Как сделать несократимую дробь
Добавил пользователь Валентин П. Обновлено: 05.10.2024
Онлайн-калькулятор сокращения дробей позволит сократить любые дроби — правильные и неправильные, смешанные и простые. Просто введите целую часть дроби (если она есть), ее числитель и знаменатель и нажмите кнопу Сократить. Калькулятор не просто сократит дробь, но и покажет подробное решение. Если дробь отрицательная, то поставьте у целой части знак минус. Если в ответе вы получаете ту же дробь, значит введенная вами дробь является несократимой.
Сократить дробь — значит поделить ее числитель и знаменатель на наибольший общий делитель (НОД). Полученная в результате дробь называется несократимой.
Калькулятор для сокращения дробей
Примеры сокращения дробей
1. Сократите дробь \dfrac
Найдем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби. НОД(4980, 7450) = 10. Значит, мы можем сократить и числитель и знаменатель дроби на 10 и получить результат — сокращенную дробь.
2. Сократите дробь \dfrac
Поступим аналогичным образом. НОД(3, 12) = 3. Делим числитель и знаменатель дроби на 3 и получаем:
3. Сократите дробь \dfrac
Найдем НОД(36, 84) = 12. Представим числитель и знаменатель как произведение множителей и сократим:
В этой статье мы подробно разберем, как проводится сокращение дробей. Сначала обговорим, что называют сокращением дроби. После этого поговорим о приведении сократимой дроби к несократимому виду. Дальше получим правило сокращения дробей и, наконец, рассмотрим примеры применения этого правила.
Навигация по странице.
Что значит сократить дробь?
Мы знаем, что обыкновенные дроби подразделяются на сократимые и несократимые дроби. По названиям можно догадаться, что сократимые дроби можно сократить, а несократимые – нельзя.
Что же значит сократить дробь? Сократить дробь – это значит разделить ее числитель и знаменатель на их положительный и отличный от единицы общий делитель. Понятно, что в результате сокращения дроби получается новая дробь с меньшим числителем и знаменателем, причем, в силу основного свойства дроби, полученная дробь равна исходной.
Для примера, проведем сокращение обыкновенной дроби 8/24 , разделив ее числитель и знаменатель на 2 . Иными словами, сократим дробь 8/24 на 2 . Так как 8:2=4 и 24:2=12 , то в результате такого сокращения получается дробь 4/12 , которая равна исходной дроби 8/24 (смотрите равные и неравные дроби). В итоге имеем .
Приведение обыкновенных дробей к несократимому виду
Обычно конечной целью сокращения дроби является получение несократимой дроби, которая равна исходной сократимой дроби. Эта цель может быть достигнута, если провести сокращение исходной сократимой дроби на наибольший общий делитель ее числителя и знаменателя. В результате такого сокращения всегда получается несократимая дробь. Действительно, дробь является несократимой, так как из свойств НОД известно, что и – взаимно простые числа. Здесь же скажем, что наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби является наибольшим числом, на которое можно сократить эту дробь.
Итак, приведение обыкновенной дроби к несократимому виду заключается в делении числителя и знаменателя исходной сократимой дроби на их НОД.
Разберем пример, для чего вернемся к дроби 8/24 и сократим ее на наибольший общий делитель чисел 8 и 24 , который равен 8 . Так как 8:8=1 и 24:8=3 , то мы приходим к несократимой дроби 1/3 . Итак, .
Как сократить дробь? Правило и примеры сокращения дробей
Осталось лишь разобрать правило сокращения дробей, которое и объясняет, как сократить данную дробь.
Правило сокращения дробей состоит из двух шагов:
- во-первых, находится НОД числителя и знаменателя дроби;
- во-вторых, проводится деление числителя и знаменателя дроби на их НОД, что дает несократимую дробь, равную исходной.
Разберем пример сокращения дроби по озвученному правилу.
Онлайн-калькулятор для сокращения дробей позволяет сократить введенную вами дробь. Наш онлайн-калькулятор позволяет сокращать любые виды дробей (смешанные и простые, правильные и неправильные). Введите значения числителя и знаменателя дроби в соответствующие поля и нажмите кнопку "Сократить дробь" и калькулятор выдаст ответ и приведет подробное решение. Калькулятор позволяет задавать отрицательные дроби. Чтобы изменить знак дроби, необходимо нажать кнопку "+/-".
Работая с дробями, многие ученики допускают одни и те же ошибки. А все потому, что они забывают элементарные правила арифметики. Сегодня мы повторим эти правила на конкретных задачах, которые я даю на своих занятиях.
Вот задача, которую я предлагаю каждому, кто готовится к ЕГЭ по математике:
Задача. Морская свинья ест 150 грамм корма в день. Но она выросла и стала есть на 20% больше. Сколько грамм корма теперь ест свинья?
Неправильное решение. Это задача на проценты, которая сводится к уравнению:
Многие (очень многие) сокращают число 100 в числителе и знаменателе дроби:
Вот такую ошибку допустила моя ученица прямо в день написания этой статьи. Красным отмечены числа, которые были сокращены.
Излишне говорить, что ответ получился неправильный. Судите сами: свинья ела 150 грамм, а стала есть 3150 грамм. Увеличение не на 20%, а в 21 раз, т.е. на 2000%.
Чтобы не допускать подобных недоразумений, помните основное правило:
Сокращать можно только множители. Слагаемые сокращать нельзя!
Таким образом, правильное решение предыдущей задачи выглядит так:
Красным отмечены цифры, которые сокращаются в числителе и знаменателе. Как видите, в числителе стоит произведение, знаменателе — обыкновенное число. Поэтому сокращение вполне законно.
Работа с пропорциями
Еще одно проблемное место — пропорции. Особенно когда переменная стоит с обеих сторон. Например:
Неправильное решение — у некоторых буквально руки чешутся сократить все на m :
Сокращаемые переменные показаны красным. Получается выражение 1/4 = 1/5 — полный бред, эти числа никогда не равны.
А теперь — правильное решение. По существу, это обыкновенное линейное уравнение. Решается либо переносом всех элементов в одну сторону, либо по основному свойству пропорции:
Любое уравнение можно делить и умножать на любое число, отличное от нуля.
Просекли фишку? Можно делить только на числа, отличные от нуля. В частности, можно делить на переменную m , только если m != 0. А что делать, если все-таки m = 0? Подставим и проверим:
Получили верное числовое равенство, т.е. m = 0 — корень уравнения. Для остальных m != 0 получаем выражение вида 1/4 = 1/5, что, естественно, неверно. Таким образом, не существует корней, отличных от нуля.
Самые старые упоминания о таких математических явлениях как дробь учёные обнаружили в древнем Египте. Особенностью их дробей было то, что у них были обозначения только вида 1\2, 2\3,1\3, при этом больше двойки числа, делимого они не использовали, а использовали метод сложения, к примеру, вместо дроби 5\6, писали 1\2 +1\3.
Но применять такие дроби было сложно, поэтому учёные разных областей пытались вывести общую универсальную формулу для удобства. Так появилась шестидесятеричная дробь, но проводить вычисления с ней тоже было очень трудно, однако её довольно долго применяли в Вавилоне и Греции. Существовала также система называемая Асс, её суть в делении на 12, использовали её римляне. Результат такого деления, точнее одну долю, называли унцией. Самой близкой по своей системе исчисления была дробь, которую предложили в Индии, разница от современных была в формате записи, без чёрточки, и такая дробь была перевернута, в верхней части находился делитель, а в нижней делимое. Та запись, которую и по сей день используют в математике была придумана арабами.
Что такое дробь, основные понятия и виды
Дробь - число, состоящее из нескольких равных долей.
По сути дробь — это деление одного числа на другое. Выделяют два вида дробей: обыкновенные и десятичные.
Обыкновенная дробь.
Дробь - состоящая из целых чисел. Обыкновенные дроби имею два типа записи к примеру:
- 1\5- разделена наклонной линией, читается как одна пятая;
- \[\frac\] - горизонтальной линией.
Определения:
- Числитель - число, находящееся в верхней границе дроби;
- Знаменатель - число которое мы видим в нижней границе дроби.
Например: 1\5, где 1- числитель, 5- знаменатель. Для того чтобы проще объяснить, что такое дробь приведём простой пример. Торт разрезан на 5 кусков, если мы взяли два и них то это 2\5 (две пятые части торта).
Обыкновенные дроби имеют два типа правильные и неправильные.
Правильной дробью называется дробь с значениями, в которых числитель меньше знаменателя. Такое название данный тип дроби получил не зря, ведь так логичнее и правильнее, когда часть меньше целого.
Неправильная в свою очередь имеет обратные значения, когда числитель больше знаменателя.
Примечание. Дроби, у которых знаменатель и числитель одинаковы, тоже неправильные.
Смешанная дробь.
Существует также такое определение как смешанная дробь, такой вид дроби представляет из себя дробь, состоящую из двух частей целой и дробной. Пример - \[4 \frac\], где четыре это целая часть, а 3\5 дробная. Такой тип дроби можно получить, только при делении неправильного вида дробей.
Десятичные дроби.
К десятичным дробям относят дроби которые в знаменателе имеют 10 в натуральной степени. К примеру \[\frac, \frac\] и тд. Такие дроби так же могут иметь вид строчной записи, 0,5 и 0,06. при этом в такой записи целая часть отделяется от дробной знаком запятой.
Существуют также понятия сократимой и несократимой дроби. Сократимая дробь, это та дробь, в которой можно произвести деление числителя и знаменателя на одно и тоже число.
Несократимая дробь, если такие действия выполнить нельзя.
Составная дробь, многоуровневая или выражение, имеющее несколько черт дроби. Пример \[\frac>\]
Равные и неравные дроби.
Для того чтобы сказать являются дроби равными или нет нужно их сравнить.
Положительные и отрицательные дроби.
Положительные называют обыкновенные дроби, с положительными числами, при необходимость перед такими дробями ставится знак +, пример \[+\frac\].
Отрицательными, считаются дроби со знаком минус, пример \[-\frac\].
Стоит отметить что две дроби вида \[-\frac \text < и >+\frac\] являются противоположными.
Алгебраическая дробь.
Стоит отдельно отметить такой вид дроби, как алгебраическая дробь.
Отличается она тем, что на месте числителя и знаменателя находятся алгебраические значения, числа заменены буквами. Примеры -
Если в такой дроби буквы заменить числами, то она сразу станет обыкновенной.
Одночлен - это выражение, содержащее числа, степени положительные и их произведение. Пример: в.
Многочлен - это сумма одночленов. Пример: 7а+6в
Дроби на координате прямых.
Если рассматривать координату прямых, то положительные дроби на ней будут расположены справа от нулевого значения, а отрицательные слева.
Действия, которые можно выполнить с дробями
В общем то, действия с дробями это все те же действия, которые можно выполнить с числами:
- Сравнение;
- Сложение;
- Вычитание;
- Умножение;
- Деление.
Свойства дроби
Чтобы сложить или вычесть дроби,при это данная дробь обязана иметь равные знаменатели, необходимо просто выполнить это действие с их числителями
Что же касается дробей с разной частью делителя (Знаменателя), то тут чтобы выполнить действия сложения и вычитания с ними необходимо привести знаменатели к общему числу.
Примеры: \[\frac+\frac=\frac\], точно так же и для вычитания.
Чтобы выполнить такое действие, как умножение обыкновенных дробей, нужно произвести умножение сначала с их числителями, а после и знаменателями.
При умножении дроби на число, в такой вычислении просто умножается числитель на заданное число, а знаменатель остаётся тем же.
Что же касается деления, то при делении одной дроби на другую, нужно произвести умножение, при котором первая дробь остаётся в неизменном виде, а вторая переворачивается. То есть получается мы умножаем числитель первой дроби данного примера, на знаменатель второй, и полученное число находится в верхней части дроби, а в нижней умножение знаменателя первой дроби на числитель второй.
Сравнение дробей
Чтобы провести сравнение дробей с разными делителями (знаменателями), необходимо сделать так, чтобы знаменатель стал общим только тогда можно будет сравнить числители. Соответственно, где числитель больше там и дробь больше.
Основное свойство дробей
Еще одно определение которое пригодится нам для сокращения дроби это НОД.
НОД - наибольший общий делитель.
Общий делитель - это число, которое может быть делителем каждого из указанных чисел.
Пример: если взять число 3, то оно станет общим делителем для чисел 6 и 9. так как 9=3*3 а 6=3*2.
Алгоритм Евклида для вычисления НОД (наибольшего общего делителя)
Не всегда, сходу, можно понять какое число является наибольшим общим числителем, особенно если числа крупные, поэтому существует специальный алгоритм для выведения такого числа НОД.
Суть алгоритма такова: для нахождения НОД чисел а и b (где они целые и положительные числа, к тому же a больше b), выполняется ряд делений с остатком, получается ряд равенств, где деление останавливается в том случае если rk+1=0, при этом rk=НОД(a, b)
Пример. Рассчитаем НОД для 28 и 64.
Распишем простые множители для каждого числа и подчеркнем одинаковые
Д (64) = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2
Найдем произведение одинаковых простых множителей и запишем ответ
НОД (28; 64) = 2 * 2 = 4
Ответ: НОД (28; 64) = 4
Оформить поиск НОД можно в строчку, как мы сделали выше или в столбик, как на картинке.
Сокращение дроби
Выражение сократить дробь, фактически означает что необходимо провести деление её числителя и знаменателя на одно и то же число, не равное единице.
Результатом таких действий станет появление новой дроби, значение которой, равно первичной.
Например: возьмём обыкновенную дробь \[\frac\] и произведем сокращение. Для этого разделим и числитель и знаменатель на 2, получится такая дробь \[\frac \backslash 2=\frac=\frac\].
Просто заполните необходимые поля и получите ответ и подробное решение.
Как сократить дробь
Чтобы сократить дробь нужно воспользоваться следующим алгоритмом:
- Определить наибольший общий делитель(НОД) числителя и знаменателя
- Если НОД = 1, то дробь является несократимой
- Если НОД > 1, то делим и числитель и знаменатель на НОД
Пример
Для примера сократим дробь 20 30
Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
Определим НОД:
НОД(20,30) = 2⋅5 = 10
Сократим дробь:
20 30 = 20 : 10 30 : 10 = 2 3
Несократимая дробь
Несократимая дробь — это такая дробь у который числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами, то есть числами, не имеющими никакого общего делителя кроме 1.
Читайте также: