Как сделать нормальное уравнение прямой

Обновлено: 05.07.2024

В данном материале рассмотрим, что такое уравнение прямой. Проанализируем каждый вид данного уравнения. Изучим основные формулы и графики. Применим весь рассмотренный материал на практике, в виде решения задач и уравнений.

Данное уравнение - характеризуется, как уравнение двух переменных значений.

Значения в математики, чаще всего обозначают буквами x и y. Это самое распространенное обозначение, однако можно встретить и другие буквенные обозначения. Например: z, n и другие значения.

Определение прямой линии- фигура, состоящая из множества простых точек. Каждая точка, имеет собственные, определенные координаты, относительно осей абсцисс и ординат.

Уравнение прямой на плоскости - уравнение, характеризующее взаимосвязь координатных значений точек на прямой.

Для решения уравнений необходимо помнить ряд важным математических функций, правил, значений.

Все их мы будем рассматривать подробно в каждом разделе на примерах решения.

Общее уравнение прямой линии системы координат

Рассмотрим соответствующую теорему, которая отражает уравнение прямой на плоскости в системе координат Oxy.

Подробно исследуем следующее уравнение: ax+by+c=0.

Значения х и y, являются переменными данными со значениями.

a и b - действительные простые числа. Обязательное условие, которых неравенство нулю.

Следовательно, прямая линия задается вышеупомянутым уравнением данного вида: ax+by+c=0.

Рассмотрим на примере изученную теорему:

На данном рисунке, мы рассмотрим красную линию и запишем уравнение для нее.

Координаты на данной прямой удовлетворяют составленному уравнению.

Уравнение может быть также полным и неполным. Рассмотрим случаи:

Все действительные числа, имеют любое значение, но не равные нулю. Поэтому такое определение относится к данному типу уравнений.

Все числа в уравнении имеют любое значение. Характерно, также значения отрицательных знаков.

Уравнение прямой в отрезках прямой

Для отрезков уравнение будет иметь следующей вид:

Данные в знаменателе, являются действительными значениями, не равными нулевому значению. Величины действительных данных равняются отрезку. Он отсоединяется линией на оси координат. Протяженность начинает свой отсчет от начала координатной прямой.

Пример:

Нужно начертить прямую линию, которая задается формулой.

Обозначим на графике две точки ( 3 ; 0 ) , (0; \[-\frac\]). Далее необходимо их соединить между собой.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Записываем уравнение вида: \[\mathrm=\mathrm \cdot x+b\];

x - значение, которое принимается, как переменное;

к - простое действительное число, является показателем углового коэффициента;

b - действительное число.

Угол наклона на плоскости в системе координат - угол, который берет свой отсчет значений от направления с положительным знаком до прямой, которая направлена против хода часовой стрелки.

Угол будут считать нулевым, если прямая линии, имеют параллельное расположение относительно оси абсцисс либо совпадает с ней по расположению. Угол принимает значения, согласно интервалу (0, \[\pi\]).

Угловой коэффициент - значение тангенса угла наклона этой же прямой линии.

В случае, когда прямая линия параллельная другой оси, ординат, то принято считать, что угловой коэффициент не определяется. И соответствует интервалу бесконечности.

График функции будет возрастать, если значение коэффициента имеет положительное значение. Следовательно, убывание будет наблюдаться в противоположном значение, а именно с отрицательным значением.

На графиках показаны значения угловых коэффициентов и угол наклона. Когда есть разное расположение относительно осей.

На примерах рассмотрим нахождение углового коэффициента. Для этого из прошлых тем, вспомним определение тангенса и его вычисление.

Пример №1:

Угол наклона прямой равен 120 градусов, относительно оси ох.

Нам нужно определить угловой коэффициент.

Применим известные нам формулы и подставим данные.

Следовательно правильный ответ задачи будет равняться \[k=-\sqrt\]

Пример №2:

В этом примере нам уже известно значение углового коэффициента.

Нужно определить угол наклона, относительно прямой. Для этого, нужно обязательно учитывать знак известного коэффициента. Если к>0, следует что угол будет острый и определяться как \[\alpha=\operatorname k\].

Когда к

Важные моменты, которые следует помнить, при решении задач с каноническим уравнением.

Отметим следующие важные факты:

• если вектор является прямым и прямая линия проходит через точку, то ее уравнение имеет вид : \[\frac>>=\frac>>\]
• когда вектор прямой по направлению, то любой из векторов может быть направляющим вектором прямой. И уравнение записывается следующим образом: \[\frac><\mu \cdot \alpha_>=\frac><\mu \cdot \alpha_>\]

Пример №1:

Прямая в системе координат проходит через точки (2;-4) и вектор направляющий равен (1;-3). Составьте и напишите каноническое уравнение, применяя известные нам данные.

Следовательно уравнение записывается следующим образом: \[\frac>>=\frac>> \Leftrightarrow \frac=\frac \Leftrightarrow \frac=\frac\]

Пример №2:

Составить каноническое уравнение, проходящее через точки \[\sqrt[3] ; \quad-\frac\]

Прямая является параллельной относительно оси координат. Направляющий вектор принимается \[\underline=(0 ; 1)\]. Учитывая значение точек, через которые проходит прямая, записываем уравнение:

Пример №3:

Составим уравнение, руководствуясь графиком, приведенным ниже.

Из рисунка видно, что прямая проходит через точки со значениями (0;3). Расположена параллельно относительно оси x (ось абсцисс). Координатный вектор \[\underline=(1,0)\] - направляющий вектор, для данной системы.

Прямая является одним из фундаментальных понятий геометрии.

Свойства прямой в евклидовой геометрии

1) через любую точку можно провести бесконечно много прямых;

2) через любые две несовпадающие точки можно провести единственную прямую;

3) две несовпадающие прямые на плоскости либо пересекаются в единственной точке, либо являются параллельными;

4) в трёхмерном пространстве существуют три варианта взаимного расположения двух прямых: прямые пересекаются; прямые параллельны; прямые скрещиваются.

Общее уравнение прямой

Здесь и — произвольные постоянные, причём коэффициенты и не равны нулю одновременно.

Например. .

Например. .

Например. .

Например. .

прямой называется вектор, который ей перпендикулярен.

Для прямой (1), заданной общим уравнением, нормальный вектор имеет координаты

Уравнение прямой по точке и нормальному вектору

и имеет нормальный вектор (2), то ее уравнение имеет вид:

Задание	Записать уравнение прямой, проходящей через точку , с нормальным вектором .
Решение	Согласно формуле, имеем, что искомое уравнение

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Уравнение прямой, пересекающей ось в точке и образующей угол с положительным направлением оси абсцисс, имеет вид:

называется угловым коэффициентом прямой.

и ее угловой коэффициент равен , то ее уравнение имеет вид:

В виде (3) невозможно представить прямую, параллельную оси ординат. Иногда в таком случае формально считают, что угловой коэффициент такой прямой равен бесконечности.

Уравнение прямой в отрезках на осях

Если прямая пересекает ось в точке , а ось ординат — в точке , то ее уравнение

Задание	Прямая задана общим уравнением . Привести его к уравнению в отрезках на осях.
Решение	Перенесем вначале свободный коэффициент в правую часть равенства:

Делим левую и правую части последнего равенства на 6:

Нормальное уравнение прямой

где — длина перпендикуляра, опущенного на прямую из начала координат, — угол между положительным направлением оси и направлением этого перпендикуляра.

Если , то прямая проходит через начало координат.

Уравнение прямой, проходящей через две заданные несовпадающие точки

Если прямая проходит через две точки ;\; y_ \right)" width="62" height="18" />
и ;\; y_ \right)" width="62" height="18" />
, то она задается уравнением

Уравнение (4) называется еще каноническим уравнением прямой.

Уравнение прямой по точке и направляющему вектору

, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Если прямая проходит через точку ;\; y_ \right)" width="87" height="18" />
в направлении вектора =\left(m;\; n\right)" width="85" height="20" />
, то ее уравнение

Параметрические уравнения прямой

Здесь — координаты направляющего вектора " width="9" height="16" />
, ,\; y_" width="48" height="12" />
— координаты точки (абсцисса и ордината соответственно), через которую проходит прямая, — параметр.

Задание	Известно, что прямая проходит через точки и . Записать ее параметрические уравнения.
Решение	Вначале запишем уравнение прямой (4), проходящей через две заданные точки:

Приравниванием последние отношения к :

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ax + By + C = 0. Здесь A и B постоянные и не равны нулю одновременно. Такое уравнение первого порядка всегда называют общим уравнением прямой.

Уравнение прямой – виды уравнения прямой: проходящее через точку, общее, каноническое, параметрическое и т.д. обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор

Рассмотрим уравнение прямой проходящей через точку и нормальный вектор. Пусть в системе координат задана точка и ненулевой вектор (рис. 1).

Как видим, существует единственная прямая , что проходит через точку перпендикулярно направлению вектора (в этом случае называют нормальным вектором прямой ).

Докажем, что линейное уравнение

это уравнение прямой , то есть координаты каждой точки прямой удовлетворяют уравнение (1), но координаты точки, что не лежит на , уравнения (1) не удовлетворяют.

Для доказательства, обратим внимание, что скалярное произведение векторов и = в координатной форме совпадает с левой частью уравнения (1).

Дальше используем очевидное свойство прямой : векторы и перпендикулярны тогда, и только тогда, когда точка лежит на . А при условии перпендикулярности обоих векторов их скалярное произведение (2) превращается в для всех точек , что лежат на , и только для них. Значит, (1) – уравнение прямой .

Уравнение (1) называется уравнением прямой, что проходит через данную точку с нормальным вектором = .

Нужна помощь в написании работы?

Написание учебной работы за 1 день от 100 рублей. Посмотрите отзывы наших клиентов и узнайте стоимость вашей работы.

Общее уравнение прямой

Превратим уравнение (1)

– общее уравнение прямой.

Таким образом, прямой линии отвечает линейное уравнение вида (3). Наоборот, за данным уравнением вида (3), где хотя бы один из коэффициентов и не равен нулю, можно построить прямую.

Действительно, пусть пара чисел удовлетворяют уравнение (3), то есть

Отнимая последнее от (3), получим соотношение , которое определяет прямую за вектором и точкой .

Исследование общего уравнения прямой

Полезно знать особенности размещения прямой в отдельных случаях, когда одно либо два из чисел равны нулю.

1. Общее уравнение выглядит так: . Ему удовлетворяет точка , значит, прямая проходит через начало координат. Его можно записать: = – x (см. рис. 2).

Если положить , тогда , получается ещё одна точка (см. рис. 2).

2. , тогда уравнение выглядит так , где = –. Нормальный вектор лежит на оси , прямая . Таким образом, прямая перпендикулярна в точке , либо же параллельна оси (см. рис. 3). В частности, если и , тогда и уравнение – это уравнение оси ординат.

3. Аналогично, при уравнение записывается , где . Вектор принадлежит оси . Прямая в точке (рис. 4) .

Если же , тогда уравнение оси .

Исследование можно сформулировать в такой форме: прямая параллельна той координатной оси, смена которой в общем уравнении прямой отсутствует.

1. прямая , слагаемое с отсутствует, поэтому .

Уравнение прямой в отрезках

Построим прямую по общему уравнению при условии, что – не равны нулю. Для этого достаточно найти две точки, что лежат на этой прямой. Такие точки иногда удобнее находить на координатных осях.

Обозначим – = , – = . Найдены точки и . Отложим на осях и и через них проведём прямую (см. рис. 5).

От общего можно перейти к уравнению, в которое будут входить числа и :

И тогда получается:

Либо, согласно обозначению, получим уравнение,

Которое называется уравнением прямой в отрезках. Числа и с точностью к знаку равняются отрезкам, которые отсекаются прямой на координатных осях.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом

Чтобы узнать, что такое уравнение прямой с угловым коэффициентом, рассмотрим уравнение (1):

уравнение прямой, которая проходит через точку в заданном направлении. Геометрическое содержание коэффициента понятно из рис. 6.

В = = , где – наименьший угол, на который нужно повернуть положительное направление оси вокруг общей точки до совмещения её с прямой . Очевидно, что если угол – острый, тогда ; если же – тупой угол, тогда .

Раскроем скобки в (5) и упростим его:

где . Соотношение (6) – уравнение прямой с угловым коэффициентом. При , – отрезок, который отсекает прямую на оси (см. рис. 6).

Для перехода от общего уравнения прямой к уравнению с угловым коэффициентом необходимо сначала решить относительно .

где обозначено = –, = –. Если же , тогда из исследования общего уравнения уже известно, что такая прямая перпендикулярна оси .

Каноническое уравнение прямой

Рассмотрим каноническое уравнение прямой при помощи примера.

Пусть в системе координат задана точка и ненулевой вектор (рис. 7).

Необходимо составить уравнение прямой, что проходит через точку параллельно вектору , который называется направляющим вектором. Произвольная точка принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда . Так как вектор – задан, а вектор , тогда согласно условию параллельности, координаты этих векторов пропорциональны, то есть:

Соотношение (7) называется уравнением прямой, которая проходит через заданную точку в заданном направлении или каноническом уравнением прямой.

Обратим внимание, что к уравнению вида (7) можно перейти, например, от уравнения пучка прямых (4)

или от уравнения прямой через точку и нормальный вектор (1):

Выше предполагалось, что направляющий вектор – ненулевой, но может так случиться, что одна из его координат, например, . Тогда выражение (7) формально запишется:

который, вообще не имеет смысла. Однако, принимают и получают уравнение прямой перпендикулярной оси . Действительно, из уравнения видно, что прямая определена точкой и направляющим вектором , перпендикулярным оси . Если в этом уравнении освободиться от знаменателя, тогда получим:

. , либо – уравнение прямой, перпендикулярной оси . Аналогично было бы получено для вектора .

Параметрическое уравнение прямой

Чтобы понять, что такое параметрическое уравнение прямой, необходимо вернуться к уравнению (7) и приравнять каждую дробь (7) до параметра . Так как хотя бы один из знаменателей в (7) не равен нулю, а соответствующий числитель может приобретать произвольные значения, тогда область смены параметра – вся числовая ось.

Примеры задач на прямую линию

Конечно же, сложно что-либо решить исключительно по определениям, ведь нужно решить самостоятельно хотя бы несколько примеров или задач, которые помогут закрепить пройденный материал. Поэтому, давайте разберём основные задачи на прямую линию, так как похожие задачи часто попадаются на экзаменах и зачётах.

Каноническое и параметрическое уравнение

На прямой линии заданной уравнением , найти точку , которые находятся от точки этой прямой на расстоянии 10 единиц.

Решение:

Пусть искомая точка прямой, тогда для расстояния запишем . При условии . Так как точка принадлежит прямой , у которой есть нормальный вектор , тогда уравнение прямой можно записать: = = и далее получается:

Тогда расстояние . При условии , или . Из параметрического уравнения:

Задача

Точка движется равномерно со скоростью по направлению вектора от начальной точки . Найти координаты точки через от начала движения.

Решение

Сначала нужно найти единичный вектор . Его координаты – это направляющие косинусы:

Тогда вектор скорости:

Каноническое уравнение прямой теперь запишется:

= = , = – параметрическое уравнение. После этого нужно воспользоваться параметрическим уравнением прямой при .

Ответ

Угол между двумя прямыми

В равнобедренном прямоугольном треугольнике известна вершина прямого угла и уравнение гипотенузы . Составить уравнение катетов.

Решение:

Уравнение прямой, которая проходит через точку находим по формуле пучка прямых , где угловой коэффициент для прямой и = для прямой .

При условии , , поэтому и находим по формуле :

Учитывая рисунок, где видно, что между прямыми и – два угла: один острый , а второй – тупой . Согласно формуле (9) – это тот угол между прямыми и , на который нужно повернуть прямую против часовой стрелки относительно их точки пересечения до совмещения её с прямой .

Итак, формулу вспомнили, с углами разобрались и теперь можно вернуться к нашему примеру. Значит, учитывая формулу (9) находим сначала и уравнения катета .

Так как поворот прямой на угол против часовой стрелки относительно точки приводит к совмещению с прямой , тогда в формуле (9) , а . Из уравнения :

По формуле пучка уравнения прямой запишется:

Аналогично находим , а ,

Уравнение прямой – виды уравнения прямой: проходящее через точку, общее, каноническое, параметрическое и т.д. обновлено: 16 апреля, 2020 автором: Научные Статьи.Ру

Читайте также:

  
• Как сделать полиспаст для вытаскивания техники
  
• Как сделать суп из ботвы свеклы
  
• Как сделать стеклоподъемник на автомате
  
• Как сделать инженерное меню
  
• Как сделать сервер торрент