Как сделать неполный квадрат

Добавил пользователь Валентин П.
Обновлено: 04.10.2024

Математические выражения (формулы) сокращённого умножения (квадрат суммы и разности, куб суммы и разности, разность квадратов, сумма и разность кубов) крайне не заменимы во многих областях точных наук. Эти 7 символьных записей не заменимы при упрощении выражений, решении уравнений, при умножении многочленов, сокращении дробей, решении интегралов и многом другом. А значит будет очень полезно разобраться как они получаются, для чего они нужны, и самое главное, как их запомнить и потом применять. Потом применяя формулы сокращенного умножения на практике самым сложным будет увидеть, что есть х и что есть у. Очевидно, что никаких ограничений для a и b нет, а значит это могут быть любые числовые или буквенные выражения.

Первая х 2 - у 2 = (х - у) (х+у) .Чтобы рассчитать разность квадратов двух выражений надо перемножить разности этих выражений на их суммы.

Вторая (х + у) 2 = х 2 + 2ху + у 2 . Чтобы найти квадрат суммы двух выражений нужно к квадрату первого выражения прибавить удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Третья (х - у) 2 = х 2 – 2ху + у 2 . Чтобы вычислить квадрат разности двух выражений нужно от квадрата первого выражения отнять удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Четвертая (х + у) 3 = х 3 + 3х 2 у + 3ху 2 + у 3. Чтобы вычислить куб суммы двух выражений нужно к кубу первого выражения прибавить утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

Пятая (х - у) 3 = х 3 – 3х 2 у + 3ху 2 - у 3 . Чтобы рассчитать куб разности двух выражений необходимо от куба первого выражения отнять утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Шестая х 3 + у 3 = (х + у) (х 2 - ху + у 2 ) Чтобы высчитать сумму кубов двух выражений нужно умножить суммы первого и второго выражения на неполный квадрат разности этих выражений.

Седьмая х 3 - у 3 = (х - у) (х 2 + ху + у 2 ) Чтобы произвести вычисление разности кубов двух выражений надо умножить разность первого и второго выражения на неполный квадрат суммы этих выражений.

Не сложно запомнить, что все формулы применяются для произведения расчетов и в противоположном направлении (справа налево).

О существовании этих закономе рностей з нали еще около 4 тысяч лет тому назад. Их широко применяли жители древнего Вавилона и Египта. Но в те эпохи они выражались словесно или геометрически и при расчетах не использовали буквы.

Разберем доказательство квадрата суммы (а + b) 2 = a 2 +2ab +b 2 .

Первым эту математическую закономерность доказал древнегреческий учёный Евклид, работавший в Александрии в III веке до н.э., он использовал для этого геометрический способ доказательства формулы, так как буквами для обозначения чисел не пользовались и учёные древней Эллады. Ими повсеместно употреблялись не “а 2 ”, а “квадрат на отрезке а”, не “ab”, а “прямоугольник, заключенный между отрезками a и b”.

И так Евклид взял квадрат со стороной (a + b):

С другой стороны, этот же квадрат он представить иначе, разделив сторону на а и b:

Тогда площадь квадрата можно представить в виде суммы площадей:

И так как квадраты были одинаковы, то их площади равны, и это значит:

Таким образом, была доказана геометрически формула квадрата суммы.

При расчёте алгебраических многочленов для упрощения вычислений используются формулы сокращенного умножения. Всего таких формул семь. Их все необходимо знать наизусть.

Разность квадратов

Запомните!

Разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел и их суммы.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 · 17 = 221
9a 2 − 4b 2 с 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

Квадрат суммы

Запомните!

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Обратите внимание, что с помощью этой формулы сокращённого умножения легко находить квадраты больших чисел, не используя калькулятор или умножение в столбик. Поясним на примере:

Разложим 112 на сумму чисел, чьи квадраты мы хорошо помним.
112 = 100 + 1
Запишем сумму чисел в скобки и поставим над скобками квадрат.
112 2 = (100 + 12) 2
Воспользуемся формулой квадрата суммы:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 · 100 · 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Помните, что формула квадрат суммы также справедлива для любых алгебраических многочленов.

Предостережение!

Квадрат разности

Запомните!

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго числа.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Также стоит запомнить весьма полезное преобразование:

Формула выше доказывается простым раскрытием скобок:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

Куб суммы

Запомните!

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого на квадрат второго плюс куб второго.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Как запомнить куб суммы

Предостережение!

Куб разности

Запомните!

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(a − b) 3 = + a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Сумма кубов

Не путать с кубом суммы!

Запомните!

Сумма кубов равна произведению суммы двух чисел на неполный квадрат разности.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 )

Сумма кубов — это произведение двух скобок.

Первая скобка — сумма двух чисел.
Вторая скобка — неполный квадрат разности чисел. Неполным квадратом разности называют выражение:
(a 2 − ab + b 2 )
Данный квадрат неполный, так как посередине вместо удвоенного произведения обычное произведение чисел.

Разность кубов

Не путать с кубом разности!

Запомните!

Разность кубов равна произведению разности двух чисел на неполный квадрат суммы.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )

Будьте внимательны при записи знаков.

Применение формул сокращенного умножения

Следует помнить, что все формулы, приведённые выше, используется также и справа налево.

Многие примеры в учебниках рассчитаны на то, что вы с помощью формул соберёте многочлен обратно.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(aс − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

ДАЮ 20 БАЛЛОВ ПЖ РЕШИТЕ ПРОШУ ПОТОМ ЕСЛИ РЕШИТЕ ТО БАЛЛЫ ДОБАВЛЮ 1. Решите уравнение: ^2( − 5) − ( − 2)^3 = ^2 − 4 2. Решите уравнение: 4^3 − 81 = 0. … 3.Решите систему уравнений:

Решите систему уравнений.Задание на фото(Ответы по возможности записать числом)

Помогите пожалуста, Реши систему уравнений задание на фото

Сколько решений имеет система уравнений?Задание на фото

5.80. Запишите выражение в виде произведения: 1) а³+b⁶; 3) x⁶+y⁶; 5) р³-q⁹; 2) х⁹-y3; 4) x⁶+y³; 6) m⁹-n⁹ Помогите пожалуйста срочно!

формула y=-5x+4 задає деяку функцію. при значенні аргументу згачення функцій =6

Зачем нужны формулы сокращенного умножения?

С их помощью ты сможешь упростить выражение, привести многочлен к стандартному виду (без раскрытия скобок и приведения подобных)

Ты сможешь легко в уме находить квадраты больших чисел и, например, быстро проверить свои расчеты на экзамене.

Иными словами это сильно экономит время при решении самых разных задач!

В общем их стоит выучить. Начнем?

Формулы сокращенного умножения — коротко о главном

Формулы сокращенного умножения – это формулы, зная которые можно избежать выполнения некоторых стандартных действий при упрощении выражений или разложении многочленов на множители.

Формулы сокращенного умножения нужно знать наизусть!

Квадрат суммы

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

Возьмем самую простую первую формулу квадрата суммы \( <<\left( a+b \right)>^>\) — и попробуем возвести сумму в скобках в квадрат, то есть, умножить \( \left( a+b \right)\) само на себя:

Приведи подобные слагаемые и ты получишь формулу сокращенного умножения квадрат суммы:

Таким образом выводятся все формулы сокращенного умножения.

Ты можешь выводить их каждый раз самостоятельно, а можешь не тратить на это время и быстро посчитать необходимый пример, зная конечное значение формул.

Конечно, квадрат суммы посчитать вручную не так сложно, но что ты скажешь насчет куба суммы или куба разности?

Куб суммы означает, что необходимо \( \left( a+b \right)\) само умножить на себя три раза:

И это мы расписали перемножение только первой скобки, а тоже самое необходимо сделать со второй и с третьей… Согласись, запутаться очень легко, а, как правило, от того, как ты посчитаешь это простое действие, зависит ответ всего примера.

Таким образом, формулы сокращенного умножения позволяют сократить трудоемкое перемножение членов друг на друга и получить быстрый результат.

Как выводится формула для квадрата суммы, мы описали ранее. Попробуем произвести аналогичные действия с квадратом разности.

Квадрат разности

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения:

Квадрат разности означает умножить \( \left( a-b \right)\) само на себя. Попробуй вывести формулу для данного выражения самостоятельно, по аналогии с квадратом суммы.

Справился? Посмотрим, как ты раскрыл скобки:

Что мы делаем дальше? Правильно, приводим подобные слагаемые:

Ты наверняка уже заметил некую закономерность? Присмотрись внимательно к формулам квадрат суммы и квадрат разности. В чем их отличие?

Конечно, ты увидел, что если мы возводим в квадрат разность между \( a\) и \( b\), то мы вычитаем их удвоенное произведение, а если возводим в квадрат сумму, то прибавляем.

При возведении разности и суммы в квадрат, не забывай про удвоенное произведение чисел \( a\) и \( b\)!

Описание метода выделения полного квадрата

§2. Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Описание метода выделения полного квадрата

Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - 4 x + 5 . Запишем его в таком виде: x 2 - 2 · 2 · x + 5 . Прибавим к этому выражению 2 2 и вычтем 2 2 , получаем: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Заметим, что x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = ( x - 2 ) 2 , поэтому

x 2 - 4 x + 5 = ( x - 2 ) 2 - 4 + 5 = ( x - 2 ) 2 + 1 .

Выделите полный квадрат из квадратного трёхчлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Заметим, что 9 x 2 = ( 3 x ) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тогда

Прибавим и вычтем к полученному выражению `(1/2)^2`, получаем

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена для разложения квадратного трёхчлена на множители.

Разложите на множители квадратный трёхчлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена:

2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = ( 2 x - 3 ) 2 - 2 2 .

Теперь применяем формулу a 2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b ) , получаем:

( 2 x - 3 - 2 ) ( 2 x - 3 + 2 ) = ( 2 x - 5 ) ( 2 x - 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

- 9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Теперь замечаем, что 9 x 2 = 3 x 2 , - 12 x = - 2 · 3 x · 2 .

Прибавляем к выражению 9 x 2 - 12 x слагаемое 2 2 , получаем:

- 3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 4 + 5 = = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Применяем формулу для разности квадратов, имеем:

- 9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + ( 3 x - 2 ) = ( 5 - 3 x ) ( 3 x + 1 ) .

Разложите на множители квадратный трёхчлен 3 x 2 - 14 x - 5 .

Мы не можем представить выражение 3 x 2 как квадрат какого-то выражения, т. к. ещё не изучали этого в школе. Это будете проходить позже, и уже в Задании №4 будем изучать квадратные корни. Покажем, как можно разложить на множители заданный квадратный трёхчлен:

Покажем, как применяется метод выделения полного квадрата для нахождения наибольшего или наименьшего значений квадратного трёхчлена.
Рассмотрим квадратный трёхчлен x 2 - x + 3 . Выделяем полный квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Заметим, что при `x=1/2` значение квадратного трёхчлена равно `11/4`, а при `x!=1/2` к значению `11/4` добавляется положительное число, поэтому получаем число, большее `11/4`. Таким образом, наименьшее значение квадратного трёхчлена равно `11/4` и оно получается при `x=1/2`.

Найдите наибольшее значение квадратного трёхчлена - 16 x 2 + 8 x + 6 .

Выделяем полный квадрат из квадратного трёхчлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значение квадратного трёхчлена равно 7 , а при `x!=1/4` из числа 7 вычитается положительное число, то есть получаем число, меньшее 7 . Таким образом, число 7 является наибольшим значением квадратного трёхчлена, и оно получается при `x=1/4`.

Разложите на множители числитель и знаменатель дроби `/` и сократите эту дробь.

Заметим, что знаменатель дроби x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разложим числитель дроби на множители, применяя метод выделения полного квадрата из квадратного трёхчлена.

x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = ( x + 1 + 4 ) ( x + 1 - 4 ) = ( x + 5 ) ( x - 3 ) .

Данную дробь привели к виду `/(x-3)^2` после сокращения на ( x - 3 ) получаем `(x+5)/(x-3)`.

Разложите многочлен x 4 - 13 x 2 + 36 на множители.

Применим к этому многочлену метод выделения полного квадрата.

Разложите на множители многочлен 4 x 2 + 4 x y - 3 y 2 .

Применяем метод выделения полного квадрата. Имеем:

( 2 x ) 2 + 2 · 2 x · y + y 2 - y 2 - 3 y 2 = ( 2 x + y ) 2 - 2 y 2 = = ( 2 x + y + 2 y ) ( 2 x + y - 2 y ) = ( 2 x + 3 y ) ( 2 x - y ) .

Применяя метод выделения полного квадрата, разложите на множители числитель и знаменатель и сократите дробь `/`.

Читайте также: