Как сделать комплексно сопряженное число

Обновлено: 08.07.2024

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма - это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z - вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным - в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k - произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Запись некоторого комплексного числа $z$ в виде $z=a+bi$ называется алгебраической формой записи (или алгебраической записью) комплексного числа. При этом:

$a$ - вещественная (действительная) часть, обозначение $Rez=a$;
$b$ - мнимая часть, обозначение $Imz=b$.

Выписать действительную и мнимую части для заданных комплексных чисел:

1) $z_ =5\sqrt +3i$; 2) $z_ =13$; 3) $z_ =-3\sqrt \cdot i$; 4) $z_ =3\sqrt -6i$

Для комплексного числа $z=a+bi$ $Rez=a$, $Imz=b$.

Для числа $z_ =5\sqrt +3i$ имеем $Rez=5\sqrt ,Imz=3$.

Для числа $z_ =13$ имеем $Rez=13,Imz=0$.

Для числа $z_ =-3\sqrt \cdot i$ имеем $Rez=0,Imz=-3\sqrt $.

Для числа $z_ =3\sqrt -6i$ имеем $Rez=3\sqrt ,Imz=-6$.

Комплексная плоскость

Любое комплексное число можно изобразить на плоскости, которую принято называть комплексной плоскостью. Комплексная плоскость аналогична прямоугольной декартовой системе координат, исключение составляют только названия осей:

действительная ось (соответствует оси абсцисс);
мнимая ось (соответствует оси ординат).

Общий вид комплексной плоскости представлен на рис.1.

Рассмотрим комплексное число $z=a+bi$ или $z=Rez+Imz\cdot i$.

Любому заданному комплексному числу $z$ можно поставить в соответствие точку комплексной плоскости, координатами которой являются числа $a$ и $b$ - $(a,b)$ (числа $Rez$ и $Imz$ - $(Rez;Imz)$).

Готовые работы на аналогичную тему

Любой заданной точке $(x,y)$ плоскости можно поставить в соответствие комплексное число $z=x+yi$ ($Rez=x$,$Imz=y$).

Зная действительную и мнимую части комплексного числа, записать данное число:

1) $Rez=\sqrt$,$Imz=1$; 2) $Rez=8$,$Imz=0$; 3) $Rez=0$,$Imz=-\sqrt$ ; 4) $Rez=3$,$Imz=6$

Для $Rez=a$, $Imz=b$ соответствует запись комплексного числа $z=a+bi$ ($z=Rez+Imz\cdot i$).

Для числа $Rez=\sqrt ,Imz=1$ имеем $z_ =\sqrt +1\cdot i$.

Для числа $Rez=8,Imz=0$ имеем $z_ =8+0\cdot i=8$.

Для числа $Rez=0,Imz=-\sqrt $ имеем $z_ =0-\sqrt \cdot i=-\sqrt \cdot i$.

Для числа $Rez=3,Imz=6$ имеем $z_ =3+6\cdot i$.

Зная действительную и мнимую части комплексного числа, изобразить данное число на комплексной плоскости:

1) $Rez=3,Imz=0$; 2) $Rez=0,Imz=2$; 3) $Rez=3,Imz=2$; 4) $Rez=-2,Imz=1$.

Изобразим на комплексной плоскости числа, соответствующие записи $Rez=x,Imz=y$.

Комплексное число вида $\overline=a-bi$ называется числом комплексно-сопряженным для $z=a+bi$.

Записать комплексно-сопряженные числа для заданных комплексных чисел:

1) $z_ =\sqrt +5i$; 2) $z_ =3$; 3) $z_ =-\sqrt \cdot i$; 4) $z_ =3\sqrt -15i$

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline=a-bi$.

Для числа $z_ =\sqrt +5i$ имеем $a=\sqrt ,b=5$, следовательно, получим $\overline =\sqrt -5i$.

Для числа $z_ =3$ имеем $a=3,b=0$, следовательно, получим $\overline =3$.

Для числа $z_ =-\sqrt i$ имеем $a=0,b=-\sqrt $, следовательно, получим $\overline =\sqrt i$.

Для числа $z_ =3\sqrt -15i$ имеем $a=3\sqrt ,b=-15$, следовательно, получим $\overline =3\sqrt +15i$.

Комплексно-сопряженное число $\overline=a-bi$ изображается на комплексной плоскости точкой, симметричной относительно действительной оси, для точки, изображающей некоторое комплексное число $z=a+bi$.

Изобразить на комплексной плоскости числа $z_ =3+i,\, \, z_ =-2,\, \, \, z_ =i,z_ =-2-2i$ и комплексно-сопряженные к ним.

Для комплексного числа $z=a+bi$ комплексно-сопряженным будет являться число $\overline=a-bi$.

Для числа $z_ =3+i$ получим $\overline =3-i$.

Для числа $z_ =-2$ получим $\overline =-2$.

Для числа $z_ =i$ получим $\overline =-i$.

Для числа $z_ =-2-2i$ получим $\overline =-2+2i$.

Значение действительной части откладывается по оси $Rez$, а мнимой части -- по оси $Imz$.

Отмечая соответствующие точки на плоскости, получим изображение комплексных чисел (рис.3)

Если комплексное число изображается точкой на вещественной оси, то комплексно-сопряженное число изображается той же самой точкой.

Изобразить на комплексной плоскости числа комплексно-сопряженные к отмеченным.

Значение действительной части откладывается по оси $Rez$, а мнимой части -- по оси $Imz$.

Изображая комплексно-сопряженные числа на комплексной плоскости, воспользуемся примечаниями 1 и 2.

Сопряженное число : Если комплексное число , то число является сопряженным (либо комплексно сопряженным ) к (часто обозначается как ).

Сопряженное число: Если комплексное число , то число является сопряженным (либо комплексно сопряженным) к (часто обозначается как ).

На комплексной плоскости сопряженные числа находят зеркально отражая их относительно вещественной оси. Модуль сопряженного числа равен модулю исходного числа, а аргументы сопряженных чисел имеют противоположные знаки.

Мнимая единица i из определения умножения имеет свойство того, что квадрат ее равняется –1, то есть она является квадратным корнем из –1.

Комплексное число –i обладает этим же свойством:

что естественно. Можно сказать, что некоторый 1-н квадратный корень из –1 обозначаем через i, тогда 2-й корень запишем как (–i). Замена i на (–i) приводит к понятию комплексного сопряжения.

Переход к сопряженному числу рассматривают еще как одноместную операцию. Перечислим ее свойства.

Свойства сопряженных чисел.

Еще некоторые соотношения:

Доказательство :

что и требовалось доказать.

Обобщим: , где — произвольно взятый многочлен с вещественными коэффициентами. Отсюда видно, что у многочлена с вещественными коэффициентами есть или лишь действительные корни, или, если он имеет корни с не равной нулю мнимой частью, то они разбиваются на пары комплексно-сопряженных.

Умножение числителя и знаменателя комплексной дроби при комплексном знаменателе на сопряженное к знаменателю выражению используют для того, что бы избавиться от комплексности знаменателя. Это дает возможность выразить выражение в канонической форме комплексного числа или функции.

Значимость сопряжения объясняют тем, что оно есть образующей группы Галуа .

Если , то число называется комплексным сопряженным к числу .

То есть у комплексно сопряженных чисел действительные части равны, а мнимые отличаются знаком.

Например. Комплексно сопряженным к числу есть число .

На комплексной плоскости комплексно сопряжённые числа получаются зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси.

Свойства комплексно сопряженных чисел

1) Если , то можно сделать вывод, что рассматриваемое число является действительным.

Например. и

2) Для любого комплексного числа сумма - действительное число.

Например. Пусть , тогда , а тогда

3) Для произвольного комплексного числа произведение .

Например. Пусть , комплексно сопряженное к нему число , тогда произведение

4) Модули комплексно сопряженных чисел равны: , а аргументы отличаются знаком (рис. 1).

Читайте также: