Как сделать описанную окружность в геогебре

Обновлено: 08.07.2024

Сегодня я хочу рассказать про треугольники, вписанные в окружность. Чаще всего окружности бывают вписанными в треугольник или описанными вокруг треугольника, но иногда могут встречаться в задачах и другие многоугольники. Задачи про окружности и треугольники могут встречаться не только на ЕГЭ, но и в любых других задачах.

Окружность считается вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются этой окружности. Окружность будет описанной вокруг многоугольника, если она будет содержать все вершины многоугольника. В данной статье более подробно рассмотрим вариант второй – когда окружность описана вокруг треугольника.

А рассказать я хочу о том, как можно быстро и правильно нарисовать рисунок к тем задачам, которые касаются описанных окружностей. Если треугольник вписан в окружность, то окружность описана вокруг него.

После этого будем рисовать треугольник (ну или другой многоугольник, который нам нужен). Если окружность описана вокруг треугольника – это значит, что нам надо выбрать три точки на самой окружности. Секрет второй: если мы нарисовали окружность, а затем на ней выбрали любые три точки – вершины нашего треугольника, то наш треугольник всегда будет вписан в эту окружность. Эти точки нужно выбирать таким образом, чтобы полученная фигура максимально соответствовала всем условиям задачи. Приведем пример. Пусть надо решить задачу:

Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 50, основание равно 60. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Хотя в условии задачи первым делом упоминается треугольник, а не окружность, мы все равно начнем построении с окружности:

Теперь составляем пропорцию: 1/360=0,3125/х, откуда х=360*0,3125=112,5. Это значит, что нам надо строить угол в 112,5 градусов.

Вот что должно получиться:

У нас получились не только три точки – вершины треугольника А, В и С, но и сами радиусы окружности – ОА, ОВ и ОС. В нашей ситуации 112,5 – это углы АОВ и ВОС. Можно вычислить также и угол АОС: 360-112,5-115,5=135 градусов. А это значит, что соотношение углов АОВ и АОС – это 112,5 к 135, или 225:270, или 45:54, или 5:6. Именно таким по условию задачи и является отношение боковой стороны треугольника к основанию, ведь 5:6 равно 50:60.

Но продолжим решать нашу задачу. Мы пока только очень точно построили нужные нам точки. Конечно, в реальности, возможно, и не нужна такая точность, но желательно иметь на графике такие фигуры, которые очень похожи на те, о которых говорится в условии задачи. Но если есть и время, и желание, и отменный педантизм – то вполне можно построить не просто очень похожие фигуры, а именно точь-в-точь такие, о которых говорится в условии задачи.

Теперь построим треугольник АВС:

Теперь несколько слов о решении этой конкретной задачи. Всего несколько слов, потому что главная цель этой статьи была в том, чтобы показать, что треугольник, вписанный в окружность, лучше всего начинать рисовать с окружности. Повторюсь, потому что эта информация очень важна. Если бы мы вначале нарисовали треугольник, было бы гораздо сложнее подобрать ту окружность, которая проходила бы через все его вершины. Но если мы вначале построим окружность, затем на этой окружности выберем три нужные нам точки – которые будут вершинами треугольника – то при таком построении окружность будет всегда будет описана вокруг этого треугольника, а треугольник будет в нее вписан. Аналогичную задачу, связанную с окружностью, вписанной в треугольник, мы рассмотрим в одной из следующий статей.

Кстати, о нашем треугольнике. Поскольку известны все три стороны треугольника, то сначала вычислим его площадь по формуле Герона:

В данной работе рассмотрены примеры построений в GeoGebre и плюсы и минусы программы для работы в школе.

Содержимое разработки

Кафедра информатики и ВТ

Выполнил: студент 5 курса

группы МДИ – 112 : Журавлев Е.

Проверила: Кормилицына Т.В.

но на большинстве операционных систем). Переведена на 39 языков.

Полностью поддерживает русский язык.

Программная среда GeoGebra3D может быть быстро освоена людьми, имеющими элементарные навыки работы на компьютере, что, несомненно, является большим преимуществом данного программного продукта. К еще одному аргументу в пользу GeoGebra3D можно отнести её простую4 интеграцию с офисными приложениями – все чертежи легко могут через буфер обмена быть перенесены для дальнейшего использования как в текстовые редакторы, поддерживающие работу с изображениями, так и в графические редакторы.

Актуальность работы продиктована отсутствием русскоязычного раздела справки; данная квалификационная работа может претендовать на роль справочника по многим функциональным возможностям GeoGebra3D на русском языке.

Интерфейс программы.

При запуске окно программы имеет вид, приведенный на рисунке 1.

Помимо привычной для большинства программ строки меню, в окне программы расположены Панель инструментов (1), Панель объектов (2), Область геометрических построений (3) и Строка ввода (4).Для открытия полотна 3D нужно перейти в строке меню вкладку вид (Рисунок 2).

Положение свободных объектов можно изменять произвольно, тогда, как положение зависимых объектов изменяется только в соответствии с

Строка ввода состоит из двух частей: непосредственно сама Строка

ввода, а также Список команд – выпадающее меню, в котором можно

выбрать команду для ввода из списка. Отображение Списка команд можно

отключить в меню Вид.

Отображение Панели объектов, Строки ввода можно отключить в меню Вид. В этом же меню можно включить отображение другого элемента окна программы – Таблицы. Также в меню Вид можно включить отображение на Панели объектов еще одного типа объектов – вспомогательных.

При запуске GeoGebra в области геометрических построений прорисовываются координатные оси. Также при желании можно при помощи

команды Вид – Сетка задать прорисовывание координатной сетки. Для

более подробной настройки рабочей области можно выполнить команду

Настройки – Полотно.

Здесь на вкладках Оси и Сетка можно задать цвет объектов, способы

начертания. Для осей можно указать их обозначение, указание единиц

На Панели инструментов расположены различные инструменты для

геометрических построений, разбитые на группы, о чем свидетельствует

маленький треугольник в правом нижнем углу каждой кнопки на панели.

При нажатии на него раскрывается выпадающее меню, из которого можно

выбрать нужный инструмент. При построении различных геометрических

объектов информация о них автоматически вносится в список на Панели

объектов, а сами объекты отображаются в Области геометрических построений.

Все объекты разделяются на свободные и зависимые. К свободным относятся все независимые объекты, то есть построенные произвольно в области построений. Зависимые объекты строятся, опираясь на уже имеющиеся свободные или зависимые объекты.

Для построения различных объектов используется Панель

инструментов, инструменты на которой разбиты на группы. Рассмотрим

последовательно имеющиеся в распоряжении пользователя инструменты.

При помощи инструмента Перемещать можно выбирать объекты

(группы объектов) и изменять их положение на координатной плоскости. Для

того чтобы выделить сразу несколько объектов, нужно не отпуская клавиши

Ctrl последовательно указать на них мышью.

Для построения точки нужно выбрать инструмент Точка (рис.6) и указать место на плоскости. Точка по умолчанию обозначается заглавной буквой латинского алфавита и на плоскости задается парой координат. При наведении курсора мыши на область построений он принимает вид крестика, около которого отображаются текущие координаты. Точка по умолчанию имеет синий цвет.

Для построения точки на каком либо объекте используется функция Точка на объекте. Выбирая этот элемент нужно помнить что точку можно поставить только на объекте, она не сможет покинуть границы объекты. Перемещать точку внутри объекта возможно. Такая точка окрашивается в синий цвет. Для построения точек, являющихся пересечением двух объектов, можно использовать инструмент Пересечение двух объектов. Выбрав этот инструмент, нужно указать два объекта, точки пересечения которых нужно построить. Такие точки будут окрашены в серый цвет и будут являться зависимыми объектами. Для построения середины отрезка нужно выбрать инструмент Середина или центр и указать либо две точки – концы отрезка, либо отрезок, середину которого требуется построить. При помощи того же инструмента можно построить центр геометрической фигуры, например эллипса. Для того чтобы прикрепить или снять прикрепленную точку имеется функция Прикрепить / Снять точку. Функция Комплексное число позволяет вставлять точку на выбранную плоскость. Точка окрашивается в синий цвет. Инструменты Прямая по двум точкам, Отрезок по двум точкам, Луч по двум точкам, Вектор по двум точкам строят прямую, отрезок, луч и вектор соответственно по указанию на две точки, через которые проходит нужная линия. Можно выбирать точки, которые уже имеются на чертеже, либо указывать мышью, где будут располагаться эти точки.

Для построения прямой, перпендикулярной данной, нужно выбрать

инструмент Перпендикулярная прямая , указать прямую на плоскости, перпендикулярная к которой будет построена, а также точку, через которую будет проходить новая прямая. Аналогичным образом строится прямая, параллельная данной, при помощи инструмента Параллельная прямая.

Для построения произвольного многоугольника используется инструмент Многоугольник. Для построения фигуры с его помощью необходимо последовательно указать все вершины многоугольника, а затем указать на вершину, с которой начиналось построение.

Построение объемных фигур

Построение призмы.

Задача. Построить призму ABCDEA1B1C1D1E1.

Решение: Выбираем функцию Призма и отмечаем 5 точек на координатной оси

Нажимая по оси z на нужную нам высоту, получим призму ABCDEA1B1C1D1E1.

2. Построение пирамиды

Задача. Построить пирамиду SABCDE.

Выбираем функцию Пирамида и отмечаем 5 точек на координатной оси.

Нажимая по оси z на нужную нам высоту и после переименования точки на

3. Построение прямоугольного параллелепипеда

Задача. Построить прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

При помощи строки ввода ставим 4 точки на плоскость XOY и одну точку на

плоскость XYZ .

После выполнения выше указанных шагом выбираем опцию Призма

соединяем точки A,B,C,D потом нажимаем на точку А и получаем

прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.

4. Построение цилиндра

Задача. Построить цилиндр с радиусом 2.

Для построения цилиндра есть опция Цилиндр. Выбираем эту опцию и на

оси z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем цилиндр с данным радиусом.

5. Построение конуса

Задача. Построить конус с радиусом 3.

Для построения конуса есть опция Cone. Выбираем эту опцию и на оси

Z выбираем две точки после чего выйдет окно с запросом на радиус.

Вводим значение радиуса и имеем конус с данным радиусом.

6. Построение шара

Задача. Построить шар с радиусом 3.

Шар можно построить с помощью двух опций. Первая из них называется

Сфера по центру и точке. При этом нужно выбрать точку центра и другую

точка которой будет являться крайней точкой сфера. Вторая функция Сфера

по центру и радиусу. В этом случае нужно выбрать точку центра и

выскакивает окно с запросом ввести радиус.

После ввода значения радиуса строиться сфера.

ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ

1. Построение сечения пирамиды

На ребрах AB,BC и CD тетраэдра ABCD отмечены точки M,N и P Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Построим сначала прямую, по которой плоскость MNP пересекается с плоскостью грани ABC. Точка M является общей точкой этих плоскостей. Для построения еще одной общей точки продолжим отрезки NP и BC до их пересечения в точке E (рис.2), которая и будет второй общей точкой плоскостей MNP и ABC. Следовательно, эти плоскости пересекаются по прямой ME. Прямая ME пересекает ребро AC в некоторой точке Q. Четырехугольник MN PQ – искомое сечение.

Точка M лежит на боковой грани ADB тетраэдра DABC. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку M параллельно основанию ABC.

Так как секущая плоскость параллельна плоскости ABC , то она параллельна прямым, AB, BC и CA. Следовательно, секущая плоскость пересекает боковые грани тетраэдра по прямым, параллельным сторонам треугольника ABC. Отсюда вытекает следующий способ построения искомого сечения. Проведём через точку M прямую, параллельную отрезку AB, и обозначим буквами P и Q точки пересечения этой прямой с боковыми ребрами DA и DB Затем через точку P проведем прямую, параллельную отрезку AC , и обозначим буквой R точку пересечения этой прямой с ребром DC. Треугольник PQR – искомое сечение.

Построение сечения прямоугольного параллелепипеда

На ребрах параллелепипеда даны три точки A, B и C. Построить

сечение параллелепипеда плоскостью ABC.

Построение искомого сечения зависит от того, на каких ребрах параллелепипеда лежат точки A, B и C. Рассмотрим некоторые частные случаи. Если точки A,B и C лежат на ребрах, выходящих из одной вершины нужно провести отрезки AB, BC и CA, и получится искомое сечение – треугольник ABC. Если точки A, B и C , то сначала нужно провести отрезки AB и BC, а затем через точку A провести прямую, параллельную AB. Пересечения этих прямых с ребрами нижней грани дают точки E и D. Остается провести отрезок ED, и искомое сечение – пятиугольник ABCDE – построено. Более трудный случай, когда данные точки A,B В этом случае можно поступить так, сначала построим прямую, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Для этого проведем прямую AB и продолжим нижнее ребро, лежащее в той же грани, что и прямая AB, до пересечения с этой прямой в точке M. Далее через точку M проведем прямую, параллельную прямой BC. Это и есть прямая, по которой секущая плоскость пересекается с плоскостью нижнего основания. Эта прямая пересекается с ребрами нижнего основания в точках E и F. Затем через точку E проведем прямую, параллельную прямой AB.

Список использованных источников

1. Иванчук Н.В., Эйкен О.В., Мартынова Е.В., Самылова Ю.В., Данько О.Е. Использование компьютерной программы GeoGebra на уроках математики в 7-11 классах: Методическое пособие. – Мурманск: МГПУ, 2008. – 36 с.

2. Геометрия 10-11 кл. учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни. 19-е издание. Москва "просвещение" 2010. под руководством А Н Тихонова. Авторы - Л С Атанасян, В Ф Бутузов и др.

3. Погорелов А.В. Геометрия: Учеб. Для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. – 9-е изд. – М.:Просвещение, 1999

(построение медиан, высот, биссектрис, вписанной окружности) .

2. Простейшие геометрические построения в программе Geogebra (построение серединных перпендикуляров, описанной окружности).

3. Геометрические построения в программе Geogebra за рамками школьной геометрии (окружность Эйлера – окружность 9 точек).

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: ПОСТРОИТЬ ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, В НЕМ ТРИ МЕДИАНЫ, ТРИ ВЫСОТЫ, ТРИ БИССЕКТРИСЫ И ВПИСАННУЮ ОКРУЖНОСТЬ.

1. Запустите программу GeoGebra.

2. С помощью инструмента Многоугольник постройте произвольный треугольник ABC (выбираем инструмент и нажимаем в произвольных местах плоскости левой клавишей мыши ABCA не забудьте в конце нажать по первой точке, чтобы закончить контур треугольника).

3. С помощью инструмента Середина или центр отметьте середины M2,M1,M отрезков AB, BC, AC (выбираем инструмент и нажимаем левой клавишей мыши по концам отрезков, наименование середин отрезков программа производит самостоятельно. Чтобы изменить название точек нажимаем на точке правой клавишей мыши и выбираем переименовать и пишем новое имя точки).

4. Теперь строим медианы AM1, BM, CM2 с помощью инструмента Отрезок

(выбираем инструмент и нажимаем на концах отрезка по очереди)

5. Находим точку пересечения всех трех медиан с помощью инструмента Пересечение (выбираем инструмент и нажимаем по очереди на две медианы, автоматически появится новая точка – точка их пересечения, которую назовем M3)

6. Теперь построим высоты в нашем треугольнике. Для этого выбираем инструмент Перпендикулярная прямая и нажимаем сначала на отрезок AC, к которому мы строим перпендикуляр, а потом на точку B – из какой точки он будет опущен (будет проведена прямая), а затем с помощью инструмента Пересечение найдем точку пересечения перпендикуляра и стороны AC и назовем ее H. Аналогично, построим высоты AH1, CH2. Находим точку пересечения всех трех высот с помощью инструмента Пересечение (выбираем инструмент и нажимаем по очереди на две высоты, автоматически появится новая точка – точка их пересечения, которую назовем H3)

7. Теперь построим биссектрисы в нашем треугольнике. Для этого выбираем инструмент Биссектриса угла и нажимаем по очереди на отрезки, которые образуют угол B (т.е. AB и BC), будут проведены биссектрисы угла B (и смежного с ним угла – вторую биссектрису делаем невидимой – нажимаем на маркере этой прямой, она нам сейчас не нужна), а затем с помощью инструмента Пересечение найдем точку пересечения биссектрисы и стороны AC и назовем ее E. Аналогично, построим биссектрисы AE1, CE2. Находим точку пересечения всех трех биссектрис с помощью инструмента Пересечение (выбираем инструмент и нажимаем по очереди на две биссектрисы, автоматически появится новая точка – точка их пересечения, которую назовем Е3)

Теперь с помощью инструмента Перемещать попробуйте поменять положение точек A, B, C и следить за изменениями чертежа (можно сделать треугольник тупоугольным и увидеть, что продолжения высот пересекаются вне треугольника).

9. Построим вписанную окружность, зная что центр вписанной окружности всегда лежит на пересечении биссектрис треугольника (т.е. в точке Е3). Для этого используем инструмент Окружность по центру и точке , нажимаем на точку E3 и увеличиваем радиус окружности так, чтобы она касалась сторон треугольника и когда достигнет необходимого радиуса, нажимаем на левой клавише мыши.

10. Сохраните файл в своей папке под именем практическая работа1.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: ПОСТРОИТЬ ОСТРОУГОЛЬНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК, В НЕМ ТРИ СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРА И ОПИСАННУЮ ОКРУЖНОСТЬ.

1. Запустите программу GeoGebra.

3. С помощью инструмента Середина или центр отметьте середины F3,F1,F2 отрезков AB, BC, AC (выбираем инструмент и нажимаем левой клавишей мыши по концам отрезков, наименование середин отрезков программа производит самостоятельно. Чтобы изменить название точек нажимаем на точке правой клавишей мыши и выбираем переименовать и пишем новое имя точки).

4. Теперь построим серединные перпендикуляры в нашем треугольнике. Для этого выбираем инструмент Перпендикулярная прямая и нажимаем сначала на отрезок AC, к которому мы строим перпендикуляр, а потом на точку F2 – из какой точки он будет проведен (будет проведена прямая). Аналогично, построим серединные перпендикуляры из точек F3 и F1. Находим точку пересечения всех трех серединных перпендикуляров с помощью инструмента Пересечение (выбираем инструмент и нажимаем по очереди на два перпендикуляра, автоматически появится новая точка – точка их пересечения, которую назовем F)

5. Построим описанную окружность, зная что центр описанной окружности всегда лежит на пересечении серединных перпендикуляров (т.е. в точке F). Для этого используем инструмент Окружность по центру и точке , нажимаем на точку F и увеличиваем радиус окружности так, чтобы она прошла через вершины треугольника и нажимаем на левой клавише мыши на любой вершине.

6. Меняем положение вершин треугольника с помощью инструмента Перемещать и наблюдаем разные чертежи.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ: ПОСТРОИТЬ ОКРУЖНОСТЬ ЭЙЛЕРА (ИЗВЕСТНУЮ ОКРУЖНОСТЬ 9 ТОЧЕК).

Одна из красивых теорем геометрии – теорема об окружности Эйлера: в неравностороннем треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр (точка пересечения высот) с вершинами треугольника, лежат на одной окружности, центром которой является середина отрезка, соединяющего ортоцентр с центром описанной окружности, а ее радиус в два раза меньше радиуса описанной окружности.

Т.е. точки А1, B1, C1, A2, B2, C2, A3, B3, C3 лежат на одной окружности, которая называется окружностью Эйлера.

1. Откройте программу GeoGebra.

2. Постройте неравносторонний треугольник с помощью инструмента

Многоугольник (в 5 вкладке первый рисунок): четырьмя нажатиями клавиши мыши

3. Постройте в этом неравностороннем треугольнике середины сторон с помощью инструмента Середина или центр (во 2 вкладке пятый рисунок): нажатиями клавиши мыши на концы отрезков

4. Постройте в этом неравностороннем треугольнике высоты с помощью инструмента Перпендикулярная прямая (в 4 вкладке первый рисунок): нажатиями клавиши мыши на вершину треугольника и противоположную сторону

5. Постройте в этом неравностороннем треугольнике ортоцентр (точку пересечения высот) с помощью инструмента Пересечение (во 2 вкладке четвертый рисунок):

нажатиями клавиши мыши на две высоты треугольника

6. Постройте в этом неравностороннем треугольнике основания высот (точки пересечения высот со сторонами) с помощью инструмента Пересечение (во 2 вкладке четвертый рисунок): нажатиями клавиши мыши на высоту и соответствующую (противоположную) сторону треугольника

7. Постройте в этом неравностороннем треугольнике середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами треугольника с помощью инструмента Середина или центр (во 2 вкладке пятый рисунок): нажатиями клавиши мыши на концы отрезка (ортоцентр и вершину треугольника)

8. Постройте в этом неравностороннем треугольнике центр описанной окружности с помощью построения серединных перпендикуляров (инструмент Серединный перпендикуляр – в 4 вкладке третий рисунок) и точка их пересечения (инструмент Пересечение)

9. Постройте в этом неравностороннем треугольнике отрезок, концы которого – ортоцентр и центр описанной окружности с помощью инструмента Отрезок (в 3 вкладке второй рисунок)

10. Наконец, постройте в этом неравностороннем треугольнике середину отрезка, построенного в пункте 9 – ЭТО И ЕСТЬ ЦЕНТР ОКРУЖНОСТИ ЭЙЛЕРА

11. И, наконец, осталось построить окружность Эйлера с помощью инструмента Окружность по центру и точке (в 6 вкладке первый рисунок) – нажатием клавиши мыши в центр и по любой из 9 построенных (описанных выше) точек

GeoGebra (Геогебра) — это динамическая математическая программа, которая объединяет геометрию, алгебру и исчисления. Она разработана для изучения и преподавания математики в школах Маркусом Гогенвартером (Markus Hohenwarter) и международым сообществом программистов

Видео – урок 1

Видео – урок 2

Интерфейс

Главное окно разделено на Виды. По умолчанию слева расположена Панель объектов, а справа — Полотно. Над ними могут быть размещены Панель меню и Панель инструментов, а под ними — Шаги построения. Многие функции могут быть доступны с помощь горячих клавиш. Программа также включает специальные возможности, такие как Клавиатура.

Что такое инструменты?

В GeoGebra каждый Вид предоставляет Панель инструментов с набором Инструментов, специфических для этого Вида. Вы можете активировать Инструмент щелчком по кнопке с соответствующим значком.

Задание: Построить окружность, используя инструмент Окружность по центру и точке.

Что такое наборы инструментов?

Инструменты GeoGebra собраны в Наборы инструментов, содержащие похожие Инструменты, или Инструменты, с помощью которых создаются объекты одного типа. Вы можете открыть Набор инструментов, щёлкнув по кнопке Инструмент и выбрав Инструмент из списка.

Задание: Найдите инструмент Отрезок среди Наборов инструментов и создайте отрезок.

Что такое подсказки?

Подсказка: если вы хотите узнать об инструменте побольше, щёлкните по Подсказке. Откроется страница с более детальной информацией о выбранном Инструменте.

Задание: Выяснить, как работает инструмент Многоугольник, и создать произвольный треугольник.

Читайте также: