Как сделать последовательность чисел

Обновлено: 07.07.2024

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности \(3; 6; 12; 24; 48…\) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность \(3; 6; 12; 24; 48…\) обозначить как \(a_n\), то можно записать, что \(a_1=3\), \(a_2=6\), \(a_3=12\), \(a_4=24\) и так далее.

порядковый номер элемента

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: \(1; \: 1; \: 1; \: 1…\) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

- I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел .

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: \(1; \: 2; \: 3; \: 4; \: 5\) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть \(1^2;\: 2^2; \: 3^2; \: 4^2; \: 5^2…\) . Таким образом, имеем ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Ответ: \(1; \: 4; \: 9; \: 16; \: 25…\)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

- II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: \(b_n=\frac\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим \(b_1\). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер \(n\) равен единице. Тогда его значение равно \(b_1=\frac =\frac=0\).
У второго члена \(n=2\), то есть его значение равно \(b_2=\frac =\frac\).
Третий (\(n=3\)): \(b_3=\frac =\frac\).
Четвертый (\(n=4\)): \(b_4=\frac =\frac\).
Пятый (\(n=5\)): \(b_5=\frac =\frac\) .
Готово. Можно писать ответ.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: \(a_n=8+5n-n^2\). Вычислите \(a_9\).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер \(n=9\). Подставляем в формулу: \(a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28\).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: \(c_1=4\), \(c_=c_n+3\). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: \(c_1=4\).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо \(n\) единицу: \(c_=c_1+3\)
\(c_2=c_1+3=4+3=7\)
Третий (\(n=2\)): \(c_=c_2+3 \)
\(c_3=c_2+3=7+3=10\).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула \(c_=c_n+3\) требовала именно этого. В ней \(c_n\) – это предыдущий элемент, а \(c_\) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Пример: У последовательности известны первые два элемента \(z_1=2;\) \(z_2=5\). Так же известна формула следующего элемента \(z_=3z_-z_n\). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

Так как формула дана для элемента с номером \(n+2\), то чтобы найти \(z_3\) нужно подставлять вместо \(n\) единицу:
\(z_=3z_-z_1\)
\(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13\)

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности \(a_n=n^2-n\):

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

\(a_2=2^2-2=2\) – тоже не то.

Нужный элемент найден.

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

Подставляют заданное число в формулу \(n\) -го члена вместо \(a_n\);

Решая полученное уравнение , находят неизвестное \(n\);

Если \(n\) – натуральное , то данное число - член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число \(3\) членом последовательности \(a_n=\) \(\frac\) ?

Если число \(3\) – член последовательности, то значит при некотором значении \(n\), формула \(\frac\) должна дать нам тройку. Найдем это \(n\) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо \(a_n\).

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель \((n+4)\).

Последовательности — это абстрактный набор данных, которые можно перебирать.

Последовательностью может быть, например, последовательность чисел:

арифметическая прогрессия: 1 3 5 7 9

геометрическая прогрессия: 1 2 4 8 16

Тип последовательности: Sequence of Real , Sequence of Integer

Наиболее близким типом данных к последовательности является массив.

Рассмотрим стандартный пример работы с числовым рядом, БЕЗ использования последовательности:

begin var s:=0.0; for var i:=1 to 10 do begin var x:=ReadReal; s+=x; end; print(s) end.

// накапливаем последовательность, переменная q хранит ее var q:=ReadSeqReal(10); var s:=0.0; foreach var x in q do s+=x; print(s) end.

Теперь алгоритм находится отдельно от ввода, программа стала более модифицируема.
Остается оформить основной алгоритм в виде функции:

function Sum(q: sequence of real):real; begin var s:=0.0; foreach var x in q do s+=x; result:=s end; begin print(Sum(ReadSeqReal(10))) end.

Генерация и формирование последовательностей

Итак, мы рассмотрели, как сформировать последовательность через ввод с клавиатуры:

Теперь рассмотрим, как генерируются последовательности.

Генераторы последовательностей:
Range(a,b: integer) : sequence of integer

Range(a,b,step: integer) : sequence of integer

Range(c1,c2: char) : sequence of char

Partition(a,b: real; n: integer) : sequence of real

print(Partition(0.0, 6.0, 4)); // делим поровну на 4 части [0, 1.5, 3, 4.5, 6]

SeqRandomInteger(n: integer[; a,b: integer]) : sequence of integer;

var q:=SeqRandomInteger(5,10,20); print(q); // [12,18,16,14,16]

SeqRandomReal(n: integer[; a,b: real]) : sequence of real;

var q:=SeqRandomReal(3, 1.0, 5.0); print(q); // [4.98996168374548,2.22339218166815,2.81110574389394]

Seq(params a: array of T) : sequence of T;

foreach var x in Seq (1,3,8) do print(x*x); // 1 9 64

SeqFill(count: integer; x: T) : sequence of T;

begin var q:=SeqFill(7,5); print(q); // [5,5,5,5,5,5,5] end.

Следует учесть, что последовательности формируются каждый раз, как только с ними организовывается цикл или работает метод:

Вывод последовательностей

Print(delim: string := ' ') : sequence of T;

var q:=SeqRandomInteger(5,10,20); q.Print('/'); // 16/11/13/10/13

Println(delim: string := ' ') : sequence of T;

Решение задач

Создание и вывод

Выполнение:

function findCountMax(a: sequence of integer):integer; begin var k:=a.Max(); foreach var i in a do if i=k then result+=1; end; begin var c:=Seq(1,5,2,10,1,10); println('кол-во макс ',findCountMax(c)); c.Print(); end.

Задание seq 7: Написать функцию, которая в последовательности ищет среднее арифметическое отрицательных элементов

База данных

Последовательности — это особый тип объектов базы данных, которые генерируют уникальные числовые идентификаторы. Последовательность отвечает за создание первичных ключей базы данных. Последовательности генерируют числовой порядок, и существует вероятность того, что несколько последовательностей содержат одно и то же числовое значение, но порядок в каждой последовательности разный. В этой статье демонстрируется использование и работа с последовательностями в Postgres. Более того, приводятся несколько примеров, чтобы испытать работу последовательностей в Postgres.

Как создать последовательность в Postgres

Последовательности в Postgres создаются в соответствии с синтаксисом команды CREATE SEQUENCE, представленной ниже:

обозначает имя, которое вы хотите задать для последовательности, а содержит расширенные свойства для этой конкретной последовательности. Параметры, поддерживаемые CREATE SEQUENCE, упоминаются в следующем разделе:

Параметры, поддерживаемые командой CREATE SEQUENCE

Можно создать последовательность с заданными пользователем параметрами с помощью команды CREATE SEQUENCE. Эта команда поддерживает следующие параметры:

[ INCREMENT [ BY] ]: этот параметр создает последовательность с приращением определенного числового числа. Значение по умолчанию равно 1. Более того, если значение приращения положительное, то порядок будет возрастающим, тогда как убывающий порядок можно получить, передав отрицательное значение.

[AS < SMALLINT | INT | BIGINT >]: Параметр типа данных позволяет вам определить шаблон последовательности. По умолчанию в качестве типа данных используется BIGINT.

[ MINVALUE ] or [ NO MINVALUE ]: с помощью этой опции можно указать минимальное значение последовательности. Если этот параметр оставить пустым, то максимальное значение по умолчанию устанавливается в соответствии с указанным типом данных.

[ MAXVALUE ] or [ NO MINVALUE ]:этот параметр является обратным предыдущему, где вы можете установить максимальное значение для вашей последовательности. Более того, если он не установлен, считается значение типа данных по умолчанию.

[ START [WITH] start ]: Указывает значение начала последовательности.

[CYCLE] or [NO CYCLE]: если определена эта опция, значение последовательности возобновляется после достижения максимального предела. Значение по умолчанию в этом случае — NO CYCLE, и он возвращает ошибку после достижения указанного предела последовательности.

[OWNED BY ]: этот параметр используется для связывания последовательности с определенным столбцом таблицы. В результате при удалении столбца последовательность также удаляется автоматически.

Следующие разделы лучше прояснят концепцию последовательности в Postgres.

Как создать последовательность в Postgres

В этом разделе представлены несколько примеров создания последовательности с разных точек зрения. Каждый пример относится к другому типу последовательности.

Пример 2: Кроме того, если приращение установлено на любое отрицательное (-) значение, то последовательность начинается с максимального значения и спускается до указанного минимального значения. Например, приведенная ниже команда создаст последовательность со следующими свойствами:

— Наконец, параметр цикла также используется

Как получить последовательности базы данных

Каждая последовательность связана с базой данных. Например, мы вошли в базу данных linuxhint и получили все последовательности с помощью приведенной ниже команды:

В приведенной ниже команде relname и sequence_name получаются из PG_CLASS. PG_CLASS в Postgres содержит информацию о таблицах баз данных.

Вы увидите две категории на выходе; одна относится к последовательностям, связанным с первичным ключом таблиц, а другая категория указывает на определяемые пользователем последовательности, которые создаются отдельно (как в предыдущем разделе).

Как получить следующее/текущее значение последовательности

Есть несколько функций, которые можно использовать для получения текущего и следующего значения последовательности в Postgres. Функция NEXTVAL печатает следующее значение в последовательности, используя приведенный ниже синтаксис:

Как только получено следующее значение, вы можете получить текущее значение последовательности с помощью функции CURRVAL. CURRVAL напечатает результат, полученный функцией NEXTVAL. Например, последняя функция NEXTVAL показала результат 7, поэтому результат CURRVAL должен быть равен 7. Точно так же любое значение, полученное с помощью последней функции NEXTVAL, должно быть напечатано CURRVAL. Функция CURRVAL использует следующий синтаксис:

Как удалить последовательность

Заключение

Вообще, что вам приходит в голову после получения слова последовательности? Упорядоченный список чисел. Да, концепция такая же и в Postgres. В этом посте объясняется концепция последовательности и демонстрируется ее базовая функциональность в Postgres. В этом руководстве мы изучали создание последовательности несколькими способами. Кроме того, также обсуждаются функции следующего и текущего значений последовательностей.

Инструмент Прогрессия дарит нам несколько замечательных возможностей. С помощью него можно заполнить диапазон ячеек данными по определенному закону: в арифметической или геометрической прогрессии. Для этого не нужно даже знать формулы. Для значений в формате дат предусмотрено создание специфических последовательностей.

Инструмент Прогрессия доступен через меню Главная/ Редактирование/ Заполнить/ Прогрессия…

Для начала работы введите начальное значение (первый член) прогрессии. Затем выделите диапазон ячеек, куда будут вводиться данные, и вызовите инструмент.

Числовые последовательности

Арифметическая прогрессия представляет собой числовую последовательность, где каждое число больше (или меньше) предыдущего на одно и тоже значение (шаг).

Примеры:
Арифметическая прогрессия с шагом 2 – это последовательность чисел 1, 3, 5, 7, 9, 11, … В окне инструмента Прогрессия нужно выбрать Арифметическая и установить Шаг равным 2.

Геометрическая прогрессия с шагом 2 – это последовательность чисел 2, 4, 8, 16, …. Этот пример позволяет быстро вспомнить степени 2. В окне инструмента Прогрессия нужно выбрать Геометрическая и установить Шаг равным 2.

Конечно, арифметическую прогрессию 1, 3, 5, 7, 9, 11, … можно организовать путем формулы =А1+2 , а геометрическую 2, 4, 8, 16, … – =А1*2 . Это уже как кому удобнее.

Последовательности дат и рабочих дней

В инструменте Прогрессия есть одна замечательная возможность по заполнению значений в формате дат. Вводим дату, выбираем диапазон,

вызываем инструмент Прогрессия, выбираем Тип Даты, выбираем Единицы Рабочий день.

В итоге получаем диапазон, заполненный только одними рабочими днями (не суббота и не воскресенье).

Если выберем в качестве единиц месяц, то месяц будет прибавляться к начальной дате и т.д. Эти возможности уже за несколько секунд не реализуешь, нужно вспоминать формулы. А если вспомнить, что еще можно и шаг прогрессии задавать, то можно гарантировать, что формула простой не получится.

Изучим как сделать арифметическую и геометрическую прогрессии в Excel, а также в общем случае рассмотрим способы создания числовых последовательностей.

Перед построением последовательностей и различных прогрессий, как обычно, вспомним их детальные определения.
Числовая последовательность — это упорядоченный набор произвольных чисел a₁, a₂, a₃, …, a_n, … .
Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, получается из предыдущего добавлением постоянной величины d (также называют шагом или разностью):

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в котором каждый член, начиная со второго, получается умножением предыдущего члена на ненулевое число q (также называют знаменателем):

С определениями закончили, теперь самое время перейти от теории к практике.

Арифметическая прогрессия в Excel

Рассмотрим 2 способа задания прогрессии в Excel — с помощью стандартного инструмента Прогрессия и через формулы.
В первом случае на панели вкладок выбираем Главная -> Редактирование -> Заполнить -> Прогрессия:

Далее мы увидим диалоговое окно с настройками параметров:

В данных настройках мы можем выбрать дополнительные параметры, которые позволят нам более детально настроить и заполнить прогрессию в Excel:

Расположение — расположение заполнения (по столбцам или строкам);
Тип — тип (арифметическая, геометрическая, даты и автозаполнение);
Единицы — вид данных (при выборе даты в качестве типа);
Шаг — шаг (для арифметической) или знаменатель (для геометрической);
Автоматическое определение шага — автоматическое определение шага, если заданы несколько значений последовательности;
Предельное значение — ограничение по значению последнего элемента последовательности.

Разберем как сделать арифметическую прогрессию в Excel на конкретном примере.

Создадим набор чисел 3, 7, 11, … , то есть первый элемент равняется 3, а шаг равен 4.
Выделяем диапазон (к примеру, A1:J1) в котором мы хотим разместить набор чисел (диапазон можно и не выделять, однако в этом случае в настройках будет необходимо указать предельное значение), где в первой ячейке будет указан первый элемент (в нашем примере это 3 в ячейке A1), и указываем параметры (расположение, тип, шаг и т.д.):

В результате мы получим заполненный диапазон с заданным набором чисел:

Аналогичный результат можно получить и при задании элементов с помощью формул.
Для этого также задаем начальный элемент в первой ячейке, а в последующих ячейках указываем рекуррентную формулу члена арифметической прогрессии (то есть текущий член получается как сумма предыдущего и шага):

Геометрическая прогрессия в Excel

Принцип построения геометрической прогрессии в Excel аналогичен разобранному выше построению арифметической.
Единственное отличие — в настройках характеристик указываем в качестве типа геометрическую прогрессию.

Например, создадим набор чисел 4, 8, 16, … , то есть первое число равно 4, а каждое последующее в 2 раза больше предыдущего.
Также задаем начальный элемент (4 в ячейке A1), выделяем диапазон данных (например, A1:J1) и указываем параметры:

В итоге получаем:

Идентичного результата также можно добиться и через использование формул:

Числовая последовательность в Excel

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются частными случаями числовой последовательности, в общем же случае ее можно создать, как минимум, тремя способами:

Непосредственное (прямое) перечисление элементов;
Через общую формулу n-го члена;
С помощью рекуррентного соотношения, которое выражает произвольный член через предыдущие.

Первый способ подразумевает под собой ручной ввод значений в ячейки. Удобный вариант при вводе небольшого количества значений, в обратном же случае данный способ достаточно трудозатратный.
Второй и третий способы более универсальны, так как позволяют автоматически посчитать значения членов с помощью формул, что удобно при большом количестве элементов.
Поэтому поподробнее остановимся на построении последовательностей данными способами.

Рассмотрим создание числовой последовательности на примере построения обратных чисел к натуральным, то есть набора чисел 1, 1/2, 1/3, … , в котором общая формула n-го члена принимает вид F_n=1/n.
Создадим дополнительный ряд в отдельной строчке, куда для удобства расчета поместим порядковые номера (1, 2, 3 и т.д.), на которые будут ссылаться формулы:

В варианте с рекуррентной формулой рассмотрим пример с набором чисел Фибоначчи, в котором первые два числа равны 1 и 1, а каждый последующее число равно сумме двух предыдущих.
В итоге произвольный член можно представить в виде рекуррентного соотношения F_n = F_n-1 + F_n-2 при n > 2.
Определяем начальные элементы (две единицы) в двух ячейках, а остальные задаем с помощью формулы:

Простейшая арифметическая прогрессия в excel — ввести два первых числа прогрессии (чтобы установить шаг), выделить их, и протащить мышью правый нижний угол выделения до нужной строки

Если записать в соседние ячейки числа, например 1 и 2, то в следующих ячейках появятся значения 4, 5, 6, если записать 500 и 1000, следующими числами будут 1500, 2000 и т.д.

Оба этих числовых ряда будут простейшими арифметическими прогрессиями с заданным шагом — в первом случае с шагом 1, во втором — с шагом 500.

Но, что если мы имеем дело не с простейшей арифметической, а с геометрической прогрессией?

Нет никаких проблем. Введите начальное число в одну из ячеек, а затем выделите диапазон ячеек, в котором и хотите увидеть свою прогрессию.

Инструмент для построения сложных прогрессий в MS Excel

Выбранная вами прогрессия будет мгновенно выведена в пределах выделенного вами диапазона на листе табличного редактора.

Пример построения геометрической прогрессии с шагом равным 3 и максимальным числом ограниченным 5000000

Читайте также: