Как сделать параболоид вращения

Обновлено: 08.07.2024

Презентация на тему: " Параболоид вращения. Что такое параболоид вращения Если вращать параболу y=ах² вокруг ее оси то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения." — Транскрипт:

2 Что такое параболоид вращения Если вращать параболу y=ах² вокруг ее оси то получится поверхность, которую называют параболоидом вращения.

3 Если сильно размешать ложечкой воду в стакане, а потом вынуть ложечку, то поверхность воды примет форму такого параболоида.

4 Первые упоминания о параболоиде АРХИМЕД (лат. Archimedes, греч. Архимидис) (около 287 до н.э., Сиракузы, Сицилия до н.э., там же), древнегреческий ученый, математик и механик, основоположник теоретической механики и гидростатики. Он впервые упоминает о параболоиде в своем трактате "О коноидах и сфероидах"

5 Физическое значение параболоида Лучи идущие параллельно оси параболоида после отражения от граней параболоида концентрируются в одной точке называемой фокусом параболоида. На этом свойстве устроены параболические телескопы, параболические антенны, прожектора, проекторы.

6 Параболические телескопы Лучи, идущие к нам от далеких звезд параллельными пучками света, отражаясь от параболической поверхности, концентрируются в фокусе телескопа. Если разместить в фокусе телескопа фотопластинку, то можно запечатлеть даже слабое сияние идущее от звезд.

7 Параболические антенны Этот же принцип используется и в параболических антеннах. В результате происходит многократное усиление сигнала.

8 Если же источник света поместить в фокус параболоида, то лучи, идущие от источника света, будут концентрироваться в световой пучок, идущий параллельно оси параболоида. Этот факт находит применение при создании прожекторов, фонарей, проекторов, где зеркало имеет форму параболоида.

9 Использование параболоида вращения

10 Большой Азимутальный Телескоп 25 марта 1960 г. Советом Министров СССР было принято постановление о создании телескопа- рефлектора, имеющего главное зеркало диаметром 6 м.

11 В результате, рядом с горой Пастухова в районе станицы Зеленчукской Карачаево-Черкесской автономной области на высоте 2100 м над уровнем моря, был установлен первый параболический телескоп построенный в СССР.

Задачи исследования:

Поверхности вращения иих свойства

Поверхность в пространстве можно рассматривать как геометрическое место точек, удовлетворяющих какому-либо условию. Например, сфера радиуса R с центром в точке O₁ — геометрическое место точек пространства, находящихся от точки O₁ на расстоянии R. При этом прямоугольная система координат (СК) в пространстве OXYZ позволяет установить взаимно однозначное соответствие между точками пространства и их координатами (x,y,z). Уравнением поверхности в прямоугольной СК OXYZ называется такое уравнение , которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на поверхности, и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Поверхность вращения поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости. Пусть кривая L лежит в плоскости OYZ. Уравнения этой кривой можно представить в виде: (1)

Составим уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг OZ. Возьмем на поверхности точку M (x; y; z). Проведем через точку M плоскость, перпендикулярную OZ, обозначим точки пересечения с осью OZ и кривой L соответственно O₁ (0; 0; z) и N (0; y₁; z₁). Отрезки O₁M и O₁N — радиусы одной и той же окружности (O₁M = O₁N). Но , а . Значит, ,. Т. к. точка N лежит на кривой L, то ее координаты удовлетворяют системе (1). Исключив координаты y₁ и z₁ точки N, получим уравнение поверхности вращения: . Аналогично, если кривая вращается вокруг оси OY, то уравнение примет вид ; если кривая вокруг оси OX — .

Рис. 1. Поверхность, образованная вращением кривой L вокруг оси OZ

Коническая поверхность (конус) — это поверхность, образованная прямыми линиями, проходящими через точку P и пересекающими плоскую линию L, не проходящую через точку P. Линия L называется направляющей конуса, точка P — вершиной, прямая, описывающая поверхность — образующей.

Пусть направляющая L задана системой: (2)

Рис. 2. Коническая поверхность

Точка — вершина конуса, точка принадлежит поверхности. Образующая, проходящая через P и M, пересекает L в точке . Координаты точки N удовлетворяют системе (2). Канонические уравнения образующих, проходящих через точки P и N, имеют вид: . (3)

Исключив переменные из уравнений (2) и (3), получим уравнение конической поверхности, связывающее координаты .

Рис. 3. Сфера и эллипсоид

Полученное уравнение связывает координаты точки M′ эллипсоида и является уравнением эллипсоида. Величины a,b,c называются полуосями; удвоенные величины 2a, 2b и 2c — осями и представляют его линейные размеры в направлениях деформации. Если a,b,c не равны между собой, то эллипсоид называется трехосным. Если две полуоси равны, он называется эллипсоидом вращения, т. к. может быть получен в результате вращения эллипса вокруг одной из его осей. Если a=b=c, то эллипсоид превращается в сферу.

Свойства эллипсоида:

1) Эллипсоид — ограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Эллипсоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно координатных плоскостей.

3) В сечении эллипсоида плоскостью, ортогональной любой из осей координат, получается эллипс.

, (x=0),(5)

(y=0).(6)

Поверхность представляет сплошную бесконечную трубку, вытянутую вдоль оси OZ. Плоскость z=hпри любом значении h дает в сечении с поверхностью эллипс с полуосями , (при этом a≠b):(z=h). (7)

Все эллипсы (7) подобны, вершины их лежат на гиперболах, задаваемых уравнениями (5) и (6); размеры эллипсов увеличиваются по мере удаления сечения от плоскости XOY. Сечение плоскостью XOY есть горловой эллипс:, который, вместе с гиперболами (5) и (6), называют главными сечениями.

Рис. 4. Однополостный гиперболоид

Свойства однополостного гиперболоида:

1) Однополостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что .

2) Однополостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– плоскостной симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

4) Для каждой точки однополостного гиперболоида существует пара прямых, проходящих через эту точку и целиком лежащих на его поверхности.

Двуполостный гиперболоид. Поверхность, задаваемая уравнением, называется двуполостным гиперболоидом. Если поверхность пересечь плоскостями z=h, то линия пересечения определяется системой уравнений:

. (8)

Отсюда следует, что:

– если |h| с, то система (7) может быть представлена следующим образом:

Данные уравнения задают эллипс, полуоси которого возрастают с ростом |h|. Пересекая поверхность плоскостями YOZ (x=0) и XOZ (y=0), получим в сечении гиперболы, уравнения которых соответственно имеют вид: , . Поверхность — две бесконечные чаши.

Рис. 5. Двуполостный гиперболоид

Свойства двуполостного гиперболоида.

1) Двуполостный гиперболоид — неограниченная поверхность, поскольку из его канонического уравнения следует, что и не ограничен сверху.

2) Двуполостный гиперболоид обладает:

– центральной симметрией относительно начала координат;

– осевой симметрией относительно всех координатных осей;

– симметрией относительно всех координатных плоскостей.

3) В сечении плоскостью, ортогональной оси координат , при получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — гипербола.

Эллиптический параболоид. Поверхность, задаваемая уравнением где p>0, q>0 называется эллиптическим параболоидом. Рассечем поверхность плоскостями z=h. В сечении получим линию, уравнение которой . Если h 0, то в сечение — эллипс, уравнение которого , z=h. При пересечении поверхности плоскостями XOZ и XOY получается параболы и . Поверхность имеет вид выпуклой, бесконечно расширяющейся чаши.

Рис. 6. Эллиптический параболоид

Свойства эллиптического параболоида.

1) Эллиптический параболоид — неограниченная поверхность, т. к. из его уравнения следует, что и принимает сколь угодно большие значения.

2) Эллиптический параболоид обладает

– осевой симметрией относительно оси ;

– плоскостной симметрией относительно плоскостей и .

3) В сечении эллиптического параболоида плоскостью, ортогональной оси , получается эллипс, а плоскостями, ортогональными осям или — парабола.

Гиперболоид

В математике гиперболоид — это вид поверхности второго порядка в трёхмерном пространстве, задаваемый в декартовых координатах уравнением

где a и b — действительные полуоси, а c — мнимая полуось;

где a и b — мнимые полуоси, а c — действительная полуось.

Если a = b, то такая поверхность называется гиперболоидом вращения. Однополостный гиперболоид вращения может быть получен вращением гиперболы вокруг её мнимой оси, двуполостный — вокруг действительной. Двуполостный гиперболоид вращения также является геометрическим местом точек P, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек A и B постоянен: | AP — BP | = const

В этом случае A и B называются фокусами гиперболоида.

Однополостный гиперболоид является дважды линейчатой поверхностью; если он является гиперболоидом вращения, то он может быть получен вращением прямой вокруг другой прямой, скрещивающейся с ней.

В сечении однополостного гиперболоида плоскостью можно получить кривую любого эксцентриситета (e) от нуля до бесконечности.

Параболоид

Параболо́ид ― тип поверхности второго порядка в трёхмерном евклидовом пространстве.

Параболоид может быть охарактеризован как незамкнутая нецентральная (то есть не имеющая центра симметрии) поверхность второго порядка.

Канонические уравнения параболоида в декартовых координатах:

где t и u — действительные числа не равные нулю одновременно.

если t и u одного знака, то параболоид называется эллиптическим, частный случай эллиптического параболоида t = u в этом случае поверхность принято называть параболоидом вращения;
Далее, если t и u разного знака, то параболоид называется гиперболическим;
если один из коэффициентов равен нулю, то параболоид называется параболическим цилиндром.
Cечения параболоида вертикальными (параллельными оси z) плоскостями произвольного положения — параболы.

Сечения параболоида горизонтальными плоскостями, параллельными плоскости x\ y для эллиптического параболоида — эллипсы, для параболоида вращения эти пересечения — окружности, когда такое пересечение существует.

Пересечения для гиперболического параболоида — гиперболы.

В частных случаях пересечения, сечением может оказаться прямая или пара прямых (для гиперболического параболоида или пара параллельных прямых для параболического цилиндра) или вырождаться в одну точку (для эллиптического параболоида).

Материал из Википедии — свободной энциклопедии.

Подвижные леса под своды Шухова — Брода

Испытания деревянных сводов системы В. Г. ШУХОВА — БРОДА

Башня порта Кобе

В августе у вокзала в Дзержинске появилась модель Шуховской башни с часами

Образован скольжением образующей (например, 1-2) по двум скрещивающимся прямолинейным направляющим m и n. При этом образующая в каждом своем положении остается параллельной плоскости параллелизма a (1¢-2¢ || a_Н), (рис. 47а).

Рис.47а

В данном примере (рис. 47б) косой плоскости направляющих плоскостей параллелизма две: первой плоскости параллелизма параллельны образующие одной системы – это AD и BC, второй - образующие другой системы – это AB и CD. Плоскости параллелизма на рисунке не указаны.

Нелинейчатые поверхности с образующей переменного вида

Образуется двумя направляющими эллипсами и деформирующейся образующей, тоже эллипсом, который начинается с одной точки, максимально расширяется в середине поверхности и снова превращается в точку, скользя по двум направляющим эллипсам (рис. 48).

Образуется двумя направляющими параболами и деформирующимся эллипсом (рис. 49).

Поверхность вращения общего вида

Это поверхность, образованная произвольной кривой (плоской или пространственной), при этом она вращается вокруг неподвижной оси.

В определители поверхности входят образующая a, ось вращения m.

Поверхности вращения частного вида

Тор – поверхность, образованная вращением окружности а (образующая) вокруг оси i (рис. 51).

получим сжатый эллипсоид вращения (рис. 52 а).

Если вращение осуществлять вокруг большой оси n,

образуется поверхность вытянутого эллипсоида

вращения (рис. 52б).

Образован вращением параболы а вокруг оси m (рис. 53).

Однополостный гиперболоид вращения

Он в данном примере (рис.54) образован прямолинейной образующей а путем вращения ее вокруг оси l, скрещивающейся с ней. Плоскость, перпендикулярная к оси однополостного гиперболоида, рассекает его в данном случае по окружности.

Для построения проекций необходимо: разделить проекции окружностей на произвольное равное число частей, затем соединить прямой линией точку 1² нижней окружности с любой (кроме 1₂²) точкой верхней окружности (это образующая). На чертеже точка 1₁² соединена с точкой 3₂², точка 2₁² с 4₂² и т.д. Соединив все точки деления нижней окружности с точками деления верхней окружности, получим проекции каркаса поверхности. Второй каркас этой же поверхности образован соединением первой точки верхней окружности с третьей точкой нижней окружности, точка 2₂² - с точкой 4₁², 3₂² с 5₁² и т.д.

Плоскость, проходящая через ось (i) поверхности, пересекает построенную поверхность по гиперболе. Отсюда и произошло название этой поверхности.

Поверхность однополостного гиперболоида вращения можно получить также вращением гиперболы (а) вокруг ее мнимой оси (m), (рис. 55а)

Образующей а поверхности вращения, называемой глобоидом, является дуга окружности радиусом R (рис. 55б), а ось вращения линия m (m”-m’)

Поверхность называется винтовой, если она получается винтовым перемещением образующей линии. Данное перемещение характеризуется вращением этой линии вокруг оси и одновременно поступательным движением, параллельным этой оси.

Линейчатые винтовые поверхности называются геликоидами. Если образующая имеет угол с осью равный 90°, то геликоид называют прямым (рис.56), если угол произвольный, отличный от 0° и 90°, то геликоид называют косым или наклонным (рис.57).

Рис.57

Линия а – образующая Винтовая линия m – направляющая

Винтовая линия m – направляющая Линия а – образующая, параллельная

Читайте также:

Как сделать параболоид вращения

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости.

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале.

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Построение графиков функций в полярных и декартовых.

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Похожие статьи

Сечение поверхностей 2-го порядка общего вида по эллипсу.

Способ вращения геометрической фигуры вокруг оси плоскости.

Создание 3D-тела или поверхности путем сечений двумя или.

Способ создания линии пересечения поверхностей вращения

Новые обобщения определения параболы | Статья в журнале.

Евклидова плоскость в четырехмерном пространстве

Построение графиков функций в полярных и декартовых.

Анализ условий устойчивости стационарного движения редуктора

Гиперболоид

Параболоид

Вам также может понравиться

Подвижные леса под своды Шухова — Брода

Испытания деревянных сводов системы В. Г. ШУХОВА — БРОДА

Башня порта Кобе

В августе у вокзала в Дзержинске появилась модель Шуховской башни с часами

Рис.57