Как сделать обратное отношение
Добавил пользователь Morpheus Обновлено: 05.10.2024
1. Отношение, как оно получилось теперь, есть снятое прямое отношение; оно было непосредственным и, стало быть, еще не истинно определенным; теперь же определенность прибавилась к нему так, что показатель считается произведением, единством единицы и численности.
Со стороны его непосредственности его можно было (как было показано выше) брать безразлично — и как единицу, и как численность, вследствие чего он и был дан лишь как определенное количество вообще и, стало быть, преимущественно как численность; одна сторона была единицей, и ее следовало брать как одно, а другая сторона — ее неизменной численностью, которая в то же время есть и показатель; качество последнего состояло, следовательно, лишь в том, что это определенное количество брали как неизменное или, вернее, неизменное имело лишь смысл определенного количества.
В прямом отношении эта единица есть лишь то, что обще обоим членам; как таковая, она переходит в другой член, в численность; сама численность, взятая особо, или, иначе говоря, показатель, безразлична к единице.
Но при той определенности отношения, какую мы имеем теперь, численность, как таковая, изменяется по отношению к единице, для которой она другой член отношения; если мы берем в качестве единицы какое-ни- будь другое определенное количество, то численность становится другой. Поэтому, хотя показатель и есть лишь непосредственное определенное количество, лишь произвольно принимаемое за неизменное, но он не сохраняется, как таковое, в стороне отношения, и эта сторона, а тем самым и прямое отношение сторон изменчивы.
Поэтому в рассматриваемом теперь отношении показатель, как определяющее определенное количество, положен отрицательно по отношению к себе как к определенному количеству отношения, положен тем самым как качественный, как граница, так что качественное выступает особо, отличным от количественного. — В прямом отношении изменение обоих членов есть лишь одно изменение определенного количества, каковым берется единица, которая есть то, что обще [обеим сторонам отношения], и, следовательно, во сколько раз одна сторона увеличивается или уменьшается, во столько же раз увеличивается или уменьшается также и другая; само отношение безразлично к этому изменению; последнее внешне ему. В обратном же отношении изменение, хотя оно в соответствии с безразличным количественным моментом также произвольно, удерживается внутри отношения, и это произвольное количественное выхождение также подвергается ограничению отрицательной определенностью показателя как некоторой границей.
2. Следует рассмотреть эту качественную природу обратного отношения еще подробнее, а именно в ее реализации, и разъяснить содержащуюся в ней переплетенность утвердительного с отрицательным. — Определенное количество положено [здесь] как то, что качественно определяет определенное количество, т. е. само себя, как представляющее себя в самом себе своей границей. Тем самым оно, во-первых, непосредственная величина как простая определенность, целое как сущее, утвердительное определенное количество. Но, во-вторых, эта непосред- ственыая определенность есть также граница; поэтому различают в нем два определенных количества, которые прежде всего суть другие относительно друг друга; но как их качественная определенность, а именно как полная, оно единство единицы и численности, произведение, множителями которого они служат. Таким образом, показатель их отношения, с одной стороны, тождествен в них с собой и есть то их утвердительное, на основании которого они определенные количества; с другой стороны, он, как положенное в них отрицание, есть в них то единство, на основании которого каждое, будучи прежде всего непосредственным, ограниченным определенным количеством вообще, в то же время так ограничено, что оно только в себе тооюдественно со своим иным.
В-третьих, как простая определенность он отрицательное единство этого своего разделения на два определенных количества и граница их взаимного ограничения.
Согласно этим определениям, оба момента ограничивают друг друга внутри показателя, и один момент есть отрицательное другого, так как показатель есть их определенное единство; один момент становится во столько раз меньше, во сколько другой становится больше; каждый имеет свою величину постольку, поскольку он заключает в себе величину другого, поскольку она недостает другому. Каждая величина продолжает себя, таким образом, отрицательно, переходя в другую; сколько численности есть в ней, столько она снимает в другой как численности, и она есть то, что она есть, только через отрицание или границу, которая полагается в ней другою. Таким образом, каждая содержит и другую и измеряется ею, ибо каждая должна быть только тем определенным количеством, которым не является другая; для значения каждой из них величина другой необходима и, стало быть, от нее неотделима.
Этот переход каждой величины в другую составляет момент единства, благодаря которому они находятся в отношении — момент одной определенности, простой границы, которая есть показатель. Это единство, целое, образует в-себе-бытие каждой из величин; от этого в-себе- бытия отлична ее наличная величина, по которой каждый момент есть лишь постольку, поскольку она отнимает у другой часть их общего в-себе-бытия — целого. Но она может отнять у другой лишь столько, сколько нужно для того, чтобы сделать [себя] равной этому в-себе-бы- тию. Она имеет свой максимум в показателе, который по указанному выше второму определению есть граница их взаимного ограничения. А так как каждая есть момент отношения лишь постольку, поскольку она ограничивает другую и тем самым ограничивается другой, то, делаясь равной своему в-себе-бытию, она утрачивает это свое определение; при этом не только другая величина становится нулем 125, но и она сама исчезает, так как она, согласно предположению, есть не просто определенное количество, а должна быть тем, что она, как таковое, есть лишь как такого рода момент отношения.
Таким образом, каждая сторона [отношения] есть противоречие между определением [ее] как ее в-себе-бытия, т. е. единства того целого, которым служит показатель, и определением [ее] как момента отношения; это противоречие есть в свою очередь бесконечность в новой, особой форме.
Показатель — это граница членов его отношения, внутри которой они друг друга увеличивают и уменьшают, при этом они не могут стать равными показателю по той утвердительной определенности, которая свойственна ему как определенному количеству. Таким образом, как граница их взаимного ограничения он есть а) их потустороннее, к которому они могут бесконечно приближаться, но которого они не могут достигнуть. Эта бесконечность, в которой они к нему приближаются, есть дурная бесконечность бесконечного прогресса; она сама конечна, имеет свой предел в своей противоположности, в конечности каждого члена и самого показателя, и есть поэтому лишь приближение. Но р) дурная бесконечность в то же время положена здесь как то, что она есть поистине, а именно лишь как отрицательный момент вообще, в соответствии с которым показатель есть относительно различенных определенных количеств отношения простая граница как в-себе-бытие, с которым соотносят их конечность как то, что совершенно изменчиво, но которое остается совершенно отличным от них как их отрицание. Это бесконечное, к которому они могут лишь приближаться, в таком случае наличествует также и как утвердительное посюстороннее; оно простое определенное количество показателя. В показателе достигнуто то потустороннее, которым обременены стороны отношения; он есть в себе единство обеих или тем самым он есть в себе другая сторона каждой из них; ибо каждая имеет лишь столько значения (Wert), сколько ее не имеет другая, вся ее определенность находится, таким образом, в другой, и это ее в-себе-бытие есть как утвердительная бесконечность просто показатель.
3. Но тем самым получился переход обратного отношения в другое определение, чем то, которое оно имело первоначально.
Последнее состояло в том, что некоторое определенное количество как непосредственное имеет в то же время такое соотношение с другим, что оно становится тем больше, чем меньше становится другое и [лишь] через отрицательное отношение к другому оно есть то, чтб оно есть; и равным образом некоторая третья величина есть общий [для них] предел этого их увеличения. Это изменение, в противоположность качественному как неизменной границе, составляет здесь их отличительную черту; они имеют определение переменных величин, для которых то неизменное есть некое бесконечное потустороннее.
Но определения, которые обнаружились и которые мы должны свести воедино, заключаются не только в том, что это бесконечное потустороннее есть также имеющееся налицо и какое-то конечное определенное количество, но и в том, что его неизменность — в силу которой оно есть такое бесконечное потустороннее по отношению к количественному и которая есть качественная сторона бытия лишь как абстрактное соотношение с самой собой, — развилась в опосредствование себя с собой в своем ином, в конечности отношения. Всеобщее этих определений заключается в том, что вообще целое как показатель есть граница взаимного ограничения обоих членов и, стало быть, положено отрицание отрицания, а тем самым бесконечность, утвердительное отношение к самому себе. Более определенно то, что в себе показатель уже как произведение есть единство единицы и численности, но каждый из обоих членов [отношения] есть лишь один из этих двух моментов, благодаря чему показатель, следовательно, включает их в себя и в себе соотносится в них с собой. В обратном же отношении различие развилось во внешность количественного бытия и качественное дано не только как неизменное и не только как лишь непосредственно включающее в себя моменты, но и как смыкающееся с собой в вовне-себя-сущем инобытии. Это определение и выделяется как результат в обнаружившихся [до сих пор] моментах. А именно, показатель оказывается в-себе-бытием, моменты которого реализованы в определенных количествах и в их изменчивости вообще.
Безразличие их величин в их изменении предстает в виде бесконечного прогресса; в основе этого лежит то, что в их безразличии их определенность состоит в том, чтобы иметь свое [численное] значение в значении другого и, стало быть, а) в соответствии с утвердительной стороной их определенного количества быть в себе всем показателем в целом. И точно так же они имеют Р) своим отрицательным моментом, своим взаимным ограничива- нием величину показателя; их граница есть его граница. То обстоятельство, что они уже не имеют никакой другой имманентной границы, никакой126 твердой непосредственности, положено в бесконечном прогрессе их наличного бытия и их ограничения, в отрицании всякого частного [численного] значения. Такое отрицание есть, согласно этому, отрицание вовне-себя-бытия показателя, которое представлено ими, и он, т. е. сам будучи и определенным количеством вообще, и выраженным в определенных количествах, тем самым положен как сохраняющийся, сливающийся с собой в отрицании их безразличного существования, положен, таким образом, как определяющий это выхождение за свои пределы.
Отношение называется обратным к отношению R, если ba тогда и только тогда, когда aRb. Очевидно, что = R. Например, для отношения "больше или равняется" обратным есть отношение "меньше или равняется". Для отношения "делится на" - отношение "является делителем".
Взаимообратное отношение - отношения, которые являются обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого - областью значений другого.
Обратное отношение имеет такие свойства:
- 1) Отношение равно своему обратному являются симметричными.
- 2) Если отношение R имеет такие свойства: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность, то и обратное отношение имеет такие же свойства.
- 3) Если отношение R инъективное, сюръективное или функциональное, то ,не обязательно будет таким же.
Композицией (произведением, суперпозицией) отношений S и R, где R A B, S BC, называется отношение T AC , которое определяется следующим образом T S R a,c: a A cC и существует bB:a,bR b,cS
Пример. Пусть А = , В = , а C= и пусть отношения R на A x B и S на B x C заданы в виде: R= (1,x),(1,y),(3,x) S= Тогда S R 1,s,1,t,1,c,1,z,3,s,3,t
Примером такого отношения может служить отношение на некотором множестве [math]A[/math] населенных пунктов [math]R\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно доехать на поезде", а [math]S\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно доехать на автобусе". Тогда отношение [math]R\circ S\subseteq A\times A[/math] — отношение "можно добраться из пункта А в пункт Б, сначала проехав на поезде, а потом на автобусе (только по одному разу)".
Содержание
В связи с этим понятием, также вводятся обозначения:
[math] R^ = \bigcup\limits^<\infty>_ R^ [/math] — Транзитивное замыкание (англ. transitive closure) отношения [math]R[/math] ;
[math] R^ = \bigcup\limits^<\infty>_ R^ [/math] — Транзитивно-рефлексивное замыкание отношения [math]R[/math]
Функции и бинарные отношения. Рефлексивные, транзитивные и симметричные отношения. Диалектическое и историческое развитие фундаментальных понятий математики. Идея функциональной зависимости в первых математически выраженных соотношениях между величинами.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.12.2016 |
| Размер файла | 30,5 K |
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
- Содержание
- Введение
- Функция
- Бинарные отношения
- Обратные отношения и композиции отношений
- Заключение
- Список литературы
- Введение
Тема моего реферата - Функции: обратные отношения и композиции отношений. Мое знакомство с функциями началось еще в начальной школе на уроках математики. Уже в средней школе были изучены свойства, действия над функциями, область определения функции и т.д.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира. Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс. лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости. функция бинарный симметричный соотношение
В данной работе мы еще ознакомимся с такими понятиями как обратные отношения и композиции отношений.
Не существует формального определения функции. Понятие функция относится к базовым понятиям математики, и его можно лишь попробовать назвать другим синонимом, например отражение, соответствие, закон или подмножество декартового произведения.
Функцией (отражением, трансформацией) f множества X во множество Y (обозначается f : X >Y) называется такое соответствие между множествами X и Y, которая удовлетворяет следующим условиям:
1. Соответствие f везде определено, то есть, для любого x из X существует такой y из Y, что x f y (y является образом x для функции f), то есть, для любого x из X существует хотя бы один образ y из Y.
2. Соответствие f является соответствием или функциональностью, то есть, если x f y и x f z, то y = z, то есть, y может быть образом сразу нескольких элементов из X, но один элемент x не может порождать больше одного образа из Y.
Элемент y из Y, который отвечает элементу x из X, обозначается как f (x).
Также можно сказать, что отражением (функцией) из X в Y является такое соответствие f ?AЧB, в которой каждому элементу a? Pr1f отвечает только один элемент из Pr2f (здесь Ч - Декартовое произведение множеств, Pr1f и Pr2f - соответствующие проекции отражения).
Соответствие между X и Y, которая удовлетворяет только условию (1) называется многозначной функцией. Любая функция является многозначной функцией, но не каждая многозначная функция является функцией. Соответствие, которое удовлетворяет только условию (2) есть частичная функция. Любая функция является частичной, но не каждая частичная функция является функцией. Здесь функцией является такое соответствие между множествами, которое удовлетворяет одновременно условиям (1) и (2), если другое не указывается дополнительно.
Бинарные отношения
Наиболее популярными в математике являются двухместные или бинарные отношения, на изучении свойств которых мы остановимся детальнее. Дальше везде под словом "отношение" будем понимать бинарное отношение. Если элементы a, b (M находятся в отношении R (то есть (a, b)(R))), то это часто записывают в виде aRb. Заметим, что бинарные отношения иногда рассматривают, как отдельный случай соответствий, а именно - как соответствия между одинаковыми множествами.
Для задания отношений можно пользоваться теми же способами, что и при задание множеств. Например, если множество M конечно, то произвольное отношение R на M можно задать списком пар элементов, которые находятся в отношении R.
Удобным способом задання бинарного отношения R на конечном множестве M= есть задання с помощью так называемой матрицы бинарного отношение. Это квадратная матрица C порядка n, в которой элемент cij, что стоит на пересечении i- го строки и j- го столбца.
Свойства отношения. Пусть R - некоторое отношение на множестве M. Отношение R называется:
1) рефлексивным, если для всех aєM имеет место aRa.
2) антирефлексивным (иррефлексивным), если ни для одного aєM не выполняется aRa.
3) симметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb имеем bRa.
4) асимметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb не выполняется bRa.
5) антисимметричным, если для всех a, bєM таких, что aRb и bRa имеем a = b.
6) транзитивным, если из соотношений aRb и bRc выплывает aRc.
7) полным, если для любых a, bєM выплывает, что aRb или bRa.
Обратное отношение и композиция отношений
Отношение называется обратным к отношению R, если ba тогда и только тогда, когда aRb. Очевидно, что = R. Например, для отношения "больше или равняется" обратным есть отношение "меньше или равняется". Для отношения "делится на" - отношение "является делителем".
Взаимообратное отношение - отношения, которые являются обратными друг по отношению к другу. Область значений одного из них служит областью определения другого, а область определения первого - областью значений другого.
Обратное отношение имеет такие свойства:
1) Отношение равно своему обратному являются симметричными.
2) Если отношение R имеет такие свойства: рефлексивность, антирефлексивность, симметричность, антисимметричность и транзитивность, то и обратное отношение имеет такие же свойства.
3) Если отношение R инъективное, сюръективное или функциональное, то ,не обязательно будет таким же.
Композицией (произведением, суперпозицией) отношений S и R, где R A B, S BC, называется отношение T AC , которое определяется следующим образом T S R a,c: a A cC и существует bB:a,bR b,cS
Пример. Пусть А = , В = , а C= и пусть отношения R на A x B и S на B x C заданы в виде: R= (1,x),(1,y),(3,x) S= Тогда S R 1,s,1,t,1,c,1,z,3,s,3,t
Заключение
В процессе работы мы узнали, что такое функция, некоторые свойства функций. Так же ознакомились с понятиями: бинарное отношение, обратное отношение, композиция отношений. Наглядные примеры помогли нам лучше усвоить эти понятия.
И напоследок, понятие функции является одним из основных понятий математики вообще. Оно не воз никло сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь диалектического и исторического развития.
Список используемой литературы
1. Евстафьева В.Ю. Математика. Алгебра. Функции. Анализ данных. Москва: "Дрофа", 2000 года.
2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика. Москва: "Проспект", 2003 года.
3.Колмогоров А. Н. Алгебра и начала анализа. Москва: "Просвещение", 1990 года.
4. Максименко В.Н. Математический анализ в примерах и задачах: Часть. 2. Москва: "НГТУ", 2002 года.
5. Никольский С.Н. Курс математического анализа, учебник. Москва: "Физматлит", 2002 года.
Подобные документы
Отношения зависимости. Произвольные пространства зависимости. Транзитивные и конечномерные пространства зависимости. Существование базиса в транзитивном пространстве зависимости. Связь транзитивных отношений зависимости с операторами замыкания. Матроиды.
дипломная работа [263,2 K], добавлен 27.05.2008
Проведение исследования на уроках обобщающего повторения курса математики в контексте ведущего понятия "порядковая структура". Примеры алгебраических и геометрических бинарных отношений. Включение учащихся в исследовательскую и проектную деятельность.
курсовая работа [1,6 M], добавлен 01.12.2014
Типичные примеры рефлексивных бинарных отношений. Понятие множества и его элементов. Операции над множествами: объединение, пересечение и разность. Декартово произведение множеств. Отношения функциональные, эквивалентности, порядка. Отношения степени n.
контрольная работа [163,2 K], добавлен 08.11.2009
Определение корня первого и второго многочлена, вычисление предела функции. Применение правила Лопиталя (предел отношения функций равен пределу отношения их производных). Пример использования замечательного предела, который применяется в виде равенства.
контрольная работа [95,5 K], добавлен 19.03.2015
Определение, типы и примеры отношений, способы их задания; алгебраическая и геометрическая интерпретации. Разбиение на классы и фактор-множество. Смысл отношения эквивалентности. Теорема о равносильности определений. Отношения в школьной математике.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 01.10.2011
Различные трактовки понятия функции в школьном курсе математики. Функция и задание ее аналитическим выражением. Область определения функции и область значений функции. Тесты по теме "Числовые функции. Четные и нечетные функции. Периодические функции".
дипломная работа [213,1 K], добавлен 07.09.2009
Число как одно из основных понятий математики. Виды чисел, абсолютная и переменная величины. Область определения функции, четные и нечетные функции. Построение графиков функций. Пределы последовательности и пределы функции. Непрерывность функции.
Читайте также: