Как сделать коэффициенты x противоположными

Обновлено: 07.07.2024

Квадратные уравнения. Общего вида. Приведённое. Неполные.

Квадратное уравнение — это уравнение, в которое переменная входит во второй степени. Квадратное уравнение общего вида:

a × x 2 + b × x + c = 0

Приведённое квадратное уравнение:

x 2 + p × x + q = 0

Неполные квадратные уравнения — без линейной части и без свободных членов:

a × x 2 = 0
a × x 2 + b × x = 0
a × x 2 + c = 0

Корни квадратного уравнения общего вида

a × x 2 + b × x + c = 0

равны дроби, в знаменателе которой удвоенный первый коэффициент, а в числителе второй коэффициент, с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверённого произведения первого коэффициента на свободный член.

Например, у уравнения

3 × x 2 - 27 × х + 60 = 0

x_1,2 = [ +27 ± √(27² - 4 × 3 × 60) ] / _{2 × 3} = [ +27 ± √(729 - 720) ] / ₆ = [ +27 ± 3 ] / ₆

3 × 5 2 - 27 × 5 + 60 = 3 × 25 - 135 + 60 = 75 - 135 + 60 = -60 + 60 = 0
3 × 4 2 - 27 × 4 + 60 = 3 × 16 - 108 + 60 = 48 - 108 + 60 = -60 + 60 = 0

Корни квадратного уравнения общего вида с чётным вторым коэффициентом

Корни квадратного уравнения общего вида с четным вторым коэффициентом

a × x 2 + 2 × k × x + c = 0

равны дроби, в знаменателе которой первый коэффициент, а в числителе половина второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без произведения первого коэффициента на свободный член.

Например, у уравнения

3 × x 2 - 34 × х + 63 = 0

x_1,2 = [ +17 ± √(17² - 3 × 63) ] / ₃ = [ +17 ± √(289 - 189) ] / ₃ = [ +17 ± 10 ] / ₃

3 × 9 2 - 34 × 9 + 63 =
= 3 × 81 - 306 + 63 =
= 243 - 306 + 63 =
= -63 + 63 = 0

3 × ( 7 / ₃) 2 - 34 × ( 7 / ₃) + 63 =
= 3 × ( 49 / ₉) - 238 / ₃ + 63 =
= ( 147 / ₉) - 714 / ₉ + 63 =
= ( -567 / ₉) + 63 =
= -63 + 63 = 0

Корни приведённого квадратного уравнения

Корни приведенного квадратного уравнения

x 2 + p × x + q = 0

равны половине второго коэффициента, взятого с противоположным знаком, плюс-минус корень квадратный из квадрата этой половины без свободного члена.

Например, у уравнения

x 2 - 8 × х + 15 = 0

x_1,2 = +4 ± √( 4² - 15) = 4 ± 1

x₁ = 4 + 1 = 5 x₂ = 4 - 1 = 3

5 2 - 8 × 5 + 15 = 25 - 40 + 15 = -15 + 15 = 0
3 2 - 8 × 3 + 15 = 9 - 24 + 15 = -15 + 15 = 0

5 Смотреть ответы Добавь ответ +10 баллов

Ответы 5

1) Умножить на -1

2) Умножить на -1

А фотка или что нибудь еще, где ? что решать-то

если я всё правильно поняла, то -3 и -2

Надеюсь я правильно тебя поняла

Другие вопросы по Алгебре

Виюне года количество солнечных дней в петербурге составляло 25% от количества пасмурных, а количество тёплых дней 20% от количества прохладных. только 3 дня в июне были тёплыми и.

Теорема Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

(Напомним: приведенное квадратное уравнение – это уравнение, где первый коэффициент равен 1).

Пусть квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0 имеет корни х₁ и х₂. Тогда по теореме Виета:

b c
х₁ + х₂ = – ——, х₁ · х₂ = ——
a a

Приведенное уравнение x 2 – 7x + 10 = 0 имеет корни 2 и 5.

Сумма корней равна 7, а произведение равно 10.

А в нашем уравнении второй коэффициент равен -7, а свободный член 10.

Таким образом, сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Довольно часто встречаются квадратные уравнения, которые можно легко вычислить с помощью теоремы Виета – больше того, с ее помощью их вычислять проще. В этом легко убедиться как на предыдущем примере, так и на следующем.

Пример 2 . Решить квадратное уравнение х 2 – 2х – 24 = 0.

Применяем теорему Виета и записываем два тождества:

Подбираем такие множители для –24, чтобы их сумма была равна 2. После недолгих размышлений находим: 6 и –4. Проверим:

Как вы заметили, на практике суть теоремы Виета заключается в том, чтобы в приведенном квадратном уравнении свободный член разложить на такие множители, сумма которых равна второму коэффициенту с противопложным знаком. Эти множители и будут корнями.

Значит, корнями нашего квадратного уравнения являются 6 и –4.

Пример 3 . Решим квадратное уравнение 3х 2 + 2х – 5 = 0.

Здесь мы имеем дело не с приведенным квадратным уравнением. Но и такие уравнения тоже можно решать с помощью теоремы Виета, если их коэффициенты уравновешены – например, если сумма первого и третьего коэффициентов равна второму с обратным знаком.

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего членов равны второму с противоположным знаком:

В соответствии с теоремой Виета

Нам надо найти такие два числа, сумма которых равна –2/3, а произведение –5/3. Эти числа и будут корнями уравнения.

Первое число угадывается сразу: это 1. Ведь при х = 1 уравнение превращается в простейшее сложение-вычитание:
3 + 2 – 5 = 0. Как найти второй корень?
Представим 1 в виде 3/3, чтобы все числа имели одинаковый знаменатель: так проще. И сразу напрашиваются дальнейшие действия. Если х₁ = 3/3, то:

Решаем простое уравнение:

Пример 4 : Решить квадратное уравнение 7x 2 – 6x – 1 = 0.

Один корень обнаруживается сразу – он прямо в глаза бросается: х₁ = 1 (потому что получается простая арифметика: 7 – 6 – 1 = 0).

Коэффициенты уравнения уравновешены: сумма первого и третьего равны второму с обратным знаком:
7 + (– 1) = 6.

В соответствии с теоремой Виета составляем два тождества (хотя в данном случае достаточно одного из них):

Подставляем значение х₁ в любое из этих двух выражений и находим х₂:

Дискриминант приведенного квадратного уравнения.

Дискриминант приведенного квадратного уравнения можно вычислять как общей формуле, так и по упрощенной:

D = p 2 – 4q

где p – второй коэффициент квадратного уравнения, q – свободный член.

При D = 0 корни приведенного уравнения можно вычислять по формуле:

Заметим, что T – это солнечные сутки, длящиеся 29.53 земных суток на Луне и 24.66 земных часов на Марсе. За это время маятник отсчитает 288.4 часа (около 12 суток) на Луне и 15.18 часов на Марсе.

Другие вопросы по Другим предметам

Мое дерево посадили в день рождения моего дедушки. сейчас мне 300 лет. я родилась, когда моему папе было 280 лет. а мой папа родился, когда его папе был 301 год. сколько лет моему дереву?

Читайте также: