Как сделать нормализованную экспоненциальную запись числа

Обновлено: 07.07.2024

В компьютерной технике вещественными называются числа, имеющие дробную часть.

Дробные числа могут содержать большой набор цифр. Например: 0.0000345 или 10900000 (т.е очень большие или очень маленькие числа). Для удобства вещественные числа приводят к виду так называемого нормализованного представления числа. Заключается такое представление в том, что число записывается в виде произведения на основание системы счисления, возведенное в ту или иную степень. Например, предыдущие два числа в нормализованном виде будут выглядеть так: 0.345 * 10 -4 и 0.109 * 10 8 . Здесь числа 0.345 и 0.109 – мантиссы вещественных чисел, 10 – основание системы счисления, а -4 и 8 – порядки. При этом запятая (точка), разделяющая дробную и целую части ставится перед первой значащей цифрой (отличной от 0).

Нормализованная форма числа является наиболее удобной для представления дробных чисел в компьютере.

Понятно, что нормализированное представление используется не только для десятичной системы счисления. Вот примеры нормализованных записей дробных чисел в двоичной системе счисления:

101.11 = 0.10111 * 2 11
0.001 = 0.1 * 2 -10

Здесь степени 11 и 10 – это двоичная форма десятичных чисел 3 и 2.

Нормализованная форма представления числа – это одна из форм множества вариантов экспоненциальной формы записи числа.

Пусть слово состоит из 2 байт, два слова – это 4 байта или 32 бита.

Нормализированное число одинарной точности, представленное в формате с плавающей точкой, записывается в память следующим образом: знак числа – в бите 15 первого слова (0 – для положительных и 1 – для отрицательных чисел); порядок размещается в битах 7-14 первого слова, а мантисса занимает остальные 23 бита в двух словах (с 0 по 6 бит первого слова и все биты второго слова). Нормализированное число двойной точности записывается в четыре слова памяти и отличается от представления чисел с одинарной точностью только тем, что продолжение мантиссы размещается в следующих за первым словом трех последовательных словах памяти, а всего под мантиссу в этом случае отводится 55 бит.

Порядок числа, представленного в формате с плавающей точкой, изменяется в диапазоне от -128 до +127 и запоминается увеличенным на 128. Такой способ представления порядка называется смещенным.

Следует иметь в виду, что, хотя для мантиссы отведено 23 разряда для чисел одинарной точности и 55 разрядов – для чисел двойной точности, в операциях участвует 24 и 56 разрядов соответственно, т.к. старший разряд мантиссы нормализированного числа не хранится, т.е. имеет место так называемый скрытый разряд. Однако при аппаратном выполнении операций этот разряд автоматически восстанавливается и учитывается. Порядок числа также учитывает скрытый старший разряд мантиссы.

Нормализованная мантисса в двоичной системе счисления всегда представляется десятичным числом m , лежащим в диапазоне 0,5 .

Пример представления числа в формате с плавающей точкой:

Если мантисса представлена бесконечной периодической дробью, то последний учитываемый разряд мантиссы округляется.

Арифметические операции с числами, представленными в формате с плавающей точкой, намного сложнее таких же операций для чисел, представленных в формате с фиксированной точкой. Но зато плавающая точка позволяет производить операции масштабирования автоматически в самой машине и избавляет от накопления абсолютной погрешности при вычислениях (хотя не избавляет от накопления относительной погрешности).

wikiHow работает по принципу вики, а это значит, что многие наши статьи написаны несколькими авторами. При создании этой статьи над ее редактированием и улучшением работали, в том числе анонимно, 15 человек(а).

Экспоненциальный формат часто используется в химии и физике для представления очень больших или очень маленьких чисел. Переводить числа в экспоненциальный формат и обратно совсем не так сложно, как кажется, надо только следовать изложенным ниже инструкциям.

Начните с очень большого или очень малого числа. Вам следует взять очень большое или очень малое число, если вы хотите перевести его в экспоненциальный формат. Например, число 10,090,250,000,000 очень велико, а 0,00004205 очень мало.

Пометьте крестиком десятичную запятую. Это первый шаг к переводу числа в экспоненциальный формат. Если вы работаете с числом 0,00004205, то просто пометьте запятую крестиком.

Большие числа тоже можно менять подобным образом. При этом, например, 10,090,250,000,000 превратится 1,0090250000000.

Например, в числе 1,0090250000000 нули в конце не имеют значения, но нули между 1 и 9, а также между 9 и 2 считаются значимыми. Перепишите это число в виде 1,009025.
В числе 000004,205 нули в начале не имеют значения. Перепишите его в виде 4,205.

Сосчитайте, сколько раз вы передвинули десятичную запятую. Переводя 0,00004205 в 4,205, вы передвинули запятую пять раз. Переводя 10,090,250,000,000 в 1,0090250000000, вы передвинули запятую 13 раз.

Запишите это число в виде экспонента над числом 10. Например, для 1,0090250000000 добавьте х 10 13 . Для 4, 25 добавьте х 10 5

Например, очень большое число 10,090,250,000,000 будет выглядеть как 1,009025 х 10 13 , а очень маленькое число 0,00004205 превратится в 4,205 х 10 -5 .

Округлите номер насколько возможно. Все зависит от того, насколько точный от вас требуется ответ. Например, 1,009025 х 10 13 можно округлить до 1,009 х 10 13 или даже до 1,01 х 10 13 в зависимости от того, насколько точным должен быть ответ.

Поймите, направо или налево вам нужно будет передвигать десятичную запятую. Если экспонент положительный, то вам следует передвигать десятичную запятую направо, а если отрицательный, то налево.

Запишите, на какое количество мест вам нужно передвинуть десятичную запятую. В числе 5,2081 х10 12 , например, вам надо будет передвинуть десятичную запятую на 12 цифр направо. Если экспонент будет равен -7, надо будет передвинуть ее на семь цифр налево, а если он равен пяти, то на пять цифр направо.

Передвиньте десятичную запятую, заполняя нулями все пустые места. Вам может понадобиться добавить их до или после числа в зависимости от того, налево или направо вы двигаете десятичную запятую. Если вы передвинете ее на 12 знаков вправо при исходном числе 5,2081, то у вас получится новое число 5208100000000.

Добавьте запятые к любому числу выше 999. Пройдите через все цифры справа налево, добавляя запятую перед каждой группой из трех цифр. Например, 5208100000000 станет при этом 5,208,100,000,000.

Дополнительные статьи

Об этой статье

Была ли эта статья полезной?

Куки помогают сделать WikiHow лучше. Продолжая использовать наш сайт, вы соглашаетесь с нашими куки правилами.

Нормализованная запись отличного от нуля действительного числа - это запись вида a= m*P q , где q - целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m - правильная P-ичная дробь, у которой первая цифра после запятой не равна нулю, то есть . При этом m называется мантиссой числа, q - порядком числа.

1. 3,1415926 = 0, 31415926 * 10 1 ;

3. 0,123456789 = 0,123456789 * 10 0 ;

4. 0,0000107₈ = 0,1078 * 8 -4 ; (порядок записан в 10-й системе)

5. 1000,0001₂ = 0, 100000012 * 2 4 .

Так как число ноль не может быть записано в нормализованной форме в том виде, в каком она была определена, то считаем, что нормализованная запись нуля в 10-й системе будет такой:
0 = 0,0 * 10 0 .

Нормализованная экспоненциальная запись числа - это запись вида a= m*P q , где q - целое число (положительное, отрицательное или ноль), а m - P-ичная дробь, у которой целая часть состоит из одной цифры. При этом (m-целая часть) называется мантиссойчисла, q - порядком числа.

Пример №1 . Представить число 133,54 в форме числа с плавающей точкой.
Решение. Представим число 133.54 в нормализованном экспоненциальном виде:
1.3354*10 2 = 1.3354*exp₁₀ 2
Число 1.3354*exp₁₀ 2 состоит из двух частей: мантиссы M=1.3354 и экспоненты exp₁₀=2
Если мантисса находится в диапазоне 1 ≤ M 3

Пример №2 . Представить двоичное число 101.10₂ в нормализованном виде, записать в 32-битом стандарте IEEE754.
Решение.
Представление двоичного числа с плавающей точкой в экспоненциальном нормализованном виде.
Сдвинем число на 2 разрядов вправо. В результате мы получили основные составляющие экспоненциального нормализованного двоичного числа:
Мантисса M=1.011
Экспонента exp₂=2
Преобразование двоичного нормализованного числа в 32 битный формат IEEE 754.
Первый бит отводится для обозначения знака числа. Поскольку число положительное, то первый бит равен 0
Следующие 8 бит (с 2-го по 9-й) отведены под экспоненту.
Для определения знака экспоненты, чтобы не вводить ещё один бит знака, добавляют смещение к экспоненте в половину байта +127. Таким образом, наша экспонента: 2 + 127 = 129
Переведем экспоненту в двоичное представление.
Оставшиеся 23 бита отводят для мантиссы. У нормализованной двоичной мантиссы первый бит всегда равен 1, так как число лежит в диапазоне 1 ≤ M 22 *0 + 2 21 *1 + 2 20 *1 + 2 19 *0 + 2 18 *0 + 2 17 *0 + 2 16 *0 + 2 15 *0 + 2 14 *0 + 2 13 *0 + 2 12 *0 + 2 11 *0 + 2 10 *0 + 2 9 *0 + 2 8 *0 + 2 7 *0 + 2 6 *0 + 2 5 *0 + 2 4 *0 + 2 3 *0 + 2 2 *0 + 2 1 *0 + 2 0 *0 = 0 + 2097152 + 1048576 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 3145728
В десятичном коде мантисса выражается числом 3145728
В результате число 101.10 представленное в IEEE 754 c одинарной точностью равно 01000000101100000000000000000000.
Переведем в шестнадцатеричное представление.
Разделим исходный код на группы по 4 разряда.
01000000101100000000000000000000₂ = 0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 ₂
Получаем число:
0100 0000 1011 0000 0000 0000 0000 0000 ₂ = 40B00000₁₆

Читайте также: