Как сделать объединение множеств

Обновлено: 06.07.2024

Множество — это неупорядоченный набор элементов. Каждый элемент уникален (не имеет дубликатов) и должен быть неизменным (его нельзя изменить). Но само множество можно изменять: добавлять или удалять элементы из него.

set python 3 или как создать множество?

Множество создается размещением с помощью функции set(). При этом элементы экранируются фигурными скобками и разделяются запятыми.

Множество может содержать любое количество элементов. Они могут быть различных типов. Но множество не может содержать изменяемый элемент, такой как список или словарь.

Создать пустое множество сложнее. Пустые фигурные скобки <> создадут пустой словарь Python. Чтобы создать множество без элементов, нужно вызвать функцию set() без аргументов.

Как изменять множества в Python

Множества могут быть изменены. Но элементы в них неупорядоченные, поэтому индексирование не имеет смысла.

Нельзя получить доступ или изменить элемент множества, используя для этого индексацию или срез. Множество их не поддерживает.

Можно добавить один элемент, используя метод add(), несколько — используя метод update(). Он может принимать в качестве аргумента кортежи, списки, строки или другие множества. Во всех случаях дубликаты невозможны.

Результат работы программы:

Как удалить элементы из множества?

Это можно сделать с помощью методов discard() и remove(). Различие между ними состоит в том, что при использовании discard(), если элемент не существует во множестве, оно остается неизменным. А метод remove() выдаст ошибку.

Следующий пример иллюстрирует это.

Точно так же можно удалить и вернуть элемент, используя метод pop(). Но нет способа определить, какой элемент будет извлечен.

Мы также можем удалить все элементы из множества, используя метод clear().

Операции с множествами Python

Множества могут использоваться для выполнения математических операций: объединение, пересечение и симметричная разница.

Рассмотрим следующие два множества:

Объединение множеств

Объединение A и B — это множество всех элементов из обоих множеств.

Объединение осуществляется с помощью оператора |. Эту же операцию можно осуществить с помощью метода union().

Протестируйте следующие примеры:

Пересечение множеств питон (python)

Пересечение A и B – операция получения набора элементов, которые являются общими для обоих множеств.

Пересечение осуществляется с помощью оператора &. Эту же операцию можно произвести с помощью метода intersection().

Протестируйте следующие примеры:

Определение разницы множеств

Разница A и B (A — B) – операция получения множества элементов, которые принадлежат только A, но не принадлежат B. Точно так же, B — A представляет собой множество элементов принадлежащих B , но не принадлежащих А.

Разница определяется с помощью оператора -. или метода difference().

Протестируйте следующие примеры:

Симметричная разница множеств

Симметричная разница A и B — это множество элементов в A и B, за исключением тех, которые являются общими для обоих множеств. Она определяется с помощью оператора ^ или метода symmetric_difference().

Протестируйте следующие примеры:

Методы для работы с множествами в Python

Список всех методов, которые доступны для работы с объектами множеств.

Методы множеств Python
Метод	Описание
add()	Добавляет элемент во множество.
clear()	Удаляет все элементы из множества.
copy()	Возвращает копию множества.
difference()	Возвращает разницу двух или более множеств в качестве нового множества.
difference_update()	Удаляет все элементы другого множества из заданного множества.
discard()	Удаляет элемент из множества, если он содержится в нем.
intersection()	Возвращает пересечение двух множеств в качестве нового множества.
intersection_update()	Обновляет множество пересечением с другим множеством.
isdisjoint()	Возвращает значение True, если два множества имеют нулевое пересечение.
issubset()	Возвращает значение True, если другое множество содержит это множество.
issuperset()	Возвращает значение True, если это множество содержит другое множество.
pop()	Удаляет и возвращает произвольный элемент множество. Выдает KeyError, если множество пусто.
remove()	Удаляет элемент из набора. Если элемент не является членом множества, выдает KeyError.
symmetric_difference()	Возвращает симметричную разницу двух множеств как новое множество.
symmetric_difference_update()	Обновляет множество симметричной разницей между собой и другим множеством.
union()	Возвращает объединение множеств в новом наборе.
update()	Обновляет множество объединением с другим множеством.

Другие операции над множествами

Проверка принадлежности к множеству

Мы можем проверить, существует ли элемент во множестве, используя ключевое слово in.

Итерация множества

Используя цикл for, можно выполнить переборку каждого элемента во множестве.

Встроенные функции с множествами

Встроенные функции, такие как all(), any(), enumerate(), len(), max(), min(), sorted(), sum() , используются с множеством для выполнения различных задач.

Встроенные функции для работы с множествами
Функция	Описание
all()	Возвращает значение True, если все элементы множества являются true (или если множество пусто).
any()	Возвращает значение True, если какой-либо элемент множества является true. Если множество пусто, возвращает значение False.
enumerate()	Возвращает пронумерованный объект. Содержит индекс и значение всех элементов множества в виде пары.
len()	Возвращает длину (количество элементов) множества.
max()	Возвращает наибольший элемент во множестве.
min()	Возвращает наименьший элемент во множестве.
sorted()	Возвращает новый отсортированный список, состоящий из элементов множества (не сортирует само множество).
sum()	Возвращает сумму всех элементов множества.

Python Frozenset

Frozenset — это новый класс, который имеет характеристики множества. Но его элементы не могут быть изменены после назначения. В то время как кортежи представляют собой неизменяемые списки, Frozensets являются неизменяемыми множествами.

Frozenset может быть создан с помощью функции frozenset(). Этот тип данных поддерживает такие методы, как copy(), difference(), intersection(), isdisjoint(), issubset(), issuperset(), symmetric_difference() и union(). Но он не поддерживает методы добавления или удаления элементов.

Протестируйте эти примеры.

Дайте знать, что вы думаете по этой теме материала в комментариях. За комментарии, лайки, отклики, подписки, дизлайки низкий вам поклон!

Пожалуйста, опубликуйте ваши комментарии по текущей теме материала. Мы очень благодарим вас за ваши комментарии, лайки, подписки, дизлайки, отклики!

Множество — это совокупность объединенных по какому-либо признаку объектов любой природы.

Оно может состоять из чисел, букв, прямых, точек, слов и т.д. Эти объекты, которые совокупно образуют данное множество, являются его элементами или точками.

Для обозначения множеств применяют заглавные буквы латинского алфавита. А их элементы обозначают строчными буквами. Например, запись \( x\in K\) означает, что х является элементом множества \(К.\)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Множество называется подмножеством, когда оно возникает не как самостоятельный объект, а когда оно является частью другого множества, и все его элементы также являются элементами другого множества. Записывается как \(А\;\subset\;Б.\)

Если множества А и Б содержат одинаковые элементы, то они равны:

Если множество не содержит в себе ни одного элемента, то оно называется пустым и является подмножеством любого множества. Оно обозначается символом \(Ø.\)

Если пустое множество пересекается с другим, то их общее множество будет так же пустым:

Если множества равны, то всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства, принадлежит и левой, и наоборот.

Основные операции с множествами подразделяются на:

пересечение;
объединение;
вычитание;

Понятие и свойства объединения множеств

Множество С называют объединением (или суммой) множеств А и Б, если его элементы принадлежат хотя бы одному из указанных множеств. То есть в множестве С содержатся элементы как А, так и Б, и любое множество, которое будет обладать этим свойством, будет содержать С.

Объединение С множеств А и Б обозначается таким образом:

Пусть имеется два множества:

Тогда их объединением будет служить множество С = .

Свойства объединений:

Свойства объединения, которые справедливы для любых множеств A, Б и C:

A U Б = Б U A; A U (Б U C) = (A U Б) U C.

\(А\subset А\cup Б\;и\;Б\subset А\cup Б.\)

Кроме того, из включения \(А\subset Б\) следует включение:

\(А\cup С\subset Б\cup С.\)

В частности, любому множеству A соответствует равенство:

Это равенство означает идемпотентность объединения, то есть повторное осуществление операции по отношению к объекту будет давать тот же результат, что и в первый раз.

А также равенство:

Если у множеств А и Б есть общие элементы, то каждый из этих элементов не повторяется в объединении, и входят в него один раз.

Понятие и свойства пересечения множеств

Пересечением множеств А и Б является множество С, включающее в себя элементы, принадлежащие одновременно и А, и Б, то есть элементов, общих для этих множеств.

Пресечение множеств обозначают символом \(∩\) :

Пусть имеется два множества:

A = и Б = ; тогда их пересечением будет являться C = .

Свойства пересечений:

Свойства пересечения, которые справедливы для любых множеств A, B и C:

A ∩ Б = Б ∩ A; A ∩ (Б ∩ C) = (A ∩ Б) ∩ C.

\(А\cap Б\subset А\;и\;А\cap Б\subset Б.\)

Если у множеств А и Б нет общих элементов, то их пересечением является пустое множество, иначе говорят, что они не пересекаются.

Кроме того, из включения \(А\subset Б\) следует включение:

\(А\cap С\subset Б\cap С.\)

В частности, для любого множества A имеет место равенство \( А\cap\varnothing=\varnothing.\)

Также верно равенство \(А\cap А=А.\)

Здесь, как и в объединении, встречается свойство идемпотентности пересечения. Поэтому здесь не говорят о возведении множества в степени в том привычном смысле, какое применимо к степени числа. Этим операция пересечения отличается от операции умножения чисел, что легко доказывается на различных множествах.

Для произвольной совокупности множеств \(А_\alpha\) , где α относится ко всем элементам множества I, \(А_\alpha,\;\alpha\in I\) , пишут в случае объединения:

\(C=\underset<\alpha\in I>\cup A_\alpha=\underset\alpha\cup A_\alpha;\)

в случае пересечения:

Правила нахождения пересечений и объединений, формулы

Если известны мощности каждого множества и их пересечений, то по следующей формуле можно найти мощность объединения:

Вообще \(\left|А_1\cup. \cup А_n\right|\) равно

Она называется формулой включений и исключений.

Чтобы доказать это утверждение зафиксируем произвольное множество К. Его подмножествами являются \(A_1. A_n.\) Функция \(X_x\) является характеристической функцией множества \(X\subset K\) . На элементах Х она равна 1, а на остальных элементах К — равна нулю. Проводимые над подмножествами множества К операции соответствуют операциям с их характеристическими функциями.

В частности, произведение характеристических функций соответствует пересечению множеств:

Если Х является характеристической функцией исходного множества, то дополнению (до К) соответствует функция 1 — Х.

Запишем в виде суммы значений характеристической функции число элементов множества:

Объединение \(A_1\cup. \cup A_n\) представим в виде дополнения к пересечению дополнений множеств \(A_i.\)

Опираясь на термины характеристических функций, получим:

Раскроем скобки в правой части:

Получим формулу включений и исключений, просуммировав правую и левую части по всем элементам К. которые являются функциями на К.

Исследование множеств с помощью координатной прямой

Координатная прямая — прямая линия, содержащая начало отсчета, единичный отрезок и направление.

Для любого натурального числа на координатной прямой можно выбрать соответствующую только ему единственную точку. Каждому числу на данной прямой можно подобрать противоположное число, которое расположено симметрично относительно начала отсчета и отличается от другого только знаком.

Ось Оу образована множеством точек х = 0, поэтому ось Оу является графиком уравнения х — 0.

Ось Ох образована множеством точек у = 0, поэтому ось Ох является графиком уравнения у — 0.

Множество точек у = х образует прямую, которая проходит через начало координат и делит I и III квадранты пополам.

В математике есть важное понятие упорядоченной пары (х, у), которое представлено либо элементами одного и того же множества, либо элементами разных множеств Х и У.

Свойством упорядоченных пар является то, что две упорядоченные пары ( \(x_1, y_1)\) и \( (x_2)\) и \((y_2)\) будут называться равными, когда \( x_1=x_2\ и\ y_1=y_2.\)

Первой компонентой (координатой) пары (х, у) является элемент х, второй компонентой (координатой) той же пары — элемент у.

Понятие упорядоченной пары поваляет ввести дополнительную операцию над множествами — прямое или декартово умножение, имеющее вид:

Декартово произведение между двумя пересекающимися различными прямыми может быть отождествлено с проходящей через эти прямые плоскостью по правилу \(А = (х, у)\) . Это свойство объясняет название умножения и является основой метода координат, который Рене Декартом предложил для решения геометрических задач.

Для определения упорядоченного набора n+1 элементов применяется метод математической индукции:

Отсюда выводится произведение множеств:

\(X_1\times X_2\times. X_=(X_1\times X_2\times. \times X_n)\times X_.\)

Чтобы установить между точками координатной прямой соответствие и между множеством натуральных чисел, на прямой выбирают произвольную точку 0, а затем с помощью единичного отрезка отмечают на ней точки, которым соответствуют натуральные числа.

Отметим точки 1, 2, 3 и укажем относительно точки 0 соответствующие им симметричные точки. Обозначим их через -1, -2, -3. Числа 1 и -1, 2 и -2 и т. д. на координатной прямой расположены симметрично. Эти числа называются противоположными, то есть они отличаются друг от друга только знаком, а на координатной прямой расположены относительно точки отсчета на одинаковом расстоянии.

Соответственно, чем правее число расположено на координатной прямой, тем оно больше.

Отсюда следует:

всякое отрицательное число меньше числа, которое является положительным и больше нуля;
всякое отрицательное число всегда меньше нуля;
из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше, и наоборот. Например, -4,8 > -6,2, так как|-4,8| \([a; b] = \) — замкнутый промежуток (или отрезок) с началом а и концом b.
\((a; b) =
\((a;\;b\rbrack=\
\((a;\;+\infty\rbrack=\;\;\lbrack-\infty;\;b)\;=\;\\) — лучи.
\((a;\;+\infty)=\a\>;\;(-\infty;\;b)\;=\;\
\((-\infty;\;+\infty)\;=R\) — числовая прямая.

Как определить пересечение и объединение при помощи изображений числовых множеств

Взаимоотношения и операции между множествами можно наглядно проиллюстрировать, применяя диаграммы Эйлера-Венна. Множества в этих диаграммах чаще всего изображаются в виде кругов и их внутренностями, а в виде прямоугольника изображено универсальное множество U.

В диаграммах Эйлера-Венна имеет значение взаимное расположение, а не их относительный размер.

Изображение пересечения

Рисунки демонстрируют диаграммы Эйлера-Венна, описывающие два множества A и B в случаях, когда \(A\cap B\neq\varnothing\;и\;A\subset B\) , соответственно. Множеству \(A\cap B\) на этих рисунках соответствуют части диаграмм со штриховкой.

Рисунок правее демонстрирует что, если A подмножество множества B, \( A\subset B,\;то\;A\cap B=A\) , поскольку все элементы множества A будут общими для множеств A и B.

Изображение объединения

На рисунке представлены диаграммы Эйлера-Венна для двух множеств A и B в случаях, когда \(A\cap B\neq\varnothing,\;A\subset B\) . Часть диаграммы со штрихами соответствует множеству \(A\cup B.\)

Рисунок демонстрирует, что если A подмножество множества B, т.е.

\(A\subset B,\;то\;A\cup B=B, \)

то раз включать элементы множества А в объединение не требуется, поскольку его элементы принадлежат и множеству B.

Основные законы операций объединения и пересечения множеств

Закон коммутативности

\(A\cup B=B\cup A,\;A\cap B=B\cap A.\)

Коммутативный закон показывает, что изменение порядка множеств в указанных операциях не влияет на их итог. Действительно, множества \(A\cup B\;и\;B\cup A\;\) состоят из элементов, которые относятся хотя бы к одному из множеств A или B, и не содержат никаких других элементов. А множества \(A\cap B\;и\;B\cap A\) включают в себя все элементы, относящиеся к каждому из множеств A и B.

Закон ассоциативности

\(A\cup(B\cup C)=(A\cup B)\cup C,\;A\cap(B\cap C)=(A\cap B)\cap C.\)

Ассоциативность указанных операций позволяет опускать фиксацию посредством скобок порядка проведения операций. Действительно, множества \(A\cup(B\cup C)\;и\;(A\cup B)\cup C\) состоят из всех элементов, входящих хотя бы в одно из множеств A, B и C и не содержат никаких других элементов, а множества \(A\cap(B\cap C)\;и\;(A\cap B)\cap C\) состоят только из общих элементов множеств A, B и C. Заметим, что по закону ассоциативности конечный результат не зависит от порядка действий. Но промежуточные результаты — зависят.

Закон дистрибутивности

\(A\cup(B\cap C)=(A\cup B)\cap(A\cup C),\;A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).\)

В числовом случае дистрибутивность умножения относительно сложения позволяет осуществлять вынос общего множителя за скобку и проводить раскрытие скобок. В случае множеств это так же справедливо, при этом соотношений такого рода больше.

В этом уроке мы сформируем представления о множествах. Введем понятия множества, элементов множества. Узнаем, какие бывают типы множеств. Научимся находить объединение и пересечение множеств.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Пересечение и объединение множеств"

Понятие множества является одним из основных понятий математики. Оно не определяется через другие, уже известные понятия. Его смысл раскрывается лишь путём описания.

Например, множество знаков зодиака, множество животных, множество деревьев, множество точек на прямой, множество треугольников на плоскости и т.д. .

Определение:

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Например, множество времён года состоит из элементов: зима, весна, лето и осень. А множество дней недели из элементов: понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота и воскресенье.

Так, в алгебре выделяют следующие множества, которые вам уже знакомы: это множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел, множество действительных чисел.

Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита:

А его элементы – строчными:

Если – элемент множества А, то записывают так: .

Если не является элементом множества А, то записывают так: .

Множество, не имеющее ни одного элемента, называют пустым множеством.

Примером, пустого множества может служить множество всех точек пересечения двух параллельных прямых. Понятно, что две параллельные прямые никогда не пересекутся и, следовательно, точек пересечения они не имеют вовсе.

Существует два типа множеств – конечные и бесконечные.

Пусть есть некоторые два множества А и В.

Пусть два множества А и В.

И пусть каждый элемент множества В является элементом множества А.

Тогда множество В является подмножеством множества А.

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество С является пересечением множеств А и В.

Сделаем вывод: пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Соотношение между множествами А, В и С можно изобразить с помощью специальных схем, которые называются кругами Эйлера. Смотрите, фигура, получившаяся при пересечении кругов (множества А и множества В), изображает множество С.

Пересечение множеств можно использовать тогда, когда надо найти элементы, которые удовлетворяют нескольким условиям.

Замечание: если два множества не имеют общих элементов, то пересечением этих множеств является пустое множество.

Напомним, что пустое множество принято обозначать таким знаком

Например:

Теперь рассмотрим объединение множеств.

Пусть А – множество натуральных делителей числа 24.

В – множество натуральных делителей числа 36.

Говорят, что множество D является объединением множеств А и В.

Сделаем вывод: объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Замечание: если элемент входит в оба множества, то в объединённое он входит один раз.

Задание: даны множества А и В, причём А – множество чётных чисел не превосходящих 15, а В – множество двузначных чисел не превосходящих 20. Задайте множества А и В перечислением элементов и найдите их пересечение и объединение.

Решение:

Задание: на экране изображены два отрезка АВ и CD. Какая фигура является: пересечением этих отрезков, объединением этих отрезков?

Решение:

Множество это совокупность некоторых объектов, объединённых по какому-нибудь общему признаку, свойству.

Предметы, которые составляют определённое множество, называют его элементами.

Пересечением двух множеств называют множество, состоящее из всех общих элементов этих множеств.

Объединением двух множеств называют множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из этих множеств.

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Лекция 4. Объединение множеств. Свойства объединения множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

Объединение множеств А и В обозначают А ∪ В. Таким образом, по определению, А ∪ В = < х | х ∈ А или х ∈ В>.

Если изобразить А и В при помощи кругов Эйлера-Венна, то объединением данных множеств является заштрихованная область (рис. 4).

Для объединения множеств выполняются следующие свойства.

1) Переместительное или коммутативное свойство: А ∪ В = В ∪ А.

2) Сочетательное или ассоциативное свойство:(А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С).

3) А ∪ ∅ = А (пустое множество является нейтральным элементом).

4) А ∪ U = U (универсальное множество является поглощающим элементом).

5) Если В ⊂ А, то А ∪ В = В

Операции объединения и пересечения множеств связаны законами дистрибутивности или иначе распределительными свойствами:

(А ∪ В) ∩С = (А∩С) ∪ (В∩С) и (А∩В) ∪ С = (А ∪ С) ∩(В ∪ С).

Р е ш е н и е. Запишем множества А и В, перечислив их элементы: А = < м, а, т, е, и, к >, В = < с, т, е, р, о, м, и, я >. Буквы м, т, е, и принадлежат и множеству А, и множеству В, поэтому они войдут в пересечение этих множеств: А∩В = < м, т, е, и >. В объединение этих множеств войдут все элементы множества А и несовпадающие с ними элементы из множества В: А ∪ В = < м, а, т, е, и, к, с, р, о, я >.

П р и м е р 2 . В классе английский язык изучают 25 человек, а немецкий – 27 человек, причем 18 человек изучают одновременно английский и немецкий языки. Сколько всего человек в классе изучают эти иностранные языки? Сколько человек изучают только английский язык? Только немецкий язык?

Р е ш е н и е. Через А обозначим множество школьников, изучающих английский язык, через В – множество школьников, изучающих немецкий язык. Изобразим эту ситуацию с помощью диаграммы. Два языка изучают 18 школьников, поставим это число в пересечение множеств А и В. Английский язык изучают 25 человек, но среди них 18 человек изучают и немецкий язык, значит, только английский язык изучают 7 человек, укажем это число на диаграмме. Рассуждая аналогично, получим, что только немецкий язык изучают 27 – 18 = 9 человек. Поместим и это число на диаграмму. Теперь известно количество элементов в каждой части множеств, изображенных на диаграмме. Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно сложить все числа: 7 + 18 + 9 = 34. Ответ: 34 человека в классе изучают иностранные языки.

Задания для самостоятельной работы по теме:

1.Найдите объединение множеств А и В, если:

3. М - множество однозначных чисел, Р - множество нечетных натуральных чисел. Из каких чисел состоит объединение данных множеств? Содержатся ли в нем числа -7 и 9?

4 . Используя координатную прямую, найдите объединение множеств решений неравенств, в которых х - действительное число:

Читайте также: