Как сделать обратную функцию
Обновлено: 06.07.2024
Допустим, что у нас есть некая функция y = f ( x ) , которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения x ∈ a ; b ; область ее значений y ∈ c ; d , а на интервале c ; d при этом у нас будет определена функция x = g ( y ) с областью значений a ; b . Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y = f ( x ) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x = g ( y ) тогда, когда y = f ( x ) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.
Две этих функции, f и g , будут взаимно обратными.
Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?
Это нужно нам для решения уравнений y = f ( x ) , которые записываются как раз с помощью этих выражений.
Нахождение взаимно обратных функций
Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos ( x ) = 1 3 . Его решениями будут все точки: x = ± a rс c o s 1 3 + 2 π · k , k ∈ Z
Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.
Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.
Условие: какая функция будет обратной для y = 3 x + 2 ?
Решение
Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x , то есть выразив x через y .
Мы получим x = 1 3 y - 2 3 . Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:
Ответ: функция y = 1 3 x - 2 3 будет обратной для y = 3 x + 2 .
Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:
Мы видим симметричность обоих графиков относительно y = x . Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.
Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.
Условие: определите, какая функция будет обратной для y = 2 x .
Решение
Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0 ; + ∞ . Теперь нам нужно выразить x через y , то есть решить указанное уравнение через x . Мы получаем x = log 2 y . Переставим переменные и получим y = log 2 x .
В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.
Ответ: y = log 2 x .
На графике обе функции будут выглядеть так:
Основные свойства взаимно обратных функций
В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y = f ( x ) и x = g ( y ) , являющихся взаимно обратными.
- Первое свойство мы уже вывели ранее: y = f ( g ( y ) ) и x = g ( f ( x ) ) .
- Второе свойство вытекает из первого: область определения y = f ( x ) будет совпадать с областью значений обратной функции x = g ( y ) , и наоборот.
- Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y = x .
- Если y = f ( x ) является возрастающей, то и x = g ( y ) будет возрастать, а если y = f ( x ) убывает, то убывает и x = g ( y ) .
Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y = f ( x ) = a x и x = g ( y ) = log a y . Согласно первому свойству, y = f ( g ( y ) ) = a log a y . Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y , а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что a log a y = y . Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y .
А вот равенство x = f ( g ( x ) ) = log a a x = x будет верным при любых действительных значениях x .
Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями. Так, a r c sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3 , потому что область значений арксинуса - π 2 ; π 2 и 7 π 3 в нее не входит. Верной будет запись
a r c sin sin 7 π 3 = a r c sin sin 2 π + π 3 = = п о ф о р м у л е п р и в и д е н и я = a r c sin sin π 3 = π 3
А вот sin a r c sin 1 3 = 1 3 – верное равенство, т.е. sin ( a r c sin x ) = x при x ∈ - 1 ; 1 и a r c sin ( sin x ) = x при x ∈ - π 2 ; π 2 . Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!
Графики взаимно обратных функций
Если у нас есть степенная функция y = x a , то при x > 0 степенная функция x = y 1 a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y = x a и x = y 1 a .
На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):
- Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические
Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1 .
Графики для функций с a > 1 и a 1 будут выглядеть так:
- Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические
Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):
График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:
График главной ветви арктангенса и тангенса:
График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:
Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси O y на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π 2 ; 3 π 2 , то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.
Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.
Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.
Содержание
Определение
Пусть дано биективное отображение " width="" height="" />
. Тогда по определению биекции для каждого " width="" height="" />
существует в точности один " width="" height="" />
, такой что " width="" height="" />
. Таким образом построена функция " width="" height="" />
. Эта функция называется обратной к " width="" height="" />
и обозначается >" width="" height="" />
.
Замечания
, (F(x))=x,\;\forall x\in X>" width="" height="" />
,
, \circ F=\mathrm _>" width="" height="" />
,
где " width="" height="" />
означает композицию функций, а _,\mathrm _>" width="" height="" />
- тождественные отображения на " width="" height="" />
и " width="" height="" />
соответственно.
Функция – это соответствие, при котором каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной.
Пусть некоторое соответствие задано таблицей:
Множество значений X = отображается в множество значений Y = : $X \xrightarrow Y$. При этом каждому значению x соответствует единственное значение y, т.е., данное соответствие f является функцией.
С другой стороны, мы можем рассмотреть обратное отображение $Y \xrightarrow X$, заданное той же таблицей. При этом каждому значению y соответствует единственное значение x, т.е., обратное соответствие $g = f^$ также является функцией.
Функцию $f: X \xrightarrow Y$ с областью определения X и областью значений Y называют обратимой , если обратное ей соответствие $g: Y \xrightarrow g X$ также является фунцией.
Если функция f обратима, то обратное ей соответствие $g = f^$ называют обратной функцией к f.
Например: аналитическое выражение для функции $X \xrightarrow Y$, заданной таблицей $y = f(x) = \frac$. Обратное соответствие $Y \xrightarrow X$ также является функцией x = g(y) = 2y.
Функция g - обратная функция к f.
В общем случае формулы функций записывают в виде y(x). При такой записи, функции $y = \frac$ и y=2x являются взаимно обратными.
Алгоритм вывода формулы функции, обратной данной
На входе: множества X и Y, для которых оба соответствия $X \xrightarrow Y$ и $Y \xrightarrow X$ являются функциями.
Шаг 1. В формуле для исходной функции заменить обозначения аргумента и значения: $x \rightarrow y$, $y \rightarrow x$.
Шаг 2. Из полученной формулы выразить y(x). Искомое выражение для обратной функции найдено.
Шаг 3. Учесть ограничения для области определения и области значений исходной и/или обратной функций.
1) Пусть исходная функция $y = \frac$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = \frac$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: y = 2x - искомая обратная функция
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
2) Пусть исходная функция y = -2x+3
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: x = -2y+3
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = \frac$ - искомая обратная функция
Шаг 3. Ограничений на x и y нет
3) Пусть исходная функция $y = \sqrt$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = \sqrt$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = x^2-1$ - искомая обратная функция
Шаг 3. На исходную функцию накладываются ограничения
на $x:x+1 \ge 0 \Rightarrow x \ge -1$, на $y:y \ge 0$
Тогда исходная функция определяется на множествах $y \ge -1$, $x \ge 0$
4) Пусть исходная функция $y = 2x^2+1$
Шаг 1. Меняем аргумент и значение: $x = 2y^2+1$
Шаг 2. Находим y из полученной формулы: $y = \sqrt>$ - искомая обратная функция
Шаг 3. На обратную функцию накладываются ограничения
на $x:x-1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1$, на $y:y \ge 0$
Тогда исходная функция определяется на множествах $y \ge 1$, $x \ge 0$
Исходная функция — парабола получает ограничения из-за обратной функции; только в этом случаи функции будут взаимно обратными.
Свойства взаимно обратных функций
Пусть f и g - взаимно обратные функции. Тогда:
1. Область определения функции f является областью значений функции g, а область значений функции f является областью определения функции g.
2. Функции f и g либо одновременно возрастающие, либо одновременно убывающие.
3. Если f - нечётная, то и g - нечётная.
4. Графики f и g симметричны относительно биссектрисы 1-й четверти y = x.
5. Справедливы тождества f(g(x) ) = x и g(f(x) ) = x.
Графики пар взаимно обратных функций, найденных выше:
 |  |
 |  |
Примеры
Пример 1. Задайте формулой функцию, обратную данной.
Меняем аргумент и значение: x = 5y-4
Получаем: $y = \frac$ - искомая обратная функция
Меняем аргумент и значение: x = -3y+2
Получаем: $y = \frac$ - искомая обратная функция
в) y = 4x+1, где $-1 \le x \le 5$
Меняем аргумент и значение: x = 4y+1
Требуем, чтобы: $-1 \le y \le 5 \Rightarrow -1 \le \frac \le 5 \Rightarrow -4 \le x-1 \le 20 \Rightarrow -3 \le x \le 21$
Итак, искомая обратная функция: $y = \frac$, где -3 $\le x \le 21$
Требуем, чтобы: $2 \le y \le 9 \Rightarrow 2 \le -2x+14 \le 9 \Rightarrow -12 \le -2x \le -5 \Rightarrow$
Обратной функцией называют функцию, обращающую исходную зависимость у = f(x) таким образом, что аргумент х и функция у меняются ролями. То есть х становится функцией от y (х = f(у)). При этом графики взаимно обратных функций у = f (x) и х = f (у) симметричны по отношению к оси ординат в первой и третьей координатных четвертях декартовой системы. Областью определения обратной функции является область значений исходной, а областью значений в свою очередь – область определения заданной функции.
- Как найти обратную функцию для данной
- Как решить функцию
- Что такое обратная зависимость
В общем случае при нахождении обратной функции для заданной у = f(x) выразите аргумент х через функцию у. Для этого воспользуйтесь правилами умножения обеих частей равенства на одно и то же значение, переносом многочленов выражений, при этом учитывайте смену знака. В простом случае рассмотрения показательных функций вида: y = (7/x) + 11, обращение аргумента х производится элементарно: 7/x = у-11, х = 7*(у-11). Искомая обратная функция имеет вид х = 7*(у-11).
Однако зачастую в функциях используются сложные степенные и логарифмические выражения, а также тригонометрические функции. В этом случае при нахождении обратной функции нужно учитывать известные свойства данных математических выражений.
Если в исходной функции аргумент х стоит под степенью, для получения обратной функции возьмите от данного выражения корень с тем же показателем. Например, для заданной функции у = 7+ х² обратная будет иметь вид: f(у) = √у -7.
При рассмотрении функции, где аргумент х представляет собой степень постоянного числа, примените определение логарифма. Из него следует, что для функции f(х) = ах обратной будет являться f(у) = logаy, причем основание логарифма а – в обоих случаях число, отличное от нуля. Так же и наоборот, рассматривая исходную логарифмическую функцию f(х) = logах, ее обратная функция представляет собой степенное выражение: f(у) = ау.
В частном случае исследования функции, содержащей натуральный логарифм ln х или десятичный lg х, т.е. логарифмы по основанию числа е и 10 соответственно, получение обратной функции проводится аналогично, только вместо основания а подставляется экспоненциальное число либо число 10. Например, f(х) = lg х -> f(у) = 10у и f(х) = ln х -> f(у) = еу.
Для тригонометрических функций обратными друг к другу являются следующие пары:
- y = cos x -> x = аrccos y;
- y = sin x -> x = аrcsin y;
- y = tan x -> x = аrctan y.
Читайте также: