Как сделать осевое сечение цилиндра

Обновлено: 05.07.2024

Цель урока: Способствовать формированию умения определять цилиндр и его сечения.

Задачи урока:

Тип урока: изучение новой темы.

Методы урока: словесные, наглядные, практические.

Организационные формы общения: индивидуальная, коллективная.

Структура урока

Ход урока

1. Организационный момент

2. Актуализация опорных знаний

Вопросы на лепестках:

1) Что такое призма? Чем отличается призма от параллелепипеда?

2) Что такое призма? Какая призма называется прямой, а какая наклонной?

3) Что такое многогранник? Перечислите и отберите их в другую сторону.

4) Что такое призма? Чем отличается призма от пирамиды?

5) Что такое призма? Что такое высота, боковое ребро?

Преподаватель: На демонстрационном столе, перед собой видите много различных стереометрических тел.

Ваша задача : отобрать из них те фигуры, которые вы знаете или , конкретнее - многогранники.

После того, как обучающийся отобрал многогранники на демонстрационном столе стала две подгруппы фигур: - многогранники и фигуры вращения.

Мотивационная беседа.

Преподаватель: Обратите внимание на образовавшиеся подгруппы фигур.

Отличаются ли друг от друга эти две подгруппы? Чем?

Правильно, первая подгруппа - многогранники, а вторая - круглые тела.

С круглыми телами вы, конечно, знакомы по урокам труда, черчения, непосредственно из окружающей обстановки. Действительно, многие предметы, окружающие нас, имеют форму круглых тел, поэтому необходимо знать основные свойства таких тел и уметь ими пользоваться на практике, в жизни.

Как вы заметили все эти фигуры разные, хотя они все круглые тела, имеют они свои определения. Их еще называют фигурами вращения т.к. они получены вращением каких-то плоских фигур.

Сегодня мы на уроке изучим одну из этих фигур, а именно какую….

Сотая часть числа… (Процент)
Утверждение, не требующее доказательства.. (Аксиома)
Число 106… (Миллион)
График, какой функции я засветила… (косинус)
Печатающее устройство… (Принтер)
Правильный четырехугольник… (Квадрат)
Правильный многогранник, исключить последнюю букву. (Тетраэд… )
Название фигуры, что на кроссворде…(Цилиндр)

3. Изучение нового материала

Итак, тема нашего сегодняшнего урока: "Цилиндр. Сечения цилиндра плоскостями".

Цель урока: Дать строгое математическое определение цилиндру и его основным понятиям. Научится строить цилиндр и его сечения.

Преподаватель: Так, что же такое цилиндр?

1 Обучающийся. Толковый словарь русского языка. Современная версия.

Владимир Иванович Даль - Цилиндр (муж. рода) - высокая мужская шляпа.

2 Обучающийся. Материал из Википедии - свободной энциклопедии

У этого термина существуют и другие значения, см. Цилиндр (значения).

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Преподаватель: Когда я училась в школе, мы цилиндр определяли так.

Цилиндром называется тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одного из его сторон.

Какое определение дает цилиндру Погорелов Алексей Васильевич? (показываю учебник). Попробуйте дать определение самостоятельно. Если вы в определении призмы (вспомним определение призмы) сделаете замену трех слов.

Слово

Замена

то получите определение цилиндра. На интерактивной доске через проектор смотрим определение призмы, а даем определение цилиндра.

Обучающийся: Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов.

(Показать на интерактивной доске).

Преподаватель: Круги называются…?

Обучающийся: основаниями цилиндра.

Преподаватель: Отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов - образующими цилиндра.

В дальнейшем мы будем рассматривать только прямой цилиндр, называя его просто цилиндром. А какой цилиндр будет называться прямым?

Обучающийся: Цилиндр, у которого образующие перпендикулярны плоскостям оснований.

Преподаватель: Прямой цилиндр можно представить себе как тело, которое описывает прямоугольник при вращении его около стороны как оси.

Обучающийся: - Образующие цилиндра параллельны и равны. - Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Обучающийся: - Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Обучающийся: - Образующие цилиндра параллельны и равны. - Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Обучающийся: - Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Обучающийся: - Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры оснований.

Она параллельна образующим.

- Сечение цилиндра плоскостью, параллельной его оси, представляет собой прямоугольник.

- Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось, называется осевым сечением.

Например: Кто из вас может привести примеры цилиндра и его сечений из вашей практики?

1 Обучающийся: берем палку колбасы, перед подачей мы проводим сечения и параллельно основаниям, и перпендикулярно оси, а если поделить, т.е. провести сечение перпендикулярно оси и по оси, то получим осевое сечение.

2 Обучающийся: если нам надо приготовить дрова для печи, то мы берем полено и тоже проводим всевозможные сечения .

4. Обогащение знаний

3. Следующая - Пизанская башня, что в Пизе, высота этой мраморной башни 56м, строили ее 180 лет. Имеет форму цилиндра и украшена, также фигурами вращения.

Церковь Рождества Пресвятой Богородицы на Осетинской горке (Осетинская церковь - построена в 1860 г.), является старейшим полностью сохранившимся зданием, построенным в крепости Владикавказ ещё до получения статуса города. Действующая ныне, церковь г.Ардоне и т.д. Все эти постройки круглой формы, формы фигур вращения, а точнее - цилиндра.

Преподаватель: Спасибо за интересные работы, за интересный материал к данной теме, а теперь, небольшая практическая работа, закрепление материала.

5. Закрепление материала

а) Построить в тетрадях: цилиндр радиуса=3см и цилиндр диаметра 6см. У каждого из этих цилиндров высота = 4 см. Сравните их. Найдите площади их оснований.

5. Выполненные задания сдать до: 03.06

Учебник: Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

Ссылка на учебник онлайн:

Ссылка на видео урок:

Основные теоретические сведения

Определение

Цилиндрической поверхностью называется поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, перпендикулярными плоскости, в которой лежит эта окружность (см.рис.).

Определение

Сами прямые называют образующими цилиндрической поверхности.

Определение

Прямая, проходящая через точку О, перпендикулярно к плоскости, называется осью цилиндрической поверхности.

Определение

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами (границы которых есть те самые равные окружности в плоскостях 𝛂 и 𝛃) называется цилиндром.

Определение

Круги называются основаниями цилиндра, отрезки образующих, заключённые между основаниями, - образующими цилиндра, а образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковой поверхностью цилиндра.

Определение

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Определение

Длина образующей называется высотой цилиндра (все образующие равны и параллельны), а радиус основания – радиусом цилиндра.

Также цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из сторон. Тогда эта сторона (вокруг которой происходит вращение) будет совпадать с осью цилиндра, противоположная сторона будет образовывать боковую поверхность, а две оставшиеся стороны образуют верхнее и нижнее основания, одновременно являясь радиусами цилиндра.

Сечения цилиндра различными плоскостями

Пусть секущая плоскость проходит через ось цилиндра. Такое сечение называют осевым. Оно представляет собой прямоугольник, две стороны которого – образующие, а две другие – диаметры оснований цилиндра.

Если секущая плоскость перпендикулярна оси цилиндра, то сечение является кругом.

Если секущая плоскость проходит параллельно оси цилиндра, но не содержит саму ось, то сечение является прямоугольником две стороны которого – образующие, а две другие – отрезки, соединяющие эти образующие в верхнем и в нижнем основании (ЗАМЕЧАНИЕ: эти отрезки меньше диаметров оснований цилиндра).

Основные формулы

Формула для вычисления площади боковой поверхности цилиндра:

То есть площадь боковой поверхности равна произведению длины окружности основания цилиндра на его высоту.

Площадью полной поверхности цилиндра называется сумма площадей боковой поверхности и двух оснований. В виде формулы это можно записать так: S_полн=2𝛑R(R+L).

Задача.Дан цилиндр.

Выберите значение площади его боковой поверхности

Площадь боковой поверхности вычисляется по формуле: S=2πRL.

Домашнее задание:

Основные понятия по теме (выучить):

Цилиндрическая поверхность – это поверхность, образованная прямыми, проходящими через все точки окружности, перпендикулярными плоскости, в которой лежит эта окружность.

Эти прямые – образующие цилиндрической поверхности.

Прямая, проходящая через центр окружности, перпендикулярно к плоскости – осьцилиндрической поверхности.

Цилиндр – тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами.

Круги – основания цилиндра; отрезки образующих, заключённые между основаниями – образующие цилиндра; образованная ими часть цилиндрической поверхности – боковая поверхность.

Ось цилиндрической поверхности называется осью цилиндра.

Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

Сечение – изображение фигуры, образованной рассечением тела плоскостью.

Осевое сечение – вариант сечения, при котором плоскость проходит через ось тела.

Развёртка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, одна сторона которого равна высоте цилиндра, а другая длине окружности основания.

Задание (выполнить письменно).

Задача1. Вычислите площадь полной поверхности цилиндра, подставив элементы в решение.

Задача2.Дан цилиндр, высота которого равна 4, радиус основания равен 6. Найдите площадь его осевого сечения.

Задача3.Дано:

Диагональ осевого сечения равна 12, угол между этой диагональю и образующей равна 30°.

1) значение высоты цилиндра;

2) значение радиуса цилиндра;

3) значение площади боковой поверхности

Задача4.Из квадрата с диагональю 24√2 свернута цилиндрическая поверхность. Найдите элементы цилиндра.

Задача5*.(повышенной сложности, решать по желанию)Плоскость, параллельная оси цилиндра, отсекает от окружности основания дугу 120 0 . Образующая цилиндра равна 6 , расстояние от оси до секущей плоскости равно 1. Найдите площадь сечения.

Цель: Ввести понятие цилиндра и его элементов (основания, образующие, ось, высота, радиус), рассмотреть различные случаи сечения цилиндра плоскостями. Научить находить высоту, радиус, площадь сечения.

Формирование ЗУН при решении задач;

Изучить сечения цилиндра;

Совершенствовать, развивать и углублять ЗУН по данной теме.

Развивающая:

Развивать логическое мышление, память, познавательный интерес;

Формировать математическую речь;

Вырабатывать умение анализировать и сравнивать.

Воспитательная:

Воспитывать аккуратность при оформлении сложных задач, чертежей, трудолюбие;

Воспитывать умению выслушивать мнение других;

Воспитывать самостоятельность при выборе жизненного пути, будущей профессии.

Тип урока: комбинированный.

Ход учебного занятия.

Организационный момент:

Здравствуйте, учащиеся, коллеги!

Начнем урок с просмотра слайда 1:

На всех фотографиях вы видите использование одной и той же фигуры. Как эта фигура называется? (Цилиндр)

Назовите предметы, имеющие форму цилиндра? (студенты перечисляют)

Объяснение темы:

Цели нашего урока:

Ввести понятие цилиндра и его элементов;

Рассмотреть различные случаи сечения цилиндра плоскостями;

Запишем определение цилиндра:

Определение: Цилиндр – это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1

Начертим изображение цилиндра в тетрадях и укажем основные элементы цилиндра:

Основание цилиндра – круги, лежащие на параллельных плоскостях.

Радиус цилиндра – радиус основания.

Высота цилиндра – это расстояние между точками О₁ и О.

Ось цилиндра – это прямая О₁ О, соединяющая центры оснований цилиндра.

Образующие – отрезки, соединяющие соответствующие точки оснований.

Множество образующих образуют боковую поверхность цилиндра.

Теперь рассмотрим сечения цилиндра плоскостью:

Осевое сечение цилиндра

Сечение параллельное основанию цилиндра

Сечение цилиндра параллельное оси цилиндра

Решение задач по карточкам (Приложение 1).

Кроссворд (Приложение 2)

Рефлексия, оценка деятельности на уроке.

Вопросы учащимся:

1) Что нового вы узнали на уроке?

2) Какие задания для вас были трудными?

3) Что понравилось и не понравилось на уроке?

4) Какие вопросы по новой теме возникли?

Домашнее задание:

Радиус цилиндра равен 4 см, а длина образующей цилиндра – 2 см. Найдите : а) площадь осевого сечения цилиндра; б) площадь сечения перпендикулярного оси цилиндра;

Диагональ осевого сечения – 10 см. угол между этой диагональю и образующей цилиндра 60 0 . Найдите площадь осевого сечения цилиндра.

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её.

Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью, называется боковой поверхностью цилиндра.

Цилиндр, у которого основания перпендикулярны образующим и являются кругами, называется прямым круговым цилиндром (часто, и далее, – просто цилиндром). Прямой круговой цилиндр можно получить вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями – это основания цилиндра.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Осью цилиндра называется прямая, проходящая через центры его оснований. Ось цилиндра параллельна образующим.

Осевым сечением цилиндра называется сечение цилиндра плоскостью, проходящей через его ось. Осевым сечением цилиндра (прямого кругового цилиндра) является прямоугольник.

AO1 – радиус цилиндра; AB, CD – образующие цилиндра;

O1O2 – ось цилиндра; AB, CD, O1O2 – высоты цилиндра;

ABCD – осевое сечение цилиндра.

Боковая поверхность прямого кругового цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту:

Читайте также: