Как сделать координатный луч

Обновлено: 08.07.2024

1) Начертить произвольный луч, указать стрелочкой направление.
2) В вершине луча отметить точку 0 - начало координат.
3) На луче произвольным образом отметить точку 1. Полученный отрезок 0 - 1 будет единичным.
4) От точки 1 откладывать последовательно отрезки, равные единичным. Получатся точки с координатами 2; 3; 4 и т. д.

У меня на чертеже получилось 13 координатных точек. Вообще их может быть сколько угодно.

ставишь точку, проводишь от нее бесконечную линию и отмеряешь на ней равные отрезки. Точка-насчало отсчета, остальное продолжение

Для измерения длины отрезка используется линейка. Измерение возможно за счет того, что на линейку нанесена шкала — это штрихи через одинаковые промежутки.

На школьный линейках, как правило, расстояние между штрихами равно 1 мм, оно называется делением.

Дополнительно на линейках обозначены и сантиметровые интервалы — под удлиненными штрихами стоят цифры. Один сантиметровый отрезок содержит в себе 10 делений по 1 мм.

Шкалу также можно увидеть в термометре. Там одно деление соответствует одному градусу, цифрами обозначены величины, равные 10, 20, 30 градусам и т.д.

Еще шкала бывает на весах. Обычно одно деление весов равно 100 гр. Цифрами обозначены величины в 1, 2, 3 кг и т. д.

Но если нужно взвешивать большие предметы, то применяются весы, деление шкалы в которых больше чем 100 гр. В этом случае используются такие единицы измерения массы, как тонна и центнер.

1 тонна обозначается как 1 т, 1 т = 1000 кг.
1 центнер обозначается как 1 ц, 1 ц = 100 кг.

Шкала также есть на таком приборе, как динамометр

Координатный луч

В математике шкалу можно встретить на координатном луче. Разберем подробнее, что это за луч и как его построить.

Начертим луч ОХ, как показано на рисунке 1.

Рисунок 1

Точка О является его началом. Она соответствует числу 0. От точки О вправо отложим отрезок, равный 1 см, а полученную точку обозначим Е (рисунок 2).

Рисунок 2

Точка Е будет соответствовать числу 1. Отрезок ОЕ называется единичным.

Таким образом, луч ОХ стал координатным лучом, где О — это начало координат, а ОЕ — единичный отрезок. (Единичный отрезок в нашем примере равен 1 см, но он может быть любой длины, именно это длина будет приниматься на координатном луче за единицу измерения.)

Числа, соответствующие точкам на координатном луче, называются координатами этих точек. Говорят так: точка О имеет координату 0, точка Е имеет координату 1. Записывается это следующим образом: О(0), Е(1).

Рисунок 3

Отметим на координатной луче точки А(2), В(3), С(4) — рисунок 3. Так мы получили на координатном луче шкалу, которую можно продолжать бесконечно.

Для определения размера какой-либо величины (длина, вес, температура и т.д.) мы используем измерительные приборы и инструменты со шкалами для отображения результата.

Шкала – это расположенный в определенной последовательности ряд отметок, которые соответствуют числовому значению измеряемой величины.

Например, в школьном курсе математики и геометрии для измерения длины геометрического объекта, в частности отрезка, используется линейка (рисунок 1).

Рисунок 1. Измерительная линейка.

Из урока Измерение величин вы уже знаете, что такое единица измерения, а их соотношения можете посмотреть в справочном разделе.

Деления шкалы – это равные части, на которые она разбита. Каждое деление шкалы обозначается отметками (черточками).

Нулевая отметка шкалы – это отметка, которая соответствует нулевому значению измеряемой нами величины.

Цена деления шкалы – это величина значения одного деления шкалы. То есть, это величина значения между двумя соседними отметками на шкале.

Чтобы узнать цену деления шкалы , нужно:
1. взять любые два значения на шкале (лучше брать соседние, обозначенные числами),
2. найти разность между ними,
3. посчитать количество делений шкалы, которые находятся между выбранными нами значениями,
4. результат деления числа, полученного в пункте 2, на число, полученной в пункте 3, и будет ценой деления данной шкалы.

Как мы видим на рисунке 1, деления, обозначенные большими черточками, пронумерованы, и значение каждого такого деления равно 1 см. В этом легко убедиться, если найти разницу между значениями каждого из соседних делений: 1-0=1, 2-1=3, …, 9-8=1, 10-9=1.
Но каждое из больших делений разделено девятью маленькими черточками на 10 делений. Мы знаем, что в 1 см содержится 10 мм, поэтому разделив эти 10 мм на 10 делений, мы получим цену деления линейки, равную 1 мм.

Цена деления может отличаться не только у разных же измерительных приборов, но и у одних и тех же.

Рисунок 2 Цена деления шкалы

Например, на рисунке 2 изображены два термометра. Как вы думаете, они показывают одинаковую температуру, или нет?

Конечно же разную! Хоть столбик этих двух термометров и находится на высоте двух делений над значением 20, цена этих делений разная . Левый термометр показывает температуру 22°C (читается как двадцать два градуса Цельсия), а правый — 24°C.

Давайте посмотрим, так ли это? На левом термометре разница между двумя соседними пронумерованными отметками равна 10°C: 10-0=10, 20-10=10, и т.д. На правом же термометре эта разница равняется уже 20°C: 20-0=20, 40-20=20, и т.д. На обоих термометрах маленькие черточки делят одно большое пронумерованное деление на 10 частей. Разделив разницу между значениями пронумерованных отметок (10 и 20 соответственно) на количество делений между ними (10), мы получим цену деления каждого из термометров:

левый термометр – 10:10=1°C;
правый термометр – 20:10=2°C.

Итак, оба термометра показывают 20°C и еще два деления. Но на левом термометре это означает 20°C и еще два раза по 1°C, то есть, 20+2=22°C, а на правом – 20°C и еще два раза по 2°C, то есть, 20+4=24°C.

Координатный луч, единичный отрезок, координаты точки

Различные прямые линии со шкалами играют важную роль в школьной математике. Сейчас я познакомлю вас с одной из них.

Нарисуем точку O и проведем от нее направо луч. Обозначим направление луча стрелкой.

Рис. 3. Луч с началом в точке O

Отметим на этом луче отрезок произвольной длины OP . Справа от него отметим равный ему отрезок PR , и продолжим отмечать далее подобным образом отрезки, равные отрезку OP , до тех пор, пока не закончится нарисованный нами луч. В итоге у нас получится следующее.

Рис. 4. Луч с равными отрезками

Поставим возле начала луча (точки O ) число 0 (нуль). Возле второго конца отрезка OP (возле точки P ) поставим число 1 (один). Таким образом мы обозначаем, что длина отрезка OP равна 1 (единице).

Отрезок OR у нас состоит из двух отрезков: OP и PR , то есть OR = OP + PR . А так как по условиям нашего построения PR = OP , то мы можем записать, что OR = OP + OP , или OR = 1 + 1 = 2 .

Поставим возле точки R найденное нами значение длины отрезка OR , то есть, число 2 .

Аналогичным образом вы можете легко найти числа, соответствующей каждой поставленной нами на луче точке.

Рис. 5. Луч с отрезками и цифрами

Покажу еще раз на примере точки S :

так как RS=OP (по условиям построения данных отрезков),

подставив известные нам значения длины отрезков OR и OP, получим:

Значит, точке S на нашем лучу соответствует число 3.

Оставим на луче только числовые значения, а все буквы кроме O отбросим. В итоге у нас получился вот такой луч с отрезками и числами, которые соответствуют концам этих отрезков.

Рис. 6. Координатный луч

Глядя на рисунок 6, легко заметить, что отрезки, лежащие на луче, это не что иное, как нанесенная на луч шкала. Действительно, смотрите сами.

Точка O с соответствующим ей числом 0 (нуль) называется точка отсчета, что аналогично нулевой отметке шкалы. Обычно этой буквой всегда помечают в рисунках точку отсчета.

Равные отрезки , на которые мы разбили луч, – это деления шкалы .

Единичный отрезок – это отрезок, длина которого принята нами за единицу длины и равна 1(единице). Точке, обозначающей правый конец единичного отрезка, соответствует число 1.

Другими словами, единичный отрезок можно назвать ценой деления .

Координатный луч – это луч с отмеченным на нем единичным отрезком, точкой начала отсчета, которой соответствует число 0 (нуль), и указанным направлением отсчета.
Координатный луч еще называют числовой луч.

Координатный луч — это не что иное, как бесконечная шкала.

Длина единичного отрезка может быть любой. Она выбирается каждый раз отдельно и при ее выборе ориентируются на то, чтобы на рисунке поместились все необходимые в данный момент числа. Например, на рисунке 7-а длина единичного отрезка составляет 5 см, а на рисунке 7-б всего 1 см.

Рис. 7. Разные варианты единичного отрезка

Как вы заметили из предыдущего рисунка, для разметки луча отрезками можно вместо кружочков использовать штрихи везде, кроме точки O (начала отсчета). Кружочки рисуют поверх этих штрихов тогда, когда необходимо отметить на числовом луче какое-то натуральное число. В этом случае мы дополнительно обозначаем его заглавной (большой) буквой латинского алфавита (смотрите рисунок 8).

Координатный луч служит для наглядного отображения и сравнения чисел натурального ряда.

Действительно, длина каждого отрезка числового луча отличается от длины предыдущего на единицу, точно так же, как и каждый элемент числового ряда отличается от предыдущего.

Координата точки числового луча – это число, которое соответствует поставленной на числовом луче точке.

Для примера отметим на координатном луче точки A , B , C и определим их координаты.

Рис. 8. Координаты точек

Точке A соответствует число 5 координатного луча, точке B – число 8, точке C – число 13. Запишем полученные координаты точек: A ( 5 ), B ( 8 ), C ( 13 ).

В отдельных случаях для обозначения на координатном луче больших натуральных чисел, допускается не отображать на рисунке точку отсчета и единичный отрезок, показывая только тот участок луча, на котором расположены данные числа.

В данном видеоуроке мы узнаем, что называют ценой деления. Рассмотрим шкалу. А затем выясним, как строят координатный луч.

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобретя в каталоге.

Получите невероятные возможности

Конспект урока "Шкала. Координатный луч"

Представим себе такую историю.

– Интересно, что же у нас получится? – задумался Саша.

– Чем ты там занимаешься? – спросил Паша.

– Нам по математике задали нарисовать картинку по точкам, а потом найти сумму длин всех получившихся отрезков.

– Это интересно! Давай рисовать вместе.

– Давай! Вместе веселее.

И ребята принялись рисовать картинку.

– 1…, 2…, 3…, 4…, 5…, 6…, 7…, 8…, 9…, 10…, 11… и 12…

– Саша, смотри, у нас же получился корабль! – обрадовался Паша.

– Точно! – заметил Саша. Но нам ещё нужно вычислить сумму длин всех получившихся отрезков. Значит, будем мерить их линейкой.

– Саша, с твоей линейкой что-то не то! – отметил Паша. – Мы не сможем с помощью этой линейки измерить длины отрезков.

– Но у меня нет другой линейки. Как быть? – расстроился Саша.

– Я думаю, что Электроша будет знать, как нам быть, – предположил Паша.

– Ребята, прежде, чем я вам помогу с измерением отрезков, хочу, чтобы вы немного размялись и выполнили устные задания, – предложил Электроша.

– Давайте сверимся! Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашей проблеме, – продолжил Электроша. – Вы не можете измерить длину отрезков, потому что на вашей линейке не хватает делений.

– Что значит не хватает делений? – удивился Саша. – На моей линейке же есть деления.

– Деления-то есть, – сказал Электроша, – но посмотрите, при измерении длины второго отрезка у вас не получилось записать его длину. Вы заметили, что он длиннее, чем 6 см, но точнее вам его измерить не удалось. Другое дело будет, если мы измерим длину этого же отрезка вот такой линейкой.

– Теперь понятно, про какие деления ты говорил, – обрадовались мальчишки.

– Посмотрите, отрезок один и тот же, а результаты измерения стали точнее, – продолжил Электроша. – Как вы думаете, почему так получилось?

– Наверное, потому что на второй линейке больше отметок, – предположил Паша.

– Ты верно заметил, – сказал Электроша.

Давайте более внимательно рассмотрим эти две линейки. Посмотрите, на одной и второй линейке нанесены риски, штрихи. Все штрихи расположены на одинаковом расстоянии друг от друга. Около некоторых штрихов указаны числа. Нетрудно заметить, что все штрихи на линейках разбивают их на равные части. Эти части называют делениями.

– А теперь скажите, какое расстояние между соседними штрихами первой и второй линейки, – спросил у ребят Электроша.

– Расстояние между соседними штрихами первой линейки равно 1 см, а второй – 1 мм, – ответил Саша.

– Правильно! – подтвердил Электроша. Это расстояние называют ценой деления. Чем меньше цена деления, тем точнее будет измерение. Все деления вместе с написанными числами образуют шкалу.

– Тогда деления – это ступеньки лестницы? – спросил Паша.

– Точно подмечено, – ответил Электроша.

– С помощью второй линейки вы можете измерить длины отрезков вашего рисунка и найти их сумму.

– Да, теперь это гораздо легче выполнить, – сказал Паша. И ребята принялись измерять отрезки.

Получили, что сумма длин всех отрезков рисунка равна 68 см 3 мм.

– В повседневной жизни вы часто встречаетесь и с другими измерительными приборами, которые тоже имеют шкалы, правда, немного другой формы, – продолжил Электроша. Может, вы сможете их назвать? – спросил он у ребят.

– Комнатный термометр, – начал Паша, – циферблат часов.

– Спидометр автомобиля, – поддержал друга Саша, – весы.

– Молодцы! – похвалил ребят Электроша. А может, вы сможете назвать цены деления перечисленных измерительных приборов?

– У комнатного термометра цена деления – 1 о С, а вот у циферблата часов не знаю, как понять, какая цена деления, – расстроился Паша.

– У циферблата часов несколько шкал, каждая со своей ценой деления, – сказал Электроша. – Посмотрите, на циферблате вся окружность разделена на 12 больших делений. Одно деление соответствует одному часу. Кроме того, циферблат часов разделён на 60 маленьких делений. Одно такое маленькое деление соответствует одной минуте.

– Значит, у спидометра автомобиля цена деления шкалы 20 км/ч, а у весов цена деления 10 г? – решил уточнить Саша.

– Правильно! – похвалил Сашу Электроша. – А вы знаете, что измерительные приборы создают специально обученные люди, и их называют конструкторами? Правда, шкалы на таких измерительных приборах конечны, то есть среди отмеченных на шкале чисел всегда есть наибольшее. А вот математик с помощью своего воображения может построить бесконечную шкалу.

– Ого! – удивились ребята. – А ты можешь построить такую шкалу?

– Да! – ответил Электроша. – Сейчас мы её построим вместе.

Давайте начертим луч Ох так, чтобы он шёл слева направо. Отметим на этом луче, например, точку А. Теперь под точкой О поставим число 0, а под точкой А – число 1. Принято говорить, что точке О соответствует число 0, а точке А – число 1.

Обратите внимание, мы получили отрезок ОА, его длину будем считать равной 1.

Теперь отложим вправо от точки А отрезок, равный отрезку ОА. Получим новую точку, назовём её В, а под ней поставим число 2. Повторим этот шаг ещё раз. Получим ещё одну точку. Обозначим её буквой С, а под ней запишем число 3. Так, шаг за шагом, мы будем получать точки D, Е, F, которым будут соответствовать числа 4, 5, 6 и так далее.

– А сколько раз мы сможем проделывать эти шаги? – решили спросить ребята.

– Мы с вами знаем, что луч бесконечен, значит, мысленно этот процесс мы можем повторить бесконечное количество раз.

– Таким образом, мы с вами построили бесконечную шкалу.

– Ого! Так просто! – воскликнули ребята.

– Запомните! – продолжил Электроша. – Такую шкалу называют координатным лучом, точку О – началом отсчёта, а отрезок – ОА – единичным отрезком координатного луча. В качестве единичного отрезка можно выбрать отрезок любой длины. Часто длину единичного отрезка выбирают такой, чтобы было возможно в пределах рисунка изобразить на координатном луче необходимые натуральные числа.

– А вы сможете мне назвать то число, которое соответствует, например, точке G? – спросил у ребят Электроша.

– Число 7 соответствует точке G, – ответили мальчишки.

– Правильно! – сказал Электроша. Говорят, что число семь является координатой точки G, записывают это так…

Координата точки показывает расстояние от начала луча до этой точки, измеренное единичным отрезком. Так, например, на нашей координатной прямой точка Е имеет координату 5. Это говорит нам о том, что расстояние от начала координат до точки Е равно 5, или ещё можно сказать, что отрезок ОЕ имеет длину 5 единичных отрезков. Аналогично мы можем записать координаты остальных точек.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли и выполним несколько заданий.

Задание первое: назовите показания изображённых измерительных приборов.

Решение: на первом рисунке изображён комнатный термометр, который показывает температуру 31 о C. На втором рисунке изображены часы, на которых стрелки показывают время 12 ч 5 мин. И на последнем рисунке изображён спидометр автомобиля, на котором стрелка указывает скорость 90 км/ч.

Следующее задание: назовите координаты точек А, Бэ, Цэ, Дэ и отметьте на координатном луче точки.

Решение: сначала нам нужно назвать координаты точек, а для этого определим длину единичного отрезка. Видим, что от начала координат до первой известной координаты расстояние равное 30 и штрихами отмечено 3 единичных отрезка. Значит, длина единичного отрезка равна 10. А тогда координата точки А – 10, точки В – 50, точки С – 90, а точки D – 120.

Ещё нам нужно отметить на координатном луче точки с указанными координатами. Первая точка – F – имеет координату 20. Так как единичный отрезок равен 10, то отмечаем эту точку над вторым штрихом. Вторая точка – G – имеет координату 100, отмечаем её над десятым штрихом. И последняя точка – H – имеет координату 75. Значит, она будет располагаться между седьмым и восьмым штрихами.

Координатный луч – это одна из систем ориентации в плоскости и сравнения чисел. Координатный луч очень часто используется при решении задач. Имеет смысл поговорить о координатном луче, выделить его особенности и отличия, определить правильную область применения.

Что такое координатный луч?

Координатный луч – это один из способов ориентации на плоскости.

Любой координатный луч имеет:

Начало координат
Единичный отрезок и шкала
Направление движения

Направление движения обычно указывает сторону увеличения показателей.

Координатный луч позволяет определить положение точки только вдоль прямой. Что это значит? Представим себе координатный луч в виде реки. Так вот, мы можем определить положение путника у реки, но при этом, насколько он ушел вглубь берега – мы понять не сможем.

Поэтому чаще всего, вместо координатной прямой, используется декартова системы координат.

Когда-то мореплаватели к системе координатной прямой добавили угол, на который поднимается точка над линией горизонта. Так появилась полярная система координат. Это одна из самых древних систем навигации в мире.

Но координатную прямую удобно использовать для чертежей при решении задач, поэтому она до сих пор используется в курсе математики.

Чем отличается координатный луч от координатной прямой?

До этого мы уже говорили о координатной прямой. Следует сразу разделить координатный луч, числовой луч и координатную прямой.

Координатный и числовой лучи очень схожи. Различие заключается в том, что числовой луч может начинаться с любой точки и эта точка будет его началом. Все зависит от чисел, которые нам требуется сравнить. Координатный луч начинается всегда с 0, иначе он не может считаться координатным.

Координатная прямая же, в отличие от координатного луча, может быть продлена как в право, так и в лево от начала координат. Это позволяет отмечать на координатной прямой отрицательные числа.

Для того чтобы отметить отрицательные координаты на координатном луче, придется построить другой луч, который будет направлен влево.

Область применения

На самом деле, область применения координатного луча достаточно мала. Это могут быть:

Рисунки к задачам
Сравнение положительных или отрицательных чисел. Причем либо только положительных, либо только отрицательных
Использование для отметки координат. Но декартова система куда удобнее. Хотя нельзя забывать, что декартова система представляет собой 4 координатных луча

На самом деле, это одна из гениальных идей математики: соединить вместе 4 координатных луча для получения системы ориентации на плоскости. Два луча лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны, при этом два других луча лежат на прямой, перпендикулярной первой и так же направлены в противоположные стороны.

В результате получилась система, которую уже несколько сотен лет применяют для ориентирования на плоскости. Более того, декартову систему можно перевести в пространство.

Эту систему навигации используют спутниковые системы, радары, навигационные системы автомобилей. Такой системой пользуются художники при использовании компьютерной графики. И всему этому положил начало координатный луч. Поэтому нельзя сказать, что он бесполезен. Просто луч имеет малую область применения, но именно он положил начал современным системам навигации.

Что мы узнали?

Мы поговорили об определении координатного луча. Выделили его отличия от числового луча и координатной прямой. Оговорили область применения и особенности координатного луча в математике 5 класса.

Читайте также: