Как сделать палочки непера

Добавил пользователь Владимир З.
Обновлено: 04.10.2024

1. Трисектор на антипараллелограммах

Кому будет полезно. 7-11 классы.

Какие темы поможет понять. Свойства параллелограмма и пространственного четырехугольника с противоположными сторонами; подобие фигур.

Описание. Одна из древнейших и неразрешимых задач — деление произвольного угла на три части циркулем и линейкой. А решить ее можно при помощи этого инструмента — трисектора, составленного из трех антипараллелограммов. Антипараллелограмм — четырехугольник с равными, но непараллельными противоположными сторонами. Присутствующие здесь три остаются подобными при движении механизма. Доказательство этого утверждения представляет неплохую задачу для девятиклассников.

2. Счетные палочки Непера

Кому будет полезно. 1-3 классы.

Какие темы помогут понять. Устный счет, таблица умножения, наглядное умножение в столбик, устройство механических калькуляторов.

Описание. Джон Непер придумал записывать результаты умножения из таблицы на отдельных палочках, и они стали самостоятельным вычислительным устройством. Использование палочек Непера на колесах с шестеренчатым зацеплением стало этапом на пути развития механических калькуляторов.

3. Часовые спуски

Кому будет полезно. 7-10 классы.

Какие темы помогут понять. Геометрическая прогрессия, определение времени, устройство часовых спусков, зубчатая передача.

Описание. Часовые спуски показывают часть часового механизма, с их помощью можно увидеть, как в часах организована точная периодичность колебаний маятника. Вскоре в Лаборатории математики появится занятие об истории измерения времени при помощи механизмов, и на нем участникам будет предложено разобраться с непростым устройством часов.

4. Параболограф Кавальери

Кому будет полезно. 7-11 классы.

Какие темы поможет понять. Квадратичная функция, свойство высоты прямоугольного треугольника.

Описание. При первом построении графика функции y = x2 в школе часто предлагают отметить несколько точек, принадлежащих графику, а потом плавной линией их соединить. А Лаборатория математики располагает инструментом, помогающим провести эту плавную линию и построить идеальную параболу.

5. Эллиптический бильярд

Кому будет полезно. 3-11 классы.

Какие темы поможет понять. Оптическое свойство эллипса и его применение в технике и медицине.

Описание. Все конические сечения обладают оптическими свойствами. Например, зеркало в форме эллипса собирает лучи, выпущенные из одного фокуса во втором.

6. Сумма углов треугольника

Кому будет полезно. 7-8 классы.

Какие темы поможет понять. Сумма углов треугольников.

Па́лочки Не́пера, или не́перовы па́лочки, — счётный прибор, изобретённый шотландским математиком Джоном Непером (описан им в трактате 1617 года). Состоит из 10 палочек, имеющих форму удлинённого прямоугольного параллелепипеда. Каждая из боковых граней палочки делилась поперечными чертами на 9 квадратов, разделённых, в свою очередь, проводимыми в одном и том же направлении диагоналями на пары треугольников. Эти квадраты содержали в себе результаты умножения одного из первых 9 чисел в последовательном порядке от 1 до 9, причем в случае, если результат умножения представлял двузначное число, то его десятки помещались в верхнем треугольнике, а единицы в нижнем. Для представления нулей некоторые из боковых поверхностей палочек оставлялись не занятыми числами.

Прибор Непера мог непосредственно прилагаться только к исполнению действия умножения. Чтобы, например, умножить при его посредстве число 8365 на 7, нужно, выбрав соответствующие палочки, приложить их друг к другу таким образом, чтобы в верхних квадратах граней, обращенных к счетчику, находились числа 8, 3, 6, 5; тогда седьмые квадраты этих граней дадут искомые частные произведения множителя 7 на каждую из цифр множимого; затем останется только эти частные произведения сложить:

С гораздо меньшими удобствами производится при помощи этого прибора действие деления.

Непер — шотландский математик и теолог-протестант — был потомственным дворянином, родился в 1550 году в замке Мерчистон близ Эдинбурга, там же и умер 4 апреля 1617 года. Учился он в Эдинбургском университете, а затем долго путешествовал в поисках знаний по Европе. В итоге своих странствий, как и большинство ученых своего времени, Непер стал универсалом, специалистом широкого профиля. Большую часть последующей жизни Непер отдал богословию, активно участвовал в теософских спорах, где, как настоящий шотландец, отличался истовостью.

Оба названных труда представляют интерес скорее для истории математики, а для истории компьютеров существенным является главнейшее и на первый взгляд очень простое технически изобретение шотландского ученого, которое в последующем стали называть палочками (или костями) Непера. Оно стало вторым после абака в истории человечества практическим приспособлением, облегчающим расчеты. Справедливости ради следует сказать, что есть более ранний по времени рисунок да Винчи, который считают изображением счетной машины, есть даже современные попытки ее реконструкции, но никаких документальных свидетельств о работе и практическом использовании калькулятора да Винчи нет. А с палочек Непера, несмотря на всю их видимую простоту, началась цепочка устройств, которая, в конечном счете, привела к современному ПК.

Палочкам Непера суждена была долгая жизнь. Они долгое время широко использовались для вычислений в астрономии, артиллерии и других областях, палочки повлияли на создание логарифмической линейки, ставшей классическим инженерным инструментом XIX и XX веков, а в Великобритании вплоть до середины 60-х годов палочки Непера применялись для обучения школьников арифметике.

Napier палочка , или правитель непера, в этих Счетах облегчения расчета продукции, дробей, полномочие и корней, изобретенный шотландский математик Джон Напье (во французском непере) в 1617 году .

Напье, который уже является изобретателем логарифмов , носящих его имя, описывает свое новое изобретение в своей работе Rhabdologie (от греч. Ραβδoς, правило и λóγoς, исследование). Как и в случае с логарифмами, его процесс основан на преобразовании силы в продукты и корней в подразделения.

Счеты состоят из подноса с бортиком, на котором могут быть размещены полосы с гравировкой. Левый край пластины также выгравирован и разделен на девять прямоугольников, пронумерованных от 1 до 9. Десять типов линейок, давших название всему устройству, изначально были сделаны из кости, отсюда и английское название костей Напьера . Они разделены на девять ящиков. Верхнее поле имеет номер от 0 до 9. Остальные восемь полей разделены на две части диагональной линией.

На каждой линейке нанесена таблица умножения числа, которое появляется в верхнем поле. Таким образом, на линейке, которая начинается с 7, следующие квадраты будут содержать 14, 21, 28 . до 63. Это двузначные числа, с обеих сторон показаны десятки и единицы. Диагональная линия (см. рисунок напротив).

Резюме

Принцип умножения и деления

Умножение на число меньше 10

В качестве примера произведем произведение 46 785 399 на 7 . Для этого формируем в верхней части таблицы число 46 785 399. Затем мы читаем в седьмой строке результат умножения каждой цифры на 7. Полученное расположение таково, что результат считывается непосредственно путем добавления цифр, которые появляются в диагональных полосах, справа налево и с вычетами, если необходимо.

В примере последовательно получаем единицы (3), десятки (6 + 3 = 9), сотни (6 + 1 = 7) и т. Д.

Умножение чисел на несколько цифр

На этот раз мы умножаем 46 785 399 на 96 431 . Неполные произведения 9, 6, 4, 3 и 1. Все, что остается, - это разместить их соответствующим образом и сложить вместе.

Заявка на разделение

Наличие алгоритма расчета продуктов также облегчает деление . Мы следуем расположению традиционного алгоритма расчета деления . При этом формируем на первой строке доски последовательность цифр делителя, что позволяет очень быстро прочитать произведение делителя на цифры от 1 до 9. Достаточно выбрать среди них тот, который сразу меньше дивиденда. Затем мы вычисляем остаток путем вычитания и продолжаем алгоритм.

Конечно, этот метод применим как для определения результата целочисленного деления с остатком , так и для деления запятой.

История и эволюция

Система палочек Napier - это усовершенствованная техника размножения с помощью решетки ( per gelosia ).

В течение XIX E века , счеты знали об улучшении, с введением палочек , склонных порядка 65º по сравнению с краем пластины, и чьи коробки разделены по-другому, с помощью линий параллельно края. Пластины ( см. рисунок). Преимущество состоит в том, чтобы лучше показать результат продукта, поскольку треугольные блоки, содержимое которых необходимо добавить, отображаются друг над другом.

Чтобы еще больше облегчить чтение, гравюры, ограничивающие коробки, сделаны отчетливо видимыми, больше, чем края палочек. Частичные продукты тогда появляются очень четко, например, на рисунке напротив

987654321 х 5 = 4938271605

В конце XIX - го века новый процесс вводится: на полосках Genaille Лукаса сделать расчеты более автоматизированных продукты с учетом дополнений , необходимых во время частичных произведений. Все, что осталось сделать вручную, это последнее дополнение.

Извлечение квадратного корня

Описание режима работы на примере

Извлечения квадратного корня может быть получен следующим образом . Добавив определенный стержень (желтый на рисунках ниже), можно быстро вычислить квадратные корни. Эта желтая палочка содержит квадраты чисел от 1 до 9.

То есть, чтобы вычислить квадратный корень из 46 785 399. В этом методе строго используются степени числа сто, как будет объяснено ниже. Это относится к числу, имеющему четное количество цифр перед десятичной точкой (при необходимости можно добавить начальный ноль). В приведенном примере шаги следующие.

Определение третьей цифры квадратного корня
- удвойте вторую цифру корня (8 x 2 дает 16), прибавьте ее к уже сформированному числу, умноженному на 10 (12 x 10 + 16 = 136), а затем добавьте желтый стержень
- из всех чисел, появляющихся в строке, одно, непосредственно предшествующее 5453, равно 4089, в строке 3
- Таким образом, третья цифра квадратного корня равна 3, мы формируем 5453-4089 = 1364 и продолжаем, уменьшая две цифры
Обоснование

Идея, лежащая в основе алгоритма, заключается в использовании степени 100. Конкретно, это сводится к группировке цифр два на два по обе стороны от запятой в соответствии со следующей схемой (добавляя, при необходимости, ноль перед первым цифра)

. хх хх хх хх , хх хх хх .

Какие суммы, например, написать

Первый шаг - разбить первый член на полный квадрат плюс остаточный член, который будет добавлен ко второму члену.

В конце второго шага мы хотим получить результат вида

где a - число от 0 до 9, а R - как можно меньше. Путем разработки и рефакторинга мы можем представить это в виде

Именно, процесс , описанный выше , является тот , который делает возможным , чтобы найти подходящий, как можно больше, так как показывают расчеты , выгравированные на пластине 1. Все , что остается , чтобы вычислить R и продолжить.

Читайте также: