Как сделать отрицание высказывания
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 04.10.2024
Правило отрицания высказываний с кванторами: $$ \mathrm< \overline<(\forall x)A(x)>=(\exists x)\overline,\ \ \overline<(\exists x)A(x)>=(\forall x)\overline > $$
п.2. Конъюнкция
Конъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое будет истинным, если истинны оба исходных высказывания; а во всех остальных случаях – будет ложным.
Конъюнкция является логическим умножением.
С точки зрения операций над множествами, конъюнкция аналогична пересечению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
С точки зрения записи условий, конъюнкция аналогична системе с фигурной скобкой.
п.3. Дизъюнкция
Дизъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое будет ложным, если ложны оба исходных высказывания; а во всех остальных случаях – будет истинным.
Дизъюнкция является логическим сложением.
С точки зрения операций над множествами, дизъюнкция аналогична объединению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
С точки зрения записи условий, дизъюнкция аналогична совокупности с квадратной скобкой. Например, запись \(\mathrm<(x^2-1\geq 0)\vee \left(x\gt \frac12\right)>\) аналогична совокупности $$ \left[ \begin < l >\mathrm
п.4. Импликация
Импликация двух высказываний – это высказывание, которое будет ложным, если первое высказывание истинно, а второе ложно; а во всех остальных случаях – будет истинным.
п.5. Эквиваленция
Эквиваленция двух высказываний – это высказывание, которое будет истинным только при совпадении истинности обоих высказываний; а при несовпадении – будет ложным.
п.6. Законы де Моргана
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Мы видим, что итоговые столбцы слева и справа полностью совпадают.
Значит, высказывания эквивалентны.
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Высказывания слева и справа эквивалентны.
Высказывания называются эквивалентными (равносильными) , если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.
п.7. Алгоритм доказательства эквивалентности высказываний с помощью таблиц истинности
Например:
Докажем следующее свойство:
Отрицание импликации эквивалентно конъюнкции посылки и отрицания заключения: $$ \mathrm< \overline=A \wedge\overline > $$
Правило отрицания высказываний с кванторами: $$ \mathrm< \overline<(\forall x)A(x)>=(\exists x)\overline,\ \ \overline<(\exists x)A(x)>=(\forall x)\overline > $$
п.2. Конъюнкция
Конъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое будет истинным, если истинны оба исходных высказывания; а во всех остальных случаях – будет ложным.
Конъюнкция является логическим умножением.
С точки зрения операций над множествами, конъюнкция аналогична пересечению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
С точки зрения записи условий, конъюнкция аналогична системе с фигурной скобкой.
п.3. Дизъюнкция
Дизъюнкция двух высказываний – это высказывание, которое будет ложным, если ложны оба исходных высказывания; а во всех остальных случаях – будет истинным.
Дизъюнкция является логическим сложением.
С точки зрения операций над множествами, дизъюнкция аналогична объединению двух множеств (см. §10 справочника для 8 класса).
С точки зрения записи условий, дизъюнкция аналогична совокупности с квадратной скобкой. Например, запись \(\mathrm<(x^2-1\geq 0)\vee \left(x\gt \frac12\right)>\) аналогична совокупности $$ \left[ \begin < l >\mathrm
п.4. Импликация
Импликация двух высказываний – это высказывание, которое будет ложным, если первое высказывание истинно, а второе ложно; а во всех остальных случаях – будет истинным.
п.5. Эквиваленция
Эквиваленция двух высказываний – это высказывание, которое будет истинным только при совпадении истинности обоих высказываний; а при несовпадении – будет ложным.
п.6. Законы де Моргана
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Мы видим, что итоговые столбцы слева и справа полностью совпадают.
Значит, высказывания эквивалентны.
Докажем эквивалентность с помощью таблиц истинности:
Высказывания слева и справа эквивалентны.
Высказывания называются эквивалентными (равносильными) , если соответствующие значения каждого из них совпадают в таблице истинности.
п.7. Алгоритм доказательства эквивалентности высказываний с помощью таблиц истинности
Например:
Докажем следующее свойство:
Отрицание импликации эквивалентно конъюнкции посылки и отрицания заключения: $$ \mathrm< \overline=A \wedge\overline > $$
Рассмотрим более подробно некоторые логические связки, позволяющие конструировать из простых высказываний сложные. В математической логике такие связки называются логическими операциями.
По смыслу, отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному. То есть, если высказывание А – истинное, то высказывание - ложное, и наоборот, если А – ложное, то - истинное. Запишем в виде таблицы значения нового, сложного высказывания в зависимости от значений простого А, на основе которого оно построено.
Подобная таблица называется таблицей истинности. Именно эту таблицу берут за определение операции отрицания. Высказывание называется отрицанием высказывания А, если оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.
Конъюнкция А Ù В – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Таблица истинности операции конъюнкция такова:
Операция импликации определяется следующим образом.
Импликация высказываний А и В ( А ® В ) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно. Таким образом, таблица истинности импликации такова:
A ® B
Рассмотрим следующие высказывания:
· описания причинно-следственной связи между А и В. Например, "Если долго мучиться, то что-нибудь получится";
· выражения логического следования В из А. Например, "Если все люди смертны и Сократ – человек, то Сократ смертен".
В этих высказываниях существует связь между содержанием высказываний А и В, объединенных союзом. В логике высказываний рассматриваются только значения истинности высказываний, а не их содержание. Тем самым логические операции не выражают связь между содержанием высказываний. Логические операции, образующие из простых высказываний сложные, определяют только соотношения между значениями истинности этих высказываний.
Операция эквивалентность или двойная импликация
Последней введем операцию эквивалентности. Эта операция обозначается символом « , либо ~ . Сложное высказывание А « В читается: "А эквивалентно В", либо "А равносильно В", либо "А тогда и только тогда, когда В", либо "В, если и только если А". Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения "тогда и только тогда, когда", хотя, как и в случае с импликацией, такое соответствие далеко не полное.
Эквивалентность высказываний А и В ( А « В ) – сложное высказывание, которое истинно, когда А и В одновременно либо истинны, либо ложны и ложно во всех других случаях. Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности:
1. Простые и сложные высказывания. Отрицание, конъюнкция, дизъюнкция
Высказывание – грамматически правильное предложение, взятое вместе с выражаемым им смыслом (содержанием) и являющееся истинным или ложным.
Понятие высказывания – одно из ключевых в логике. Как таковое, оно не допускает точного определения, в равной мере приложимого в разных её разделах. Ясно, что всякое высказывание описывает определённую ситуацию, что-то утверждая или отрицая о ней, и является истинным или ложным.
Высказывание называется простым, если оно не включает других высказываний в качестве своих частей.
Высказывание является сложным, если оно получено с помощью логических связок из нескольких более простых высказываний.
Может показаться, что знакомство с высказываниями естественнее всего начать с изучения простых высказываний и их частей, и уже затем приступить к изучению того, как из простых высказываний образуются сложные.
Объясняется это следующим: для того, чтобы понимать способы сочетания высказываний, вовсе не обязательно знать, что такое простое высказывание; достаточно учитывать только то, что последнее имеет определённое значение истинности.
Простые высказывания чрезвычайно разнообразны, выявление составляющих их частей во многом зависит от принятого способа их анализа. Некоторые логические связи между высказываниями не зависят от строения простых высказываний. Разумно поэтому поступить так, как если бы мы знали все о простых высказываниях, т.е. оставить вопрос об их структуре на время в стороне и заняться логическими связями высказываний. Последняя задача является относительно лёгкой.
Та часть логики, в которой описываются логические связи высказываний, не зависящие от структуры простых высказываний, называется общей теорией дедукции.
Перейдём теперь к рассмотрению наиболее важных способов построения сложных высказываний.
Отрицание – логическая связка, с помощью которой из данного высказывания получается новое, причём, если исходное высказывание истинно, его отрицание будет ложным, и наоборот.
Будем обозначать высказывания буквами А, В, С, …, отрицание высказывания – символом ~. Полный смысл понятия отрицания высказывания задаётся условием: если высказывание Л истинно, его отрицание А ложно, и если А ложно, его отрицание, ~А, истинно.
Высказывание A может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о высказывании B. Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих высказываний.
Обозначим конъюнкцию символом &. Таблица истинности для конъюнкции приведена ниже.
Определение конъюнкции, как и определения других логических связок, служащих для образования сложных высказываний, основывается на следующих двух предположениях:
1) каждое высказывание (как простое, так и сложное) имеет одно и только одно из двух значений истинности: оно является либо истинным, либо ложным;
2) истинностное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него высказываний и способа их логической связи между собой.
Таблицы для двух видов дизъюнкции показывают, что неисключающая дизъюнкция истинна, когда хотя бы одно из входящих в неё высказываний истинно, и ложна, только когда оба её члена ложны; исключающая дизъюнкция истинна, когда истинным является только один из её членов, и она ложна, когда оба её члена истинны или оба ложны.
Центральная задача логики – отделение правильных схем рассуждения от неправильных и систематизация первых. Логическая правильность определяется логической формой. Для её выявления нужно отвлечься от содержательных частей рассуждения (собственных символов) и сосредоточить внимание на несобственных символах, представляющих эту форму в чистом виде.
Читайте также: