Как сделать обратную замену

Обновлено: 02.07.2024

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле $\int f(x) d x$ сделать подстановку $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ - функция с непрерывной первой производной, то тогда $d x=d(\phi(t))=\phi^<\prime>(t) d t$ и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:

$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \phi^<\prime>(t) d t$

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.

После нахождения интеграла по новой переменной $t$ необходимо вернуться к первоначальной переменной $x$.

В некоторых случаях целесообразно делать подстановку $t=g(x)$, тогда

$\int f(g(x)) g^<\prime>(x) d x=\int f(t) d t$

Примеры решения интегралов данным методом

Задание. Найти интеграл $\int x e^> d x$

Решение. Сделаем замену переменной: $x^=t$, далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.

$$\begin & x^=t & \\ & d\left(x^\right)=d t & \\ \int x e^ d x=\int e^ \cdot x d x & 2 x d x=d t & =\int e^ \cdot \frac= \\ & x d x=\frac \end$$

Ответ. $\int x e^> d x=\frac>+C$


Мы помогли уже 4 372 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Найти интеграл $\int \frac+x \ln x>> d x$

Решение. Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной: $\ln x=t$

$$=\int d x+\int \frac<\ln x> d x\left\|\begin \ln x=t \\ \frac=d t \end\right\|=x+\int t d t=x+\frac>+C=$$

Ответ. $\int \frac+x \ln x>> d x=x+\frac <\ln ^x>+C$

Следствия из метода интегрирования заменой переменной

Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:

Аналогично можно показать, что

$\int \cos (k x+b) d x=\frac \sin (k x+b)+C$

$\int \sin (k x+b) d x=-\frac \cos (k x+b)+C$

Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.


'
Всего: 5 1–5


Задание 20 № 338757

Пусть тогда , откуда или

Вернемся к исходной переменной:


Задание 20 № 338894

Решите систему уравнений

Выразим переменную y из второго уравнения и подставим в первое:

Решим первое уравнение системы. Пусть

Система имеет четыре пары решений:

Ответ: (−1; −6); (1; 6); (−6; −1); (6; 1).


Задание 20 № 338951

Вернемся к исходной переменной:


Задание 20 № 311587

Сделаем замену Получаем уравнение
Корни:
Если , то или
Если , то или


Задание 20 № 341366

Решите систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем Первое уравнение системы принимает вид

Пусть t = x 2 . Тогда получаем уравнение t 2 − 10t + 9 = 0, решениями которого являются t = 1 и t = 9.

Биквадратные уравнения относятся к разделу школьной алгебры. Метод решения таких уравнений довольно простой, нужно использовать замену переменной.
Рассмотрим алгоритм решения:
-Что такое биквадратное уравнение?
-Как решить биквадратное уравнение?
-Метод замены переменной.
-Примеры биквадратного уравнения.
-Нахождение корней биквадратного уравнения.

Формула биквадратного уравнения:

Формулы биквадратного уравнения отличается от квадратного уравнения тем, что у переменной х степени повышатся в два раза.

ax 4 +bx 2 +c=0, где a≠0

Как решаются биквадратные уравнения?

Решение биквадратных уравнений сводится сначала к замене, а потом решению квадратного уравнения:
\(x^=t,\;t\geq0\)
t должно быть положительным числом или равным нулю

Получаем квадратное уравнение и решаем его:
at 2 +bt+c=0,
где x и t — переменная,
a, b, c -числовые коэффициенты.

\(t^-5t+6=0\)
Получилось полное квадратное уравнение, решаем его через дискриминант:
\(D=b^-4ac=(-5)^-4\times1\times6=25-24=1\)
Дискриминант больше нуля, следовательно, два корня, найдем их:

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученные числа: \(x^=3\)
Чтобы решить такого вида уравнение, необходимо обе части уравнения занести под квадратный корень.

Пример №2:
Решить биквадратное уравнение.
\(x^-4x^+4=0\)

Получилось полное квадратное уравнение, решаем через дискриминант:
\(D=b^-4ac=(-4)^-4\times1\times4=16-16=0\)
Дискриминант равен нулю, следовательно, один корень, найдем его:
\(t=\frac=\frac=2\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:

Можно не во всех случаях делать замену. Рассмотрим пример.

Пример №3:
Решить биквадратное уравнение.

Выносим переменную x 2 за скобку,

Приравниваем каждый множитель к нулю

Делим всё уравнение на -4:
Чтобы решить \(x^=4\) такое уравнение, необходимо, обе части уравнения занести под квадратный корень.
\(\begin
&x^=4\\
&x_=2\\
&x_=-2\\
\end\)

Пример №4:
Решите биквадратное уравнение.
\(x^-16=0\)

Возвращаемся в замену, подставим вместо переменной t полученное число:
\(\begin
&x^=4\\
&x_=2\\
&x_=-2
\end\)

Получилось неполное квадратное уравнение решаем его.
\(t^+10=0\)
\(t^=-10\), не подходит условию \(t\geq0\)

Ответ: решения нет.

Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Интегрирование заменой переменной

Замена переменной в неопределенном интеграле. Формула преобразования дифференциалов. Примеры интегрирования. Примеры линейных подстановок.

Метод замены переменной

С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.

Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.

Основная формула замены переменной

Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .

Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .

Преобразование дифференциала выполняется так:
.
То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .

На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде
,
где t′ ( x ) – это производная t по x , то
.

Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах.
(1) ,
где x – это функция от t .
(2) ,
где t – это функция от x .

Важное замечание

В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.

В качестве примера рассмотрим табличный интеграл
.

Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов:
;
;
.

В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом:
.
Тогда
.

В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что
.
После чего интеграл сводится к табличному.
.

Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда
;
;

.

Примеры интегрирования заменой переменной

1) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда

.
Здесь мы применили подстановку t = sin x .

2) Вычислим интеграл
.
Замечаем, что . Тогда

.
Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .

3) Проинтегрируем
.
Замечаем, что . Тогда

. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .

Линейные подстановки

Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида
t = ax + b ,
где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением
.

Примеры интегрирования линейными подстановками

A) Вычислить интеграл
.
Решение.
.

B) Найти интеграл
.
Решение.
Воспользуемся свойствами показательной функции.
.
ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.

.

C) Вычислить интеграл
.
Решение.
Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов.
.
Вычисляем интеграл.

.

\frac1<\sqrt<2></p> <p>D) Найти интеграл <br />. <br />Решение. <br />Преобразуем многочлен под корнем. <br /> <br />. <br />Интегрируем, применяя метод замены переменной . <br /> <br />> \ln \left| \; x + \frac34 + \sqrt <\left( x + \frac34 \right)^2 - \left( \frac34 \right)^2 >\; \right| + C
.
Ранее мы получили формулу
.
Отсюда
.
Подставив это выражение, получим окончательный ответ.

E) Вычислить интеграл
.
Решение.
Применим формулу произведения синуса и косинуса.
;
.
Интегрируем и делаем подстановки.


.

Читайте также: