Как сделать луч по математике
Добавил пользователь Алексей Ф. Обновлено: 04.10.2024
Посмотрев вокруг, ты увидишь множество плоских вещей. Поверхность стола, лист бумаги, оконное стекло… А представьте себе, как будто эти поверхности не имеют конца и края, как будто они простираются за пределы Земли!
У математической плоскости нет границ. Она простирается бесконечно в любом направлении.
Прямая
Начертим отрезок АВ (рисунок 1). Он ограничен двумя точками. Теперь проведём по линейке линии таким образом, чтобы он продолжался в обе стороны (рисунок 2). У нас получилась прямая, на которой лежат точки А и В.
Конечно, мы можем приложить линейку и измерить ту линию на рисунке 2. Даже если мы будем чертить прямую не в тетрадке, а, скажем, на полу, и продолжать её в обе стороны до самых стен, её всё равно можно измерить. Но говоря о математической прямой, мы подразумеваем, что она не заканчивается и продолжается до бесконечности.
Прямая бесконечна. Она неограниченно продолжается в обе стороны.
Через любые две точки проходит только одна прямая.
Прямая обозначается двумя буквами, по тем точкам, через которые она проходит. На рисунке 2 – прямая АВ (можно также назвать ВА).
Теперь нарисуем две пересекающиеся прямые, АВ и СD. Та точка, в которой они пересекаются, общая для обеих прямых. Она делит каждую прямую на две части.
Луч
Начертим прямую и поставим на ней точку. Эта точка разделяет прямую на две части, каждую из них называют лучом.
У прямой нет ни начала, ни конца.
У луча тоже нет конца, но есть начало.
Представьте, что у вас в руке фонарик, и из него бьёт луч света. Фонарик и будет началом луча.
Для обозначения луча называют его начало и какую-нибудь из точек, лежащих на этом луче. Но переставлять буквы в названии уже нельзя, первой всегда будет идти буква, обозначающая точку-начало.
Например, луч на рисунке 6 называется ОА.
Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными друг другу.
Это как бы две половинки одной прямой.
Луч продолжается до бесконечности, и на нём можно поставить бесконечное число точек. Но всё равно будут точки, которые остаются вне этого луча. Представьте, что вы светите фонариком перед собой. То, что находится справа, слева, сзади, сверху – всё остаётся вне луча света.
Геометрия — это раздел математики, изучающий геометрические фигуры и их свойства.
Познакомимся с основными геометрическими понятиями, изучаемыми в начальной школе.
Точка
Запомните!
Точка — это основная и самая простая геометрическая фигура.
В геометрии точка обозначается заглавной латинской буквой или цифрой. Многие латинские буквы по написанию похожи на английские буквы.
Прямая
Запомните!
Прямая — это самая простая геометрическая фигура, которая не имеет ни начала, ни конца.
- Через две точки можно провести единственную прямую.
- Две прямые могут пересекаться только в одной точке.
- Через одну точку можно провести бесконечное множество прямых.
Способы обозначения прямых
Запомните!
Луч — это часть прямой линии, которая расположена по одну сторону от какой-либо точки. У луча есть начало , но нет конца .
Способы обозначения лучей
Отрезок
Запомните!
Отрезок — это часть прямой линии, которая ограничена двумя точками (концами отрезка). У отрезка есть и начало , и конец .
Основное свойство отрезка — это его длина.
Длина отрезка — это расстояние между его концами.
В математике отрезок обозначается заглавными латинскими буквами.
Ломаная
Запомните!
Ломаная — это геометрическая фигура, состоящая из точек, которые соединены отрезками.
Вершины ломаной — это точки, в которых соединяются отрезки, образующие ломаную.
Звенья ломаной — это отрезки ломаной.
В математике ломаная обозначается заглавными латинскими буквами.
Запомните!
Чтобы найти длину ломаной, необходимо сложить длины всех её звеньев (отрезков), из которых она состоит.
KLCM = KL + LC + CM = 3 см + 2 см + 2 см = 7 см
Вот мы и познакомились с основами геометрии. Теперь мы готовы рассмотреть не менее важную геометрическую фигуру — угол.
\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a :
1) \u043b\u0443\u0447\u0438 \u0430 \u0438 b
2) \u043b\u0443\u0447\u0438 \u0410\u0412 \u0438 \u0410\u0421
3) \u043b\u0443\u0447\u0438 \u0410\u0421 \u0438 \u0412\u0421.
\u0421\u043c. \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438.">]" data-testid="answer_box_list">
Луч - это часть прямой, которая имеет начало, но не имеет конца.
Например, можно начертить так :
1) лучи а и b
2) лучи АВ и АС
3) лучи АС и ВС.
См. в приложении.
Новые вопросы в Математика
клумбах общей площадью в чат метров весной высадили луковицы тюльпанов на каждом квадратном метре высаживали одинаковое число луковиц на одной клумбе … 400 луковиц а на второй 600 найди площадь клумб
. Coop - ГКликнется. 4. Запиши глаголы по схеме: Глагол - синоним ранить - Mчаться - . наступиться – . – . . Вечереет - . - . Весел Слова … для справок: радоваться, а бидеть, темнеет, строить, огорчаться ащитить, рассветает, ругать. 5. Запиши к глаголам антонимы. ссориться - . чистить оригмеакемннтгошш из
Ширина тротуара 3 м, а ширина проезжей час- ти улицы в 9 раз больше. Объясни, что означа- ют выражения: Вегіоn оn аякінаполуома. Олото VOMRON Мансапте … ри МАМБX RONБДБnon Nons 3.9, 3.2, 3.9 +3.2. of OMRON OTOTR
Автобус отправился в сторону пункта В, расположенного в 8 км от пункта А. Спустя 45 минут, из точки В за автобусом выехала машина и через 2 часа его д … огнала. Определи, на каком расстоянии от точки А машина догнала автобус, если ее скорость превышала скорость автобуса на 20 км/ч. BILIM Land х км/ч х+20 км/ч В A 8 км 1) Заполни таблицу по условию задачи. v (км/ч) t (9) S = vt (км) 2,75 2,75 Автобус KM > (C+ ) Машина х+ 2) Составь уравнение по условию задачи и реши его. + ). 2,75. -8=2.( А машина догнала автобус. 3) На расстоянии
Проведем исследование… Включи фонарик.
Ты видишь луч света. Направь луч на свою ладошку, затем на стену….
Ты видишь на ладошке, на стене светлое пятно? …. Ты знаешь, что свет может идти и дальше, например, за открытую дверь.
Как ты думаешь, что является началом луча света и есть ли конец?…. Верно, начало — лампочка фонарика. А конца луча нет…
Как ты догадался, сегодня мы будем изучать ЛУЧ, ты узнаешь много нового о нём и научишься его строить.
Так как ты понимаешь, что такое луч?
Луч — это часть прямой линии, которая имеет начало и не имеет конца.
Где в окружающей жизни встречается луч?….
Кинопроектор при помощи луча света передает изображение на экран.
Задание 1.
Начерти в тетради прямую линию. Отметь на ней одну точку, Дайте ей имя.
На сколько частей точка разделила прямую?… Посмотрите на эти части начало есть, а конца нет… Так называются эти части?
Задание 2.
Будем учиться строить луч. Какие инструменты понадобятся? … Верно, линейка, так как луч — это часть прямой линии. С чего начнем построение луча?…. Сначала поставим точку — начало. Линию из точки можно вести в любом направлении.
Попробуй начертить 3 луча с одной точки в разных направлениях. А можно ещё провести лучи с этой точки? Сколько?
Задание 3. Проведи в тетради прямую линию. Отметь на ней две точки.
Найдите на этом чертеже луч.
Обрати внимание на часть прямой, расположенная между двумя точками. Это отрезок.
Отрезок — это часть прямой, у которого есть начало и конец.
Задание 4. Будем учиться строить отрезок. Какие инструменты понадобятся? … Верно, линейка, так как отрезок — это тоже часть прямой линии. С чего начнем построение отрезка?….
Сначала поставим две точки — начало и конц. С помощью линейки соедини эти точки. А можно сделать так: Начерти часть прямой линии, затем отметь начало и конец.
Задание 5.
Начерти в тетради прямую линию. Поставь 3 точки так, чтобы они лежали на прямой и проведи из этих точек вверх 3 прямые линии. Что у тебя получилось? Докажи, что это лучи?
А теперь на крайнем левом луче нарисуй цветок синего цвета. На крайнем правом цветок красного цвета. А на луче, который находится в середине, нарисуй бабочку.
Задание 6.
Найди на рисунке прямые линии…. Сколько их? Найди лучи…. Сколько их? Найди отрезки…. Сколько их?
В этом уроке мы продолжим разговор про геометрию, начатый в прошлых уроках.
Мы рассмотрим такие понятия, как плоскость, прямая, луч, поговорим еще раз про отрезки. Также обсудим, как все эти объекты могут располагаться друг относительно друга. Начнем же.
Плоскость
Важно отметить, что в начале разбора приходится некоторые понятия принимать как нечто, что не требует определения, к таким понятиям относятся понятия прямой и точки.
Немецкий учений Гильберт как-то сказал на эту тему, что “точкой можно назвать хоть стул”, тем самым говоря, что вся наша модель строится на некоторых условностях.
С этим пониманием приступим к первой теме урока.
Для начала нам нужно понять, что такое поверхность.
Есть много строгих математических формулировок, но они уместны скорее в высших учебных заведениях, пока будет достаточно обиходного понятия поверхности.
Будем понимать под поверхностью непрерывное множество точек, границу, отделяющую геометрическое тело от внешнего пространства.
Представьте себе поверхность рабочего стола, футбольного мяча или любого другого предмета.
Также известно, что некоторые поверхности, например, рабочего стола, плоские.
Так мы подходим к понятию плоскости. Плоскость - плоская, бесконечная поверхность.
Плоская в данном случае обозначает, что если через любые две точки, принадлежащие этой плоскости, провести прямую, то она будет лежать в этой плоскости.
В самом деле, если нарисовать две точки на поверхности стола и соединить их прямой, то эта прямая будет лежать в плоскости стола.
Если же отметить две точки на шаре, то (тут нужен некоторый мысленный эксперимент) прямая, соединяющая их, будет проходить внутри шара, а не по его поверхности. Таким образом, поверхность шара не плоская, не является плоскостью.
Сейчас очень важно понять, что плоскость - это некоторое математическое понятие, соответствующее нашим бытовым плоским поверхностям с главным отличием в том, что у плоскости нет края.
Обычно на рисунках плоскость обозначается конечной, в крайнем случае лист бумаги или экран компьютера конечен.
Но это лишь обозначения, сама плоскость бесконечна.
Поверхности и плоскости принято обозначать двумя способами: с помощью трех латинских букв, соответствующих трем точкам плоскости, или одной греческой.
Выше изображена четырехугольная пирамида. В ней можно насчитать 5 плоскостей:
Согласись, две точки слишком мало, чтобы обозначить плоскость: на данном рисунке, например, есть две плоскости, проходящие через точки A и E, а четыре точки уже несут избыточную информацию, поэтому плоскости обозначают тремя точками.
Иногда плоскость обозначают одной строчной греческой буквой, например, так:
Плоскость - множество точек.
Точка может принадлежать плоскости (лежать в ней) или не принадлежать плоскости.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Прямая
Прямая - это, как уже было сказано, фундаментальное понятие и формального определения не имеет, но мы можем ее описать.
Проведем отрезок, назовем его AB.
А теперь продолжим его по линейке за концы в обе стороны:
Так мы получим прямую. Прямая, как и плоскость, бесконечна.
Если плоскость простирается во все стороны, то прямая в конкретные два направления.
Как и в случае с плоскостью, невозможно изобразить нечто бесконечное в тетрадях или на мониторах, так как эти объекты имеют границы, поэтому любое изображение будет лишь обозначать прямую.
Для обозначения прямой используются две заглавные латинские буквы, так выше приведенную прямую можно назвать “прямая АВ” или “прямая ВА”.
Также иногда прямые обозначают строчными латинскими буквами:
Вот, например, прямая а.
В геометрии есть понятия, которые принимаются без доказательств, - аксиомы.
И вот одна из них:
Через любые две точки проходит единственная прямая.
То есть ситуация, при которой между двумя точками нет ни одной прямой или, напротив, более одной, невозможна.
Прямая - это множество точек. Значит, как и в случае с плоскостями, точки могут принадлежать прямым.
Так на рисунке выше точки А и В принадлежат прямой АВ.
Рассмотрим другой рисунок:
В данном случае точки С и D не принадлежат прямой АВ.
Мы можем представить себе прямую, нарисованную на плоском листе бумаги.
Так и в математике прямые могут принадлежать плоскостям.
Можно изобразить это так:
На рисунке прямая а, принадлежит плоскости \(\mathbf\)
Обычно такие рисунки сопровождают текстовым описанием для того, чтобы их понимали однозначно.
Также мы можем видеть прямые и на других рисунках.
Мы знаем, что через любые две точки проходит прямая.
Так что смотря на рисунок выше мы можем говорить про прямые AE, ED, DC, AC, AB, EB, DB, CB
Точно также можно видеть прямые не только на объемных рисунках, но и на плоских.
Так на этом рисунке можно говорить про прямые AB, BC и AC
Также отношение “принадлежит” обладает в данном случае таким свойством: если точка принадлежит прямой, а прямая принадлежит плоскости, то верно, что эта точка принадлежит плоскости.
Посмотрим на рисунок:
Если нам известно, что точка А принадлежит прямой а и прямая а принадлежит плоскости \(\mathbf\), то очевидно, что и сама точка А принадлежит прямой \(\mathbf\)
Про прямые надо знать такое определение:
Если две прямые имеют общую точку, то говорят, что они пересекаются в этой точке.
В данном случае это точка О.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Любая точка на прямой делит ее на две части.
Каждую из этих частей называют лучом.
Сама такая точка будет называться началом луча.
Конца у луча нет - луч бесконечный.
На рисунке выше - точка М делит прямую АВ на два луча: МА и МВ.
Точка М является началом обоих лучей.
Лучи МА и МВ называются дополнительными друг другу. Это такие лучи, на которые точка разбивает прямую.
Давая лучам название, первой буквой пишут вершину луча, вторая определяет направление.
Это может быть как точка на соответствующей прямой, так и просто буква, подписанная возле соответствующей части прямой, как на рисунке выше.
Как и в случае с прямой, точки могут лежать и не лежать на луче.
Посмотрим, как лежат точки относительно луча MB.
Точки Р и К не лежат на прямой АВ, значит и на луче, как на части прямой, лежат не могут.
Точка С не лежит на луче МВ, так как находится с другой стороны от точки М, луч уходит в сторону В.
Научимся видеть лучи еще в некоторых ситуациях.
Например, сколько лучей образуются при пересечении прямых?
Обозначим прямые как АВ и CD, точку пересечения назовем точкой О.
Имеем одну точку, которая может стать началом луча, от нее отходят четыре половины прямых.
А полупрямая это и есть луч. Значит, при пересечении двух прямых от точки их пересечения будет отходить 4 луча.
Посмотрим еще раз на картинку с треугольником АВС.
Мы уже говорили, что прямые вида AB и ВС - это одна и та же прямая, просто записанная разными способами.
В случае с лучом принципиально, где у него начало, а где продолжение (конца не бывает).
Тогда у нас есть 3 точки-кандидата на начало луча. От каждой точки отходит по два отрезка, но чтобы обозначить луч нам нужна любая точка с продолжения, так что получается, что от каждой вершины отходят по 2 луча и всего на рисунке можно увидеть 6 лучей, если не ставить дополнительных точек.
Теперь вы знаете, что такое плоскость, прямая и луч, понимаете, в каких случаях точки могут принадлежать им, а в каких - нет, а также знаете, как давать имена всем этим объектам.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Дополнительная информация
Геометрия, про которую мы сегодня говорили, называется Евклидовой.
Как уже было сказано, часть понятий является фундаментальными. В данном случае первоначальные понятия Евклидовой геометрии предложил, как следует из названия, Евклид, живший в Древней Греции.
Если быть более точным, жил он в Александрии и являлся первым математиком Александрийской школы.
О самом Евклиде, к сожалению, известно крайне мало информации.
Самая его известная книга “Начала” содержала в себе факты о геометрии, а также об арифметике.
Иногда книга издавалась с комментариями. Из одного из таких изданий с комментариями от Прокла мы знаем что-то про Евклида, хотя Прокл жил примерно на 800 лет позже Евклида.
Также существуют скульптуры и портреты, посвященные Евклиду, но есть сомнения в их достоверности.
По сути единственное, что известно более-менее точно, так это то, что ученые занимались вопросами геометрии еще в те времена.
Сохранились и другие работы Евклида, например, ему приписывают “Деление канона” (трактат о теории музыки), но им уделяется меньше внимания.
Помимо Евклида уже значительно позже другие ученые предлагали свои варианты аксиом геометрии. Одним из них был Николай Лобачевский - русский математик XIX века, но его геометрия не получила такой популярности, как геометрия Евклида.
Читайте также: