Как сделать многочлен стандартного вида
Обновлено: 05.07.2024
Многочлен – это алгебраическое выражение, которое является суммой одночленов.
Например: $ 5x^2 y+4xy^2-3; a-2; 4m^3 n+n $
Стандартный вид многочлена – представление многочлена в виде суммы одночленов стандартного вида, среди которых нет подобных одночленов.
Степень многочлена стандартного вида – это наибольшая из степеней входящих в него одночленов.
Любой многочлен можно привести к стандартному виду.
Алгоритм приведения многочлена к стандартному виду
- Привести к стандартному виду все одночлены, входящие в многочлен
- Привести подобные члены
Как представить одночлен в стандартном виде – (см. §12 Одночлен и его стандартный вид).
Число 0, а также многочлены тождественно равные нулю (например, $0a+0b,z^2-z^2$) называют нуль-многочленами. Их не относят к многочленами стандартного вида. Считают, что нуль-многочлен степени не имеет.
Примеры
Пример 1. Упростите многочлен, записав его в стандартном виде. Укажите степень многочлена:
а) $ x^2 yxy+\frac x^3 y^4-\frac yx^3 y+3xyx^2 y^3 = x^3 y^2+\frac x^3 y^4-\frac x^3 y^2+3x^3 y^4 = $
$ = \left(1-\frac\right) x^3 y^2+\left(\frac+3\right)x^3 y^4 = \frac x^3 y^2+3,5 x^3 y^4 $
Первый одночлен имеет степень 3+2 = 5, второй 3+4 = 7.
Степень многочлена 7.
б) $ 25abca^2-2a^2 c^3+cac^2 a-12a^3 bc=25a^3 bc-2a^2 c^3+a^2 c^3-12a^3 bc = $
$ = (25-12) a^3 bc+(-2+1) a^2 c^3 = 13a^3 bc-a^2 c^3 $
Оба одночлена имеют одинаковую степень: 3+1+1 = 5 и 2+3 = 5.
Степень многочлена 5.
Пример 2. Упростите многочлен и найдите его числовое значение, если a = 0,1 и b = 1:
Подставляем: $10 \cdot 0,1-7 \cdot 1 = 1-7 = -6$
Подставляем: $ 9\cdot 0,1\cdot 1-16 = 0,9-16 = -15,1 $
Пример 3. Запишите в виде многочлена число X, которое имеет:
а) a тысяч, b сотен, 0 десятков, c единиц
По условию: $ X = 1000 \cdot a+100 \cdot b+10 \cdot 0+1 \cdot c = 1000a+100b+c$
б) a десятков тысяч, b тысяч, c единиц
$ X = 10000 \cdot a+1000 \cdot b+100 \cdot 0+10 \cdot 0+1 \cdot c = 10000a+1000b+c $
Многочлен или полином — это алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например, выражения:
a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z — многочлены.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются членами многочлена. Рассмотрим многочлен:
7a + 2b - 3c - 11;
выражения: 7a, 2b, -3c и -11 — это члены многочлена. Обратите внимание на член -11 , — он не содержит переменной. Такие члены, состоящие только из числа, называются свободными.
Принято считать, что любой одночлен — это частный случай многочлена, состоящий из одно члена. В этом случае одночлен является названием для многочлена с одним членом. Для многочленов, состоящих из двух и трёх членов, тоже есть специальные названия — двучлен и трёхчлен соответственно:
| 7a | — | одночлен; |
| 7a + 2b | — | двучлен; |
| 7a + 2b - 3c | — | трёхчлен. |
Подобные члены
Подобные члены — одночлены, входящие в многочлен, которые отличаются друг от друга только коэффициентом, знаком или совсем не отличаются (противоположные одночлены тоже можно назвать подобными). Например, в многочлене:
| 3a 2 b | + | 5abc 2 | + | 2a 2 b | - | 7abc 2 | - | 2a 2 b |
члены 3a 2 b, 2a 2 b и -2a 2 b, так же как и члены 5abc 2 и -7abc 2 — это подобные члены.
Приведение подобных членов
Если многочлен содержит подобные члены, то его можно привести к более простому виду путём соединения подобных членов в один. Такое действие называется приведением подобных членов. Первым делом заключим в скобки отдельно все подобные члены:
(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2 ).
Чтобы соединить несколько подобных одночленов в один, надо сложить их коэффициенты, а буквенные множители оставить без изменений:
((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2 ) = (3a 2 b) + (-2abc 2 ) = 3a 2 b - 2abc 2 .
Приведение подобных членов – это операция замены алгебраической суммы нескольких подобных одночленов одним одночленом.
Многочлен стандартного вида
Многочлен стандартного вида — это многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, среди которых нет подобных членов.
Чтобы привести многочлен к стандартному виду, достаточно сделать приведение подобных членов. Например, представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:
3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3 .
Сначала найдём подобные члены:
| 3xy | + | x 3 | - | 2xy | - | y | + | 2x 3 . |
А теперь сделаем приведение:
| 3xy | + | x 3 | - | 2xy | - | y | + | 2x 3 | = |
= xy + 3x 3 - y.
Если все члены многочлена стандартного вида содержат одну и ту же переменную, то его члены принято располагать от большей степени к меньшей. Свободный член многочлена, если он есть, ставится на последнее место — справа.
Мы с вами уже разобрали, чем являются одночлены, и выяснили, что при произведении одночленов также получится одночлен. Однако совсем иная ситуация обстоит с суммой одночленов. Давайте рассмотрим на примере:
Данные выражения не являются одночленами — в первом у нас представлена сумма одночленов $2a$ и $b^$, а во втором — их разность.
Если данные выражения не являются одночленами, то какое название мы можем им дать? Все просто — такие примеры называют многочленами.
Многочлены — это выражения, которые являются суммой нескольких одночленов.
Упрощение многочленов
Многочлены могут быть как небольшими, так и состоящими из нескольких частей. Давайте рассмотрим несколько примеров таких выражений:
Многочлены состоят из одночленов, которые, в свою очередь, называются членами многочлена. Таким образом, в выражении $11x-2x$ всего 2 одночлена: $11x$ и $-2x$. Многочлены, которые состоят из 2 членов, называются двучленами, а состоящие из 3 — трехчленами. Если в примере содержится обычное число без переменных, то его называют свободным членом многочлена.
В выражениях может находиться несколько подобных членов, что позволяет упростить само выражение. В данном выражении мы можем увидеть подобные одночлены, которые закрашены одинаковыми цветами:
Для упрощения такого многочлена нам нужно использовать правило подобных слагаемых, т.е. произвести отдельные арифметические действия над каждой подобной частью. В конце у нас получится такое выражение:
Такое упрощение называют приведением подобных членов многочлена. Это преобразование позволяет заменить многочлен на тождественно равный ему, но более простой — с меньшим количество членов.
Стандартный вид многочленов
Многочлен, состоящий из одночленов стандартного вида, расположенных в порядке убывания степеней и среди которых нет подобных, называют многочленом стандартного вида.
Одночлены в многочлене стандартного вида располагают в порядке убывания их степени, а свободный одночлен записывают в самом конце. Для примера можно привести следующие выражения:
Стоит отметить, что любой многочлен можно привести к стандартному виду, если привести подобные. То есть из выражения нестандартного вида:
Мы можем получить выражение стандартного вида:
Степень многочлена
Рассмотрим многочлен стандартного вида:
Данное выражение составлено из одночленов: $2x^y$, $-x^y^$, $5x^y$, $y$ и $-2$. Их степени соответственно равны числам $4$, $4$, $3$, $1$, $0$. Наибольшая степень из этих степеней равна числу $4$, поэтому в таком случае говорят, что степень всего многочлена равна $4$.
Степенью многочлена стандартного вида называют наибольшую из степеней одночленов, из которых этот многочлен составлен.
Давайте рассмотрим еще несколько примеров многочленов с их степенями:
$\color3x^-xy+5y^$ — степень равна двум
$\color 3x^y^$ — степень равна шести
$\color 3$ — степень равна нулю
Коэффициенты многочленов
Зачастую многочлен состоит из множества частей, каждая из который имеет свой коэффициент. Они указываются перед переменными множителями. Если перед переменной нет числа, то коэффициент этого члена будет равен $1$. Рассмотрим на примере:
Выделенные числа и будут являться коэффициентами переменных множителей.
Нуль-многочлены
Число 0, а также многочлены, которые тождественно равны нулю, называют нуль-многочленами. Примеры таких выражений:
Их не относят к многочленам стандартного вида и считается, что нуль-многочлены не имеют степени.
Одночлены, входящие в состав многочлена, называются его членами.
Если многочлен состоит из двух членов, то его называют двучленом:
Если из трех – трехчленом:
Стандартный вид многочлена
Если все одночлены в многочлене приведены к стандартному виду и среди них нет подобных, то говорят, что это многочлен стандартного вида.
\(16a^3 b-13a^3 b+4aba^2+4ab\)
К стандартному виду может быть приведен любой многочлен.
Пример. Приведите к стандартному виду \(3a^2 b+xy+2aba-5yx+xa\).
Решение:
Сразу замечаем, что одночлены \(2aba\) и \(-5yx\) записаны не в стандартном виде . Исправляем это, преобразовывая каждый из них:
\(2aba=2aab=2a^2 b\)
\(-5yx=-5xy\)
\(=3a^2 b+xy+2a^2 b-5xy+ax=\)
Теперь у нас появились подобные слагаемые . Приводим их.
Значение многочлена
Значение многочлена – это число, которое получится, если вместо переменных в многочлен подставить числа и вычислить значение получившегося выражения.
Пример. Найдите значение \(6a^3-a^+4a^3+a^-8a^3+a\) при \(a=-3\).
Решение:
Сначала приведем многочлен к стандартному виду - как не крути, а с любым многочленом легче работать если он в стандартном виде.
Теперь вместо переменной \(a\) подставим \(-3\) и вычислим получившееся выражение.
Читайте также: