Как сделать общий знаменатель у дроби с буквами

Обновлено: 07.07.2024

Любые 2 дроби возможно привести к одинаковому знаменателю, либо, говоря другими словами, к общему знаменателю.

Любые 2 дроби возможно привести к одинаковому знаменателю, либо, говоря другими словами, к общему знаменателю. Приведение дробей к общему знаменателю значит выразить дроби в одинаковых частях единицы с сохранением величины дроби.

Общим знаменателем дробей может стать каждое общее кратное знаменателей этих дробей (пример: произведение знаменателей). Он равен наименьшему общему кратному (НОК) знаменателей этих дробей. Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножать на одинаковое число, не равное нулю.

Зачем приводят дроби к общему знаменателю? Ниже приведены некоторые причины:

Сложение и вычитание дробейс разными знаменателями. Других способов для выполнения этой операции не существует;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю сильно облегчает выполнение задания;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения это, по сути, обыкновенные выражения, содержащие дроби.

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, необходимо:

найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей (наименьший общий знаменатель – НОЗ);
поделить наименьший общий знаменатель (НОЗ) на знаменатели этих дробей, то есть, найти каждой дроби дополнительный множитель;
умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Привести дроби , к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).

1. Определим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей заданных дробей – это будет искомым наименьшим общим знаменателем:

НОК (4 , 6) = 2 • 2 • 3 = 12;

НОЗ (наименьший общий знаменатель) = 12;

2. Разделим наименьший общий знаменатель на знаменатели заданных дробей, то есть найдем для каждой дроби дополнительный множитель:

дополнительный множитель для дроби :

3. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель:

Основное свойство дроби даёт возможность алгебраические дроби с различными знаменателями преобразовать в тождественные им дроби с одинаковыми знаменателями (говорят: привести дроби к общему знаменателю).

Такое преобразование приходится производить, как и в арифметике, при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Из рассмотрения нескольких примеров выведем общее правило приведения дробей к общему знаменателю.

1. Дроби с одночленными знаменателями.

Приведём к общему знаменателю дроби:

Общий знаменатель должен делиться на каждый из данных знаменателей. Составим его в таком порядке.

1) Коэффициент общего знаменателя должен делиться на 4, на и на 9. Наименьшим таким числом будет 36.

2) Общий знаменатель должен делиться на а, на и на Значит, он должен содержать множитель

3) Точно так же найдём, что буква должна войти в знаменатель в пятой степени, а буква с — во второй степени.

В итоге получим общий простейший знаменатель

Чтобы получить в первой дроби знаменатель надо её числитель и знаменатель умножить на Получим:

Таким же образом найдём:

За общий знаменатель можно было бы взять, например, одночлен так как он делится на каждый из знаменателей данных дробей. Однако этот одночлен имеет больший коэффициент и содержит буквы в более высоких степенях, чем одночлен

Одночлен для данных дробей является простейшим общим знаменателем.

Отсюда следует, что простейший общий знаменатель дробей с одночленными знаменателями есть наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные буквы, входящие в знаменатели, причём каждая буква берётся с наибольшим показателем, с каким она входит в знаменатели.

Примечание. Алгебраическую дробь с дробными коэффициентами числителя и знаменателя всегда можно заменить дробью,

у которой числитель и знаменатель имеют целые коэффициенты. Так, например, дробь —5- можно заменить дробью

2. Дроби с многочленными знаменателями.

Приведем к общему знаменателю дроби:

Разложим на множители знаменатели:

Составим общий знаменатель так же, как и в случае одночленных знаменателей.

Коэффициентом общего знаменателя будет наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 10, то есть 20.

Множитель возьмём в наибольшей степени, в которой он входит в знаменатели, то есть во второй. Множитель также возьмём во второй степени.

Простейший общий знаменатель будет:

Дроби примут следующий вид:

Отсюда такое правило:

Чтобы привести к простейшему общему знаменателю алгебраические дроби а многочленными знаменателями, надо знаменатели разложить на множители. Простейшим общим знаменателем будет наименьшее общее кратное коэффициентов знаменателей, умноженное на все различные множители, входящие в знаменатели, причём

каждый множитель берётся с наибольшим показателем, с каким он входит в знаменатели.

Примечание. Если какой-нибудь из знаменателей не разлагается на множители, то он берётся весь целиком как множитель.

Онлайн калькулятор дробей позволяет производить простейшие арифметические операции с дробями: сложение дробей, вычитание дробей, умножение дробей, деление дробей. Чтобы произвести вычисления, заполните поля соответствующие числителям и знаменателям двух дробей. Если дробь имеет вид "смешанной дроби", то также заполните поле, соответствующее целой части дроби. Если у дроби нет целой части, т.е. дробь имеет вид "простой дроби", то оставьте данное поле пустым. Затем нажмите кнопку "Вычислить".

Дробью в математике называется число, представляющее часть единицы или несколько её частей. Обыкновенная дробь записывается в виде двух чисел, разделенных обычно горизонтальной чертой, обозначающей знак деления. Число, располагающееся над чертой, называется числителем. Число, располагающееся под чертой, называется знаменателем. Знаменатель дроби показывает количество равных частей, на которое разделено целое, а числитель дроби - количество взятых этих частей целого.

Дроби бывают правильными и неправильными. Правильной называется дробь, у которой числитель меньше знаменателя. Если у дроби числитель больше знаменателя, то такая дробь называется неправильной. Смешанной называется дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, и понимается как сумма этого числа и дробной части. Соответственно, дробь, не имеющая целую часть,называется простой дробью. Любая смешанная дробь может быть преобразована в неправильную простую дробь (см. пример ниже).

Это правило позволяет легко и быстро устно найти наименьший общий знаменатель дробей.

Правило нахождения наименьшего общего знаменателя для двух или нескольких дробей:

1) Выбираем из всех знаменателей наибольшее число и проверяем, делится ли оно на остальные. Если делится, то это число и есть наименьший общий знаменатель (НОЗ) этих дробей.

2) Если наибольший знаменатель не делится на все остальные, умножаем его на 2 и проверяем, делится ли полученное число на все остальные. Если делится, то это новое число и есть НОЗ.

3) Если после умножения на два новое число не делится на все остальные, наибольший из знаменателей умножаем на 3,4,5 и так далее до тех пор, пока новое число не будет делиться на все остальные. Это новое число и есть наименьший общий знаменатель.

Найти общий знаменатель дробей:

$1)\frac<5> >u\frac$

Выбираем бОльший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 12 на 4 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 12.

$2)\frac<4> >u\frac>$

Выбираем больший знаменатель и проверяем, делится ли он на меньший. 15 на 10 не делится. Умножаем бОльший знаменатель на 2 и проверяем, делится ли новое число на меньший знаменатель. 15∙2=30, 30 на 10 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 30.

$3)\frac<2> >,\frac>u\frac>$

Выбираем большее число и проверяем, делится ли оно на остальные. 20 на 15 и 12 не делится. Большее число умножаем на 2 и проверяем, делится ли новое число на остальные. 20∙2=40. 40 на 15 и 12 не делится. Значит, большее число 20 надо умножить на 3 и проверить, будет ли делиться результат на остальные. 20∙3=60. 60 делится и на 15, и на 12. Поэтому 60 — наименьший общий знаменатель этих дробей.

$4)\frac<7> >u\frac>$

Большее — 18. Оно не делится на меньшее — 15. Умножаем большее на 2: 18∙2=36. 36 на 15 не делится. Умножаем большее на 3: 18 ∙3=54. 54 на 15 не делится. Умножаем большее на 4: 18∙4=72. 72 на 15 не делится. Умножаем большее на 5: 18∙5=90. 90 на 15 делится. Значит, наименьший общий знаменатель этих дробей равен 90.

В следующий раз мы посмотрим, как это правило применять при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями.

Читайте также: