрические тождества.
Готовые работы на аналогичную тему
Упростить выражение $^2$
Приведем подобные слагаемые:
Используем основное тригонометрическое тождество $^2x+^2x=1$ и формулу синуса двойного угла $sin2x=2sinxcosx$, получим:
Формулы сокращенного умножения
Довольно часто для преобразования выражений пользуются формулами сокращенного умножения. Выведем некоторые из них.
- Разность квадратов двух выражений равна произведению их разность на их сумму: \[\left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\]
- Квадрат суммы двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с удвоенным произведением первого выражения на второе и квадратом второго выражения: \[^2=\left(a+b\right)\left(a+b\right)=a^2+ab+ab+b^2=a^2+2ab+b^2\]
- Квадрат разности двух выражений равен сумме квадрата первого выражения с квадратом второго выражения без удвоенного произведения первого выражения на второе: \[^2=\left(a-b\right)\left(a-b\right)=a^2-ab-ab+b^2=a^2-2ab+b^2\]
- Сумма кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы: \[\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)=a^3+a^2b+ab^2-a^2b-ab^2-b^3=a^3-b^3\]
- Разность кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности: \[\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)=a^3-a^2b+ab^2+a^2b-ab^2+b^3=a^3+b^3\]
- Куб суммы двух выражений равен сумме куба первого выражения с утроенным произведением квадрата первого выражения на второе, с утроенным произведением первого выражения на квадрат второго с квадратом третьего выражения. \[^3=(a+b)^2\]
Выражения с__________________ или __________________ выражения. 13 + с + d 3а + 234,5 81 : (х - 9) 12,5 а + 2 = 2,5 _ _ b - 2 -5а + 10 b _ b - 3 3,75 _ a - 2b Как называются данные выражения? переменными буквенные
Запишите с помощью букв: А) утроенное число; Б) половину числа; В) треть числа; Г) число, увеличенное на 25; Д) число, увеличенное в 5 раз; Е) число, противоположное х; Ж) число, противоположное сумме чисел х и у; З) число, обратное разности чисел х и у; И) число, увеличенное на 10%. 3а 0,5а ⅓ а а+25 5а - х -(х+у) 1,1а Проверка:
Сформулируйте понятие буквенного выражения Буквенные выражения – это выражения, составленные из чисел, букв, знаков математических действий и скобок. Вычисления выражений
Найдите значение буквенного выражения при х = 0; -1; 1 . Всегда ли можно решить выражение при данных значениях переменной? Если х = 0, то Если х = -1, то Если х = 1, то Решений нет, т.к. х – 1 = 0
При каких значениях переменной имеет смысл выражение: При любом х При х=5 При а = - b При х= 0,5 При любом х При а = b
Самостоятельная работа: I вариант Найдите значение выражения: х + 3,2 при х = -3,2; -5х при х = 12х – 7 при х = 0,05; 3 – 1,5х при х = при х = -1, у = II вариант Найдите значение выражения: х - 3,8 при х = 3,8; -6х при х = 12х – 7 при х = - 0,05; 3 – 1,5х при х = при х = 0,5, у = -2
Домашнее задание: № 282 (в; г) № 286 (б; г) № 301 Доп. №312,№ 314
Предварительный просмотр:
Урок № 2 Вычисление буквенных выражений.
Цель: Систематизировать и обобщить знания учащихся о буквенных выражениях.
- обобщить знания о буквенных выражениях, формирование навыка нахождения значения буквенного выражения, допустимых значений переменных;
- развивать вычислительные навыки, память, внимание, мышление, самостоятельно решать и делать выводы;
- воспитывать трудолюбие, интерес к предмету.
I. Организационный момент.
II. Устная работа:
а) Слайд 2: Сформулировать понятие числового выражения. Привести примеры.
Презентация. Числовые равенства. Проверка числовых равенств.
Преобразования левой и правой части:
б) Слайд 3: Найти значения числового выражения.
в) Слайд 4: Определить, имеет ли смысл числовое выражение.
2. Слайд 5: Определить, вид данных выражений:
a) 13 + c + d; б) 81 : (x – 9); в) -5а + 10; г) 3а + 234,5;
д) ; е) .
3. Слайд 6: Чтение буквенных выражений:
а) а + с; б) а·с; в) (а+с) 2 ; г) (а – с) 3 ; д) а 2 – b 2 ; e) a 3 + c 3 ;
ж) (а – с)(а + с); з) 2ab; и) 0,5(a + b); k) .
III. Закрепление и совершенствование знаний.
1. Слайд 7: Записать буквенные выражения (самопроверка):
А) утроенное число;
Б) половину числа;
Г) число, увеличенное на 25;
Д) число, увеличенное в 5 раз;
Е) число, противоположное х;
Ж) число, противоположное сумме чисел х и у;
З) число, обратное разности чисел х и у;
И) число, увеличенное на 10%.
2 . Слайд 8: Сформулировать понятие буквенного выражения.
3. Слайд 9: Найдите значение буквенного выражения при х = 0; -1; 1.
Всегда ли можно решить выражение при данных значениях
переменной?
4. Слайд 10 : (Устно) Определить, при каких значениях переменной имеет смысл выражение:
Timeweb - компания, которая размещает проекты клиентов в Интернете, регистрирует адреса сайтов и предоставляет аренду виртуальных и физических серверов. Разместите свой сайт в Сети - расскажите миру о себе!
Виртуальный хостинг
Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.
Производительность и масштабируемые ресурсы для вашего проекта. Персональный сервер по цене виртуального хостинга.
Выделенные серверы
Быстрая загрузка вашего сайта, бесплатное доменное имя, SSL-сертификат и почта. Первоклассная круглосуточная поддержка.
Читайте также: